cours sur l'indépendance des variables aléatoires

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Chapter 8Ind´ependance des variables al´eatoiresdiscr`etesSommaire8.1 Cas de deux variables al´eatoires: d´efinitions et crit`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.2 Ind´ependance et covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.3 Cas de plusieurs variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.4.1 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.4.2 Initiation `a l’estimation statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Objectifs:• Etendre la notion d’ind´ependance introduite pour les ´ev´enements aux variables al´eatoires.Mots-cl´es:• loi faible des grands nombres.• initiation aux statistiques: intervalle de confiance, niveau de confiance...Outils:• diff´erents crit`eres d’ind´ependance,• variance d’une somme de variables al´eatoires ind´ependantes, covariance de variables al´eatoires ind´ependantes.8.1 Cas de deux variables al´eatoires: d´efinitions et crit`eresD´efinition 8.1 Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e, X et Y deux variables al´eatoires r´eelles discr`etes d´efiniessur Ω. X et Y sont ind´ependantes si et seulement si∀x∈X(Ω) ∀y∈Y(Ω) P({X = x}∩{Y = y}) =P(X =x)P(Y =y). (8.1)Remarque: L’id´ee est la suivante: quand X et Y sont ...

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Extrait

Chapter 8

Ind´ependancedesvariablesal´eatoires discre`tes

Sommaire 8.1Casdedeuxvariablesale´atoires:de´finitionsetcrite`res........................ 8.2Ind´ependanceetcovariance....................................... 8.3Casdeplusieursvariablesale´atoiresdiscre`tes............................. 8.4 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Loifaible des grands nombres .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2Initiation`al’estimationstatistique...............................

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Objectifs: •leurpotene´eevs´xuastnemelbairavotioelannd´end’inaecepdndoiunirtseanld´reatEotires. Motscle´s: •loi faible des grands nombres. •initiation aux statistiques:intervalle de confiance, niveau de confiance... Outils: •,dirctie`er´ffrenestpendancesd’ind´e •ioere´tae´episdnevarncedesaliablsetnadneairavoc,irtoeal´epd´ines’decsenuavnairabrisalemeomvadeannds.te

8.1Casdedeuxvariablesale´atoires:d´efinitionsetcrit`eres De´finition8.1Soit(Ω,F,P)edacspneu,eil´tabibpeorXetYlesariabuxvadees´rselleeae´lriotesetdir`scefid´inse surΩ.XetYmnednatnstiesstiientds´euelpeesno ∀x∈X(Ω)∀y∈Y(Ω)P({X=x} ∩ {Y=y}) =P(X=x)P(Y=y).(8.1)

Remarque:eestid´eL’audnetq:vinaalusXetYalavelrurpsiperaenepd´inntsoertiannoc,setnadXne donne pas d’information sur la valeur prise parY. Cecise voit en regardant P({X=x} ∩ {Y=y})P(X=x)P(Y=y) P(X=x|Y=y= =) =P(X=x). P(Y=y)P(Y=y) Onpeutaussidireleschosesdelafa¸consuivante:XetYruopistnemeluestiessteanndpe´endsnoittout x∈X(Ω), pour touty∈Y´sve,)elΩ(ene´tnems{X=x}et{Y=y}onsndtipe´ednnast.

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Proposition 8.2Soit(Ω,F,P)oubnprpdaeecse´eitilab,XetY´eatesalsr´eoiresleeluedlbairavxdsietsrce`fin´esied surΩ.XetYessietseulementsitnos´dninepetnad ∀A⊂X(Ω)∀B⊂Y(Ω)P({X∈A} ∩ {Y∈B}) =P(X∈A)P(Y∈B).(8.2) D´emonstration:Il est clair que si (8.2) est satisfaite, en prenantA={x}etB={y}, alors (8.1) est satisfaites et doncXetYet.se´epdnnasontind R´eciproquement,supposonsqueXetY.)oS8(2.orsnomtnesetdantepenind´tnositA⊂X(Ω) et B⊂Y(Ω). Remarquonsque{X∈A} ∩ {Y∈B}={(X, Y)∈A×B}et queA×Bircemoctems’´ l’union disjointe suivante: [ A×B={(x, y)} x∈A,y∈B Donc P({X∈A} ∩ {Y∈B}) =P((X, Y)∈A×B)   [   =P{(X, Y) = (x, y)} x∈A,y∈B X =P(X=x, Y=y) x∈A,y∈B X =P(X=x)P(Y=y) x∈A,y∈B    ! X X   =P(X=x)P(Y=y) x∈A y∈B =P(X∈A)P(Y∈B).

