Cours de tronc commun

François Marc

Description

Table des matieresTable des matieres iTable des gures iiiListe des tableaux v1 Theorie des poutres 11.1 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 E orts exterieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 E orts interieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Equations d’equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Champs de deplacement et de deformation . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 Relations de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Bibliographie 7Tronc commun du DEA iTable des matieresii Tronc commun du DEATable des gures1.1 Pont du Golden Gate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Tronc commun du DEA iiiTable des guresiv Tronc commun du DEAListe des tableauxTronc commun du DEA vListe des tableauxvi Tronc commun du DEAChapitre 1Theorie des poutresFigure 1.1 – Pont du Golden Gate3Ce cours est un resume donne aux etudiants du DEA S Mlors de la remise a niveau en tronc commun. Sa base estcelle du cours de Jean Lemaitre, qui a enseigne et pendantdes annees a ce DEA, mais n’a jamais publie ce cours. J’yai bien surˆ apporte une touche personnelle. L’accent estmis sur la clarte des explications et des hypotheses (en nje l’espere!).Tronc commun du DEA 1Sommaire1.1 Geometrie . . ...

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Extrait

Tabledesmati`eres

Tabledesmatie`res Table des figures Liste des tableaux 1Th´eoriedespoutres 1.1Ge´om´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2Effortsext´erieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3Effortsinte´rieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.4Equationsd’e´quilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5Champsdede´placementetded´eformation . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Relations de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie

Tronc commun du DEA

i iii v 1 3 3 4 4 4 5 7

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Tronc

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Pont du Golden Gate . . . . . . Ge´ometrie . . . . . . . . . . . . ´

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Chapitre 1

Theorie des poutres ´

Figure 1.1 – Pont du Golden Gate

Cecoursestunresum´edonn´eaux´etudiantsduDEAS 3 M ´ lorsdelaremisea`niveauentronccommun.Sabaseest celleducoursdeJeanLemaitre,quiaenseign´eetpendant desann´ees`aceDEA,maisn’ajamaispublie´cecours.J’y ai bi ˆ po t´ e touche personnelle. L’accent est en sur ap r e un missurlaclarte´desexplicationsetdeshypothe`ses(enfin jel’espe`re!).

Tronc commun du DEA

1

Sommaire

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1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

G´eome´trie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Effortsexte´rieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Effortsinte´rieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Equationsd’´equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Champsdede´placementetdede´formation . . . . . . . . . . Relations de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Tronc commun du DEA

1.1.Ge´ome´trie

1.1Geom´etrie ´ L’hypothe`sege´ne´raleestquelesolideestassimilablea`salignemoyenne.Celle-ci representel’ensembledescentresdegravite´ G ( s ) des sections droites (orthogonales ´ a`lalignemoyenneetengrise´surlafigure 1.2 )quidoivent,defait,variercontinuˆ- ment. L’abscisse curviligne de la ligne moyenne est s , le vecteur tangent est ~τ ( s ), et 0 ≤ s ≤ L ou L est la longueur de la poutre. Lath´eoriemarched’autantmieuxqu’unedimensioncaract´eristiquedelasection

Figure1.2–G´eom´etrie droite par exemple √ S ( S est la surface d’une section droite) est petite devant la longueur L delapoutre,maisaussisacourbureetsatorsion.Onadmetetonv´erifie enge´ne´ralqu’unrapport10entre √ S etlesautresgrandeurscit´eesdonnedetre`s bonsre´sultats.Lath´eories’accommodecependantdepoutresformantdesbifurca- tionsoudesanglesvifs,enrepr´esentantunecontinuit´edeseffortsint´erieursences points. Leseffortssontsuppos´ess’appliquersurlalignemoyenne:onne´gligel’effetdebras de levier qui pourrait provenir de l’application en un point de la section droite. Dans lapratiqueils’agiteng´ene´raldere´sultantesdeliaisonscomplexes,commeunearti- culationouuneliaisonsoude´e,quifaitintervenirunedistributioncomplexed’efforts repr´esente´eparsar´esultante. Lage´ome´trie`al’´etatfinalserade´criteparseuleconnaissancedelalignemoyenne`a l’´etatfinal;lessectionsdroitessontsuppos´eessed´eplacerenmouvementdecorps solide.

