COURS MECANIQUE CLASSIQUE

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515 Chapitre 6champ magnétique permanent :magnétostatique6.1 calcul direct du champpour déterminer le champ magnétostatique on utilise la loi de Biot etSavart¡¡!!¡„ d c ^PM!¡ 0dB(M)˘¡¡!4… 3PM!¡!¡ou d c est l’élément de courant qui crée le champ B(M)1. Dans le cas d’un courant filiforme!¡!¡d c ˘Id l2. Dans le cas d’un courant surfacique!¡!¡d c ˘ j dSs3. Dans le cas d’un courant volumique!¡!¡d c ˘ j d¿520 6.2 théorème d’ampère!¡la circulation du champ magnétique B le long d’un contour fermé estégale au produit de la constante„ par le courant enlacé par le contour0I!¡!¡B.d l ˘„ I0 enlace27COURS MP-PC 18:18/3 octobre 2010dans le cas d’une distribution continue de courantˇ!¡ !¡I ˘ j .dSenlaceou S est une surface ouverte qui s’appuie sur le contour fermé.parexemple si le contour fermé est un cercle de rayon R la surface ouverte quis’appuie sur ce est un disque de rayon R.dans la pratique on suit la démarche suivante pour déterminer le champ!¡525 magnétique B(M) :1. On détermine les plans de symétrie et d’antisymétire de la distribu-!¡tion des courants : B appartient à un plan d’antisymétrie des cou-!¡rants ceci permet de déterminer la direction de B qui doit avoir une530 seule composante.2. On étudie les invariances de la distribution des courants c’est à dire!¡les invariances par translation et par rotation des : B doitdépendre d’une seule variable.3. On choisit un contour fermé d’ampère tel que :H!¡ !¡ !¡ !¡535 (a) B//d l c’est ...

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Extrait

Chapitre 6 515

champ magntique permanent : magntostatique

6.1 calculdirect du champ

pour dÉterminer le champ magnÉtostatique on utilise la loi de Biot et Savart −−→ −→ −→ µ 0 d c∧P M d B(M)= −−→ 4π 3 P M −→ −→ oud cest l’ÉlÉment de courant qui crÉe le champB(M)

1. Dansle cas d’un courant filiforme −→ −→ d c=lI d

2. Dansle cas d’un courant surfacique −→ −→ d c=j s dS

3. Dansle cas d’un courant volumique −→ −→ d c=j dτ

6.2 thormed’ampre 520 −→ la circulation du champ magnÉtiqueBle long d’uncontour fermest Égale au produit de la constanteµ 0 par le courant enlacÉ par le contour I −→ −→ B.d l=µ 0 I enl a c e

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dans le cas d’une distribution continue de courant Ï −→ −→ I enl a c e =j.d S ou S estune surface ouvertequi s’appuie sur le contour fermÉ.par exemple si le contour fermÉ est un cercle de rayon R la surface ouverte qui s’appuie sur ce contour est un disque de rayon R. dans la pratique on suit la dÉmarche suivante pour dÉterminer le champ −→ magnÉtiqueB(M) : 525

1. OndÉtermine les plans de symÉtrie et d’antisymÉtire de la distribu- −→ tion des courants :Bappartient À un plan d’antisymÉtrie des cou- −→ rants ceci permet de dÉterminer la direction deBqui doit avoir une seule composante. 530 2. OnÉtudie les invariances de la distribution des courants c’est À dire −→ les invariances par translation et par rotation des courants :Bdoit dÉpendre d’une seule variable. 3. Onchoisit un contour fermÉ d’ampÈre tel que : −→ −→ H −→ →− (a)B//d lc’est À direB.d l=B.l. 535 −→ −→ H −→ −→ (b)B⊥d lc’est À direB.d l=0. 4. Onapplique la formule pour obtenir l’expression de B

6.3 quationde maxwell ampre A partir du thÉorÈme d’ampÈre I Ï −→ −→ −→ −→ B.d l=µ 0 j.d S en utilisant le thÉorÈme de stockes I ÏÏ −→ −→ − →− −→ → − −→ → B.d l=r ot B.d S=µ 0 j.d S donc Ï Ï − → →− → → − − −→ r ot B.d S=µ 0 j.d S cette relation est vraie∀la surface S donc −→ →−→− r ot B(M)=µ 0 j(M) appelÉ Équation de maxwell ampÈre. c’est une relation locale qui relie le −→ champBau point M au vecteur densitÉ volumique de courant au mme 540 point M. C’est une relation linÉaire donc qui relie le champ À ses sources. tel : [phone]page 28AMAMI MOHAMED

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6.4 quationde maxwell flux −→ le champ magnÉtiqueBest un champ À flux conservatif Ó −→ −→ B(M).d S=0

en utilisant le thÉorÈme de green Ñ −→ d iv(B(M))dτ=0 V cette relation est vraie∀le volume V donc −→ d iv(B(M))=0

6.5 potentielvecteur comme −→ d iv(r ot)=0 le champ magnÉtique s’Écrit sous la forme d’un champ de rotationnel −→ − − → → B(M)=Ar ot(M)

−→ A(M) est appelÉ potentiel vecteur. ce potentiel vecteur n’est pas unique en fait si on prend deux potentiels vecteurs −→ A et −→ −→−−−→ 0 A=A+grad f tous les deux donnent le mme champ magnÉtique car −→ −→ →−−− r ot grad=0 pour lever cette ambguitÉ on doit imposer une condition supplÉmentaire appelÉchoix de jauge. En magnÉtostatique on choisit −→ d iv(A)=0 appelÉ jauge de coulomb Pour dÉterminer le potentiel vecteur a partir de celle du champ magnÉ- tique correspondant on applique le thÉorÈme de stockes au potentiel vec- teur I Ï −→−→ −→ −→→− A.d l=Ar ot.d S