 Proposition 8.3Soit(Ω,F,P)decaorpeibab´tilenep,suXetYdevauxabrielas´laeotrise´reellesdiscr`etesseinfie´d surΩ.XetYndtionsanndpe´eeistetssemtnueelsi pour toutes fonctionsfetgdeRdansR,f(X)etg(Y)ostn.esntdaenepd´in(8.3) De´monstration:Il est clair que si (8.3) est satisfaite, en prenantf(x) =g(x) =x, alors (8.1) est satisfaites et doncXetYsontnepe´dni.setnad R´eciproquement,supposonsqueXetYoi.Stmtesrtno(sno)3.8ontind´ependantesfetgdeux 0 0 fonctions deRdansR. NotonsX=f(X) etY=g(Yveut donc montrer que). On 0 00 00 00 00 00 0 ∀x∈X(Ω)∀y∈Y(Ω)P({X=x} ∩ {Y=y}) =P(X=x)P(Y=y). 0 00 00 Remarquons queX(Ω) = (f◦X)(Ω) etY(Ω) = (g◦Y)(Ω). Soitdoncx∈X(Ω) ety∈Y(Ω): 0 00 −10 0−0 010 {X=x}={f(X) =x}={X∈f({x})}et{Y=y}={f(Y) =y}={Y∈f({y})} Donc, en utilisant (8.2), 0 00 0−10 −10 P({X=x} ∩ {Y=y}) =P({X∈f({x})} ∩ {Y∈f({y})}) −10 −10 =P(X∈f({x}))P(Y∈f({y})) 0 00 0 =P(X=x)P(Y=y).

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

Proposition 8.4Soit(Ω,F,P)lit´babie,enpsupeorcadeXetYder´esirtoeslleebairavxuae´laselcs`rtesedi´dfieinse surΩ.XetYsontindstionfoncutesleeuntmepositourepe´nadnssetsteifetgdeRdansRtelles quef(X)et g(Y),selbarge´tnitnieso E(f(X)g(Y)) =E(f(X))E(g(Y)).(8.4) D´emonstration:Montrons d’abord que siXetYospe´dnitnesntdaen(8rslo,atsas4.e)iaetitfs. Supposons dans un premier temps quefetgPar la formule de transfert pour lesont positives. vecteurale´atoireZ= (X, Y): X E(f(X)g(Y)) =f(x)g(y)P(X=x, Y=y) (x,y)∈Z(Ω) X =f(x)g(y)P(X=x)P(Y=y) x∈X(Ω),y∈Y(Ω)    X X    =f(x)P(X=x)g(y)P(Y=y) x∈X(Ω)y∈Y(Ω) =E(f(X))E(g(Y)). Enl’appliquanta`|f|et|g|, ceci permet de voir quef(X)g(YsullccaseltnanerpernE.sable´egrtint)es avecfetgquelconques, on voit que (8.4) est satisfaite. R´eciproquement,supposonsque(8.4)estsatisfaiteetmontronsqueXeyYsetnadne.soepd´innt Soitx∈X(Ω) ety∈Y(Ω). Onposef(s) =1 {x} (s) etg(s) =1 {y} (s). Alorsf(X) =1 {x} (X) =1 X=x etg(Y) =1 {y} (Y) =1 Y=y et donc E(f(X)) =E(1 X=x ) =P(X=x) etE(g(Y)) =E(1 Y=y ) =P(Y=y). D’autre part, E(f(X)g(Y)) =E(1 X=x 1 Y=y ) =E(1 {X=x}∩{Y=y} ) =P(X=x, Y=y). Donc (8.4) impliqueP(X=x, Y=y) =P(X=x)P(Y=y), et doncXetYet.sdnnaes´enpoitdn

8.2Inde´pendanceetcovariance

Proposition 8.51. SiXetYtoiresdilesal´easeavirbasnodtt´inraegntdaetes´dninepe`rcssete,aloblesrsX Yest inte´grableet E(X Y) =E(X)E(Y). 2. SiXetYcs`rteseni´dpenelesal´eatoiresdiselbola,srntdaetest´inraegdtnosbairavseCov(X, Y) = 0. 3. SiXetYnie´ge´tedterracsorblraale,nosl´saleabrivaestd`rteidcsriseaeotntesendad´epesinX+Yeesdtcera´r inte´grableetV ar(X+Y) =V arX+V arY. D´emonstration:applique (8.4) aux fonctions1. Onf(x) =xetg(y) =y. 2.Cov(X, Y) =E(X Y)−E(X)E(Y’apr`es1.d0=) 3. On avu que var(X+Y) = varX+ varY+ 2Cov(X, Y) = varX+ varYs2.a’de`rp ♠Attention!ssautfesrdgaree:cevelsnoruetLrae´icrpqoeued.2Z= (X, Y) suivant:Zsuit la loi uniforme sur Z(Ω) ={(1,0),(−1,0),(0,1),(0,−1)}tnalrpboa,tueremqueabilit´eZcleuqnu’la`lage´tsinpoesecedquonsetsoit 1/4. AlorsXetY´deoenpnalroi,ˆemeontmX(Ω) ={−1,0,1}et 1 1 P(X=−1) =P(X= 1) =etP(X= 0) =. 4 2 63