1.2Effortsext´erieurs Nous distinguerons l’ensemble des cas possibles soit : ~ R i lesforcesconcentr´eesauxpoints M i ~ S j lesmomentsconcentr´esauxpoints M j r~ lesforcesr´eparties(line´ ¨ ıques) ~s lesmomentsr´epartis(line´ı ¨ ques)

Tronc commun du DEA

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1.Th´eoriedespoutres 1.3Effortsinte´rieurs Demeˆme,leseffortsinte´rieursapparaissent,soitdepuislecalculdespuissances virtuelles,soitdepuisuneconsid´erationd’actiond’unepartiedelalignemoyennesur ~ ~ l’autre,commee´tantcompose´ed’uneforce T et d’un moment M . Nous distinguons lespartiescoline´aires`alatangente τ~ etlespartiescompl´ementaires,orthogonales ~ ~ `a ~τ .Lesparagraphesuivantspermettentdev´erifierque T et M repre´sentantles ~ ( T.τ~ ) τ~ l’effort normal (ou tension) ~ ~ T − ( T.τ~ ) ~τ l’effort tranchant ~ ( M.τ~ ) ~τ le moment de torsion ~ ~ T − ( T.τ~ ) τ~ lemomentfle´chissant ~ actions de la partie s + de la poutre sur la partie s − . Par exemple, lorsque T.~τ> 0, la poutre est en tension. ´ 1.4Equationsd’´equilibre Elles sont obtenues depuis le principe des puissances virtuelles (voir le cours) ou biendepuisdesconsid´erationsd’e´quilibred’unetranchedepoutredelongueur ds . ~ dT ~ + ~ = ds r 0 (1.1) ~ dM ~ + ds ~τ ∧ T + ~s = ~ 0 (1.2) ~ ~  ~ [ T ] i + R i = 0 (1.3) ~ ] j ~ ~ [ M + S j = 0 (1.4) Lese´quations( 1.1 ) et ( 1.2 )sontrelativesauxchargementsr´epartis.Les´equations ( 1.3 ) et ( 1.4 )sontrelativesauxsautsprovoqu´esparleschargesconcentr´ees.Comme ~ ~ ~ dansuneinte´grale,letermedesaut[ T ] i este´gala`l’expression T ( s + ) − T ( s − ) dans laquelle s i est l’abscisse curviligne du point M i . 1.5Champsdede´placementetdede´formation Lapoutre´etantassimil´ee`rbe,lessectionsdroitessontsuppose´esne a une cou pas changer de forme et donc leur mouvement est un mouvement de corps solide. Il estdoncrepre´sente´parunchampdetorseurs,d´ependantsdel’abscissecurviligne s . Le torseur des vitesses est { C } : { C } = { ~ω,v~ } (1.5) 4 Tronc commun du DEA

1.6. Relations de comportement Dansl’hypoth`esedepetitsde´placementsquiestlanotre,ond´efinitletorseur desde´placements { U } depuislepr´ece´dent: { U } = { ~ϕ,~u } (1.6) Lad´eformationsede´fininaturellementcommelade´ri´edutorseurded´eplace-ve mentpart`alavariabled’espaceunique:l’abscissecurviligne s . C’est donc rappor un torseur elle aussi. { D } = d { d U s } (1.7) { D } = { ~γ,~ } (1.8) Lade´rive´ed’untorseurdemandequelquepr´ecaution:ilfautserameneraumeme ˆ pointavantdepouvoirfaireuneadditionousoustraction.Cetteconsid´erationpermet d’obtenir la relation entre les composantes de { U } et celles de { D } , qui sont de fait unpeupluscomplique´equenelelaissesugge´rerlaformedel’´equation( 1.7 ) : ce sont les formules de Bresse : ϕ~ ( s ) − ϕ~ (0) = Z 0 s ~γ ( ξ ) dξ (1.9) ~u ( s ) − u (0) = Z 0 s ( ε~ ( ξ ) + ~γ ( ξ ) ∧ P −− M → ) dξ (1.10) ~ Le point P estdonclepointcourantdel’int´egrale,sonabscissecurviligneest ξ qui varie entre 0 et s . 1.6 Relations de comportement Nousfaisonsicideuxhypothe`ses: –unehypoth`esedede´couplage:leseffortsinterieursneprovoquentqueles ´ de´formationsquileursontassoci´ees. –cesde´formationssontline´airementproportionnellesacesefforts. ` Lathe´oriedespoutrespeutalorssecontenterdeconstantespourrelierces ´el´ements.N´eanmoins,diverscalculsanalytiquesen3 D am`enentaquantifierces ` constantesparrapportauxmodulesd’e´lasticit´edumate´riau( E , module d’Young et G = 2 µ ,moduledecisaillement)etparrapporta`diverstermesg´eom´etriquesque nous rappelons ici. Dans la relation suivante entre tension et allongement, S repre´sentelasurfacedela sectiondroite`al’bscisse s consid´ ´ a eree. ~ τ ~ ~ε.~τ = T E . S (1.11) Larelationsuivanteentredistorsionetcisaillementpeuteˆtreutilise´eavecdeux niveauxdemod´elisation.Dansleplussimple,lesvecteurs ~µ i sont tels qu’ils forment Tronc commun du DEA 5