Cours sur la géométrie analytique

Description

bbbbbbbbbbbbChapitre 5Géométrie analytiqueI Repère et coordonnéesDéfinition Repère orthonorméUn repère est la donnée de deux axes gradués, sécants en un point qui est l’origine du repère.◮ Ce repère est orthogonal lorsque les deux axes sont perpendiculaires.◮ Ce repère est normé lorsque les unités choisies sur les deux axes sont les mêmes.Un repère qui a ces deux propriétés est dit orthonormé.Il y a donc 4 types de repères :Orthogonal Orthonormé Normé QuelconqueyyyyJ J11II J J11xO 1 IxO 1 IO x1O x1Le quadrillage est carré!Le quadrillage est rectangle!Le quadrillage estLe quadrillage est losange! parallélogramme!VocabulaireDans la suite, on ne se placera que dans un repère orthonormé qui sera nommé (O;I,J).◮ (OI) est l’axe des abscisses du repère et sera aussi noté (Ox),◮ (OJ) est l’axe des ordonnées du repère et sera aussi noté (Oy).Théorème Coordonnées d’un point dans un repèreDans un repère orthonormé (O;I,J), tout point M du plan est repéré par un unique couple denombre réels (x;y).Notation : M(x;y) et (x;y) sont les coordonnées de M dans le repère.Démonstration:◮ L’existence : En suivant le programme de construction suivant ...16bbbccbbcbbbcbbII. COORDONNÉESD’UN POINT MILIEU 17y1. Tracer les parallèles aux axes passant par le point M,2. Ces parallèles coupent les axes : (Ox) en N et (Oy) en P, 3P M3. Le point N étant sur l’axe des abscisses, il est repéré sur yP2cet axe par son abscisse x ,N4. Le point P ...

Informations

• Publié par: Nuhok
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Français

Extrait

Chapitre 5
Géométrie analytique
I Repère et coordonnées
Définition Repère orthonormé
Un repère est la donnée de deux axes gradués, sécants en un point qui est l’origine du repère.
◮ Ce repère est orthogonal lorsque les deux axes sont perpendiculaires.
◮ Ce repère est normé lorsque les unités choisies sur les deux axes sont les mêmes.
Un repère qui a ces deux propriétés est dit orthonormé.
Il y a donc 4 types de repères :
Orthogonal Orthonormé Normé Quelconque
yy
yyJ J1 1I
I J J1
1xO 1 IxO 1 I
O x1O x1
Le quadrillage est carré!Le quadrillage est rectangle!
Le quadrillage est
Le quadrillage est losange! parallélogramme!
Vocabulaