Cours m&i

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Mesure et int´egration(Notes de cours)Xavier MARY2Table des mati`eres1 Introduction 71.1 Le probl`eme de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Int´egrale de Riemann, int´egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . 91.3 Mesures et probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I Th´eorie de la mesure 111 Alg`ebres et tribus de parties d’un ensemble 131.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Tribu engendr´ee, tribu image r´eciproque . . . . . . . . . . . . 141.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Produit d’espaces mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 La tribu bor´elienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Compl´ements: π-syst`eme, λ-syst`eme, classe monotone . . . . 182 Mesure, espace mesur´e 212.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Propri´et´es ´el´ementaires, caract´erisation d’une mesure finie . . 223 Prolongement d’une mesure et applications 253.1 Th´eor`eme de prolongement (Carath´eodory) . . . . . . . . . . 253.2 Mesure ext´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Application: la mesure de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Ensembles n´egligeables, tribu et mesure compl´et´ee . . . . . . 293.5 Produit fini d’une famille d’espaces mesur´es . . . . . . . . . . 304 Applications mesurables 314.1 D´efinition d’une application mesurable . . . ...

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Extrait

Mesure

et

(Notes

int´egration

de

Xavier

cours)

MARY

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Tabledesmatie`res

1 Introduction 7 1.1Leproble`medeLebesgue....................8 1.2Int´egraledeRiemann,inte´graledeLebesgue..........9 1.3Mesuresetprobabilite´s......................9

I Th´orie de la mesure 11 e 1Alg`ebresettribusdepartiesd’unensemble13 1.1De´finitions.............................13 1.2Tribuengendre´e,tribuimager´eciproque............14 1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Produit d’espaces mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5Latribubore´lienne........................16 1.6Compl´ements:πe`em,-systλasclmosetono..ne81..s-sy`tme,e 2Mesure,espacemesure´21 2.1D´efinitions.............................21 2.2Propri´ete´se´le´mentaires,caract´erisationd’unemesurefinie..22 3 Prolongement d’une mesure et applications 25 3.1Th´eor`emedeprolongement(Carath´eodory)..........25 3.2Mesureext´erieure.........................25 3.3 Application : la mesure de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4Ensemblesne´gligeables,tribuetmesurecompl´ete´e......29 3.5Produitfinid’unefamilled’espacesmesure´s..........30 4 Applications mesurables 31 4.1D´efinitiond’uneapplicationmesurable.............31 4.2Propriet´esg´ene´rales.......................32 ´

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4.3Proprie´te´sdesfonctionsmesurablesre´elles...........32 ¯ 4.4Fonctiona`valeurdansR= [−∞,+∞] . . . . . . . . . . . . . 33 4.5 Transport d’une mesure, mesure image . . . . . . . . . . . . . 34 4.6Approximationd’unefonctionmesurabler´eelle........34

II Integration ´

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1Inte´grationdesfonctionsmesurablespositives39 1.1Int´egrale(supe´rieure)desfonctions´etag´ees..........39 1.2Int´egraled’unefonctionmesurablepositive..........41 1.3Propri´ete´vraiepresquepartout.................42 1.4Propri´et´esge´n´erales.......................43 1.5The´or`emedetransfert(changementdevariable).......45 1.5.1Mesuresde´finiespardesdensite´s............46 1.6Mesuresabsolumentcontinues,´etrang`eres...........47 1.7Absoluecontinuite´etdensit´e..................47 1.8Th´eor`emedechangementdevariable,λmesure de Lebesgue . 48 1.9Caracte´risationdelamesureproduit,th´eor`emedeFubini- Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2Int´egrationdesfonctionsmesurablesquelconques53 2.1Int´egraled’unefonctionmesurable...............53 2.1.1De´finitions........................53 2.1.2 L’ensembleL 1 . . . .  54. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2Propri´ete´sg´en´erales.......................54 2.2.1Premie`resproprie´t´es,lemmedeFatou.........54 2.2.2Theoremedelaconvergencedomine´eetapplications.55 ´ ` 2.2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.3Th´eor`emedeFubinipourlesfonctionsmesurablesquelconques58 2.3.1Leth´eor`emedeFubini..................58 2.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4 La convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4.1 Convolution de deux mesures . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4.2 Convolution d’une fonction et d’une mesure, de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

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IIICompl´ements63 1 Les espacesL p etL p ,p∈[0,+∞]65 1.1D´efinitionsdesespacesL p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.1.1 Les espacesL p , p∈R +  65. . . . . . . . . . . . . . .. . . 1.1.2 Les espacesL ∞ ,L ∞ . . . .  66. . . . . . . . . . . . . . . 1.2Propri´et´esdesespacesL p , p∈[1,+∞ 66] . . . . . . . . . . . . . 1.2.1||.|| p  66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .est une norme 1.2.2Compl´etudedesespacesL p  68. . . . . . . . . . . .. . . 1.2.3Autrespropri´et´es.....................69 1.3 Dual des espacesL p  69. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2Latransform´eedeFourier71 2.1De´finitions.............................71 2.2Propri´et´esgenerales.......................72 ´ ´ 2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4Proprie´te´sge´ne´ralesX=R d d’in-ivit´eeth´:tni’dtcej`roeseme version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.4.1Th´eore`med’injectivit´e..................73 2.4.2The´ore`med’inversion..................75 2.5Transforme´edeFourierdansL 2 . . .  75. . . . . . . . . . . . . . Index 76

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Chapitre 1

Introduction

H.Lebesgueestge´ne´ralementconsid´er´ecommelep`eredelath´eoriemoderne del’inte´gration.Sad´efinitiondefonctioninte´grablerestelaplussatisfaisante `cejoOndoitcependante´galementcitertroismathe´maticiensquiont a ur. aid´eLebesguea`formulersonint´egrale.LesdeuxpremierssontG.Peanoet C.Jordan:G.Peanoad´efinilepremierlesnotionsdemesureint´erieureet exte´rieure,tandisqueC.Jordanestlepremiera`inte´grersurdesensembles distinctsd’intervalles,appel´esensemblesJordan-mesurables.Letroisi`eme estlemath´ematicienE.Borel,quide´finitlesnotionsdetribus(bore´liennes) etdemesuresdeBorel.C’estlapremi`ereapparitiondemesuresσ-finie sur un espace mesurable (et non une algebre). `

Pourquoi H. Lebesgue a-t-il eu besoin de toutes ces notions ? D’ou viennent lesnotionsdetribus,demesureexte´rieure?Uner´eponseestlar´esolution duproble`medeLebesgue,quenousaborderonsrapidement. Nousdiscuteronsensuitebrie`vementdesdifferencesfondamentalesentre ´ int´egraledeRiemannetint´egraledeLebesgue,avantd’aborderledomaine des probabilit´ es.

Lecoursseraensuitedivis´een2grandesparties:lath´eoriedelame- sure,the´orieabstraitequiseraensuiteappliqu´eea`unenouvelleth´eoriede l’inte´gration:l’inte´graledeLebesgue.

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