cours et exercices corrigés

Jean Lory

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• Publié par: Lalip
• Nombre de lectures: 586
• Langue: Français

Extrait

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Mathématiques d iscrètes Cours
Chap 2 Structures algébriques fondamentales
Partie 3 Structure de groupe
I Structure d e groupe
1.D éfinition
Soit E un ensemble muni d’une LCI T.
On dit que ( E , T ) a une structure de groupe lorsque :
a,b,c E,( a T b ) T c = a T ( b T c )ASS
e E, a E,e T a = a T e = a NEU
x E, x' E: x T x' = x' T x = e SYM
Unicité de l’élément neutre
Unicité du symétrique d’un élément donné
Le groupe est dit abélien lorsque la LCI est commutative
2. Exemples
( IR ; + ) groupe abélien
symétrique opposé
*
( IR ; ) groupe abélien
symétrique inverse
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I.U .T. d’Amiens D.U .T. Informatique Première année
(M ( IR ) ; + ) groupe abélien
3,3
• L’addition matricielle est une loi de composition interne dans
M ( IR ).
3,3
M , N M ( IR ), ! S M ( IR ) : S = M + N
3,3 3,3
• L’addition matricielle est associative dans M ( IR ).3,3
M , N , P M ( IR ), ( M + N ) + P = M + ( N + P )3,3
• L’ensemble M ( IR ) possède un élément neutre pour
3,3
l’addition :
M M ( IR ), M + 0 = 0 + M = M
3,3
IR• Toute matrice M, élément de M ( ), admet une matrice 3,3
opposée, notée - M , dans M ( IR ).3,3
M M ( IR ), (- M) M ( IR ) : M+( - M ) = ( - M )+M = 03,3 3,3
• L’addition matricielle est commutative dans M ( IR ).
3,3
M , N M ( IR ), M + N = N + M
3,3
(M ( IR ) ; ) n’est pas un groupe
3,3
• LCI idem
• ASS idem
• NEU idem avec la matrice unité I
• SYM échec
CE
1 1 1
C = 1 1 1La matrice n’admet pas de matrice inverse
1 1 1
dans M ( IR ) car on ne peut résoudre3,3
1 1 1 a b c 1 0 0
1 1 1 d e f = 0 1 0
1 1 1 g h i 0 0 1
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Mathématiques di scrètes Cours Jean Lory
II P ropriétés d ’u n groupe
1. Régularité des é léments
Dans un groupe, tout élément est régulier, cad peut être simplifié.
a,b,c E,a T b = a T c b =c
Preuve
(H) a T b = a T c
a' T (a T b) = a' T ( a T c)
(a' T a) T b = (a' T a) T c
e T b = e T c
(C) b =c
Corollaire
Pas de répétition d’élément sur une même ligne (colonne) de la
table de Pythagore d’un groupe.
2.U ne LCI associée « en cadeau »
Lorsque ( E , T ) est un groupe, on peut définir , une autre LCI
avec : x , y E , x y = x T y’.
Dans le groupe abélien ( IR ; + )
x , y IR , x - y = x + ( - y )
*
Dans le groupe abélien( IR ; )
* -1
x , y IR , x / y = x y
IIIS ous-groupe
1. Définition
Soit ( E , T ) un groupe et H une partie de E
On dit que H est un sous-groupe de E lorsque :
H est stable pour T dans E
( H , T ) est un groupe
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I.U .T. d’Amiens D.U .T. Informatique Première année
Exemple
Pour l’addition, chacun de ces ensembles est un sous- groupe de
ZZ ID Q IR Ccelui qui le suit .
Cas particuliers
Un groupe ( E , T ) d’ordre au moins égal à deux, contient toujours
au moins deux sous- groupes : { e } et E . Les autres sous- groupes
de E sont appelés sous- groupes propres de E.
2. Théorème (admis)
H
x,y H,x T y HH est un sous-groupe de E ssi
x H,x H
H
ssi
x,y H,x T y H
3. Exercice
On considère, dans M ( IR ), la partie TS constituée des matrices
3,3
triangulaires supérieures, autrement dit des matrices de la forme :
a b c
A = 0 d e où les coefficients sont tous des nombres réels.
0 0 f
Démontrer que TS est un sous- groupe de ( M ( IR ) ; + ).
3,3
i ) TS car I TS
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Mathématiques di scrètes Cours Jean Lory
ii ) A , B TS, A + ( - B ) TS
Preuve
( H ) A , B TS
a b c g h i
A = 0 d e B = 0 j k et
0 0 f 0 0 l
A + ( -B )= A B
a g b h c i

= 0 d j e k
0 0 f l
( C ) A + ( - B ) TS
IVS ous-groupe engendré p ar un élément
1.L e problème
On recherche le plus petit sous-groupe du groupe ( G , • ) qui
contienne un élément x donné de G.
i ) Il existe au moins un tel sous- groupe : le groupe G lui-même.
ii ) Si un sous- groupe de G contient x alors il doit contenir aussi :
2 3
x , x , .. stabilité
-1 -2 -3
x , x , x ,.. stabilité par passage aux inverses
0
x = 1 neutre du groupe ( G , • )G
Autrement dit tout sous- groupe contenant x doit inclure l’ensemble
n
P = x n ZZ{ }de ses puissances : .
iii ) P est lui même un sous- groupe de G
0
x = 1 donc 1 PG G
On a donc prouvé que P
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I.U .T. d’Amiens D.U .T. Informatique Première année
( H ) a P et b P
p q
a = x et b = x
-1 p-q
a b = x
-1
( C ) a b P
-1
On a donc prouvé que a , b P , a b P
2.L a solution
n
P = x n ZZ{ }L’ensemble des puissances de x : est le plus
petit sous-groupe de ( G , • ) contenant l’élément x de G.
On l’appelle sous-groupe engendré par x.
3. Exercice
*
Dans le groupe abélien ( C , ), déterminer P, le sous- groupe
engendré par i . Construire la table de Pythagore de ( P , ) et
*
vérifier que P est stable dans C pour la LCI et que ( P , ) a bien
une structure de groupe.
Travail personnel noté en TD
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