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6.6 quationde poisson −→ −→ →− en remplacantBparr otAdans l’Équation de maxwell ampÈre − −→ → →− r ot B(M)=µ 0 j(M)

−→− →− → →→−−−−→ −→ − r otr otA(M)=grad(d iv A)− Δ A=µ 0 j(M) comme −→ d iv(A)=0 nous obtenons −→ −→ − Δ A=µ 0 j ou −→ −→ −→ Δ A+µ 0 j=0 cette Équation est appelÉ Équation de Poisson pour le potentiel vecteur Si la distribution de courant se trouve dans un domaine fini la solution de l’Équation de Poisson est  −→ −→ Ð µ 0 j(P)dτ   A(M)= 4π V P M  −→ →−  A(∞)=0

6.7 relationde passage entre deux milieux 545 A la traversÉe d’une nappe de courant le champ magnÉtique subit une discontinuitÉ.Les Équations de maxwell ampÈre et de maxwell flux se transforment de la facon suivante : 1. Apartir maxwell ampÈre − −→ → −→ r ot B(M)=µ 0 j(M) − −→ → en remplacant ler oten fonction de l’opÉrateur nabla∇l’Équation s’Écrit −→ −→−→ ∇ ∧B(M)=µ 0 j(M) Attention : ceci n’est pas une dmonstration mais une faÇon de se rappeler des relations de passage. tel : [phone]page 30AMAMI MOHAMED

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pour obtenir l’Équation de passage on remplace nabla par la normale −→ allant du milieu 1 au milieu 2 ,le champBpar la discontinuitÉ du −→−→−→−→ champ Δ B=B 2 −B 1 et le vecteur densitÉ volumiquejde courant −→ par le vecteur densitÉ de courant surfaciquej s −→ −→−→ ∇ ∧B(M)=µ 0 j(M) |{z} |{z} |{z} −→ −→ −→ n 12 ΔB j s d’ou l’Équation de passage −→−→ −→ n 12 ∧ Δ B=µ 0 j s (M) −→−→−→ −→ B 2 −B 1 =µ 0 j s ∧n 12 −→ −→−→ sij s 6=composante tangentielle de0 laBest discontinue 550 2. Sion applique la mme dÉmarche pour l’Équation de maxwell flux −→ −→−→ d iv(B)= ∇.B=0 −→ −→ n 12 . Δ B=0 cette relation montre que la composante normale À la surface de sÉ- paration est continue B 2n =B 1n

6.8 Continuit −→ −→ 1. Pourune distribution volumique de courants,AetBsont dÉfinis et continus en tout point. −→ 2. Pourune distribution surfacique de courants,Bpeut prÉsenter une −→ discontinuitÉ À la traversÉe de la nappe surfacique de courants.Aest 555 continu. −→ −→ 3. Pourune distribution linÉique de courants,AetBne sont pas dÉfinis sur les courants seulement.

6.9 calculsdu champ et du potentiel vecteur 6.9.1 potentielvecteur 560 −→ On calcul le potentiel vecteurApar une mÉthode qui ressemble À celle du calcul du potentiel scalaire en Électrostatique. NÉanmoins, il faut cal- culer ses trois composantes dans une rÉgion donnÉe. tel : [phone]page 31AMAMI MOHAMED

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il faut prendre en compte les propriÉtÉs de symÉtrie de la densitÉ de cou- rant. 565

6.9.2 Lesquatre faÇons de calculer le champ magntique Voici des conseils sur les mÉthodes À employer pour calculer le champ magnÉtique. 1. La formule de Biot et Savart : elle n’est pratique que lorsqu’on sait −→ faire l’addition vectorielle des champsd BcrÉes par un petit ÉlÉment 570 du circuit (souvent des circuits filiformes). 2. LethÉorÈme d’AmpÈre : il faut tre capable de calculer la circulation du champ sur un contour choisi. Cela nÉcessite donc une symÉtrie relativement simple des courants. 3. Laconservation du flux : À n’utiliser que si l’on connait dÉjÀ son ex- 575 pression dans une autre rÉgion de l’espace. −→ 4. Lepotentiel vecteur : On calcul le potentiel vecteurAensuite on cal- − →− −→ → culeAr otafin d’obtenir le champB. Dans tous les cas, il faut prendre en compte les proprits de sy- mtrie de la densit de courant. 580

6.10 Exercicestypes À savoir 1. spire: champ sur l’axe et au voisinage de l’axe. 2. solÉnoide 3. nappede courant 4. cáblecoaxial 585 5. Effethall 6. MagnÉtorÉsistance 7. EffetMeissner

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Chapitre 7

Rsum :quations de maxwell en rgime permanent 590

1. Les Équations de maxwell en rÉgime permanent se divisent en deux catÉgoires :les Équations de strucure (intrinsÈques) et les Équations qui relient le champ À ses sources

r el ati onsintr inse qu esr el ati onsr el aintl echam pa ses sourc es −→−→ − −→ → ρ 595 r ot E=0d iv(E)= ε 0 −→ − −→→− → d iv(B)=0r ot B=µ 0 j ces Équations sont linÉaires donc on peut appliquer le principe de superposition.

2. Les relations de passage sont −→−→ σ −→ E 2 −E 1 =n 12 ε 0 −→−→−→ −→ B 2 −B 1 =µ 0 j s ∧n 12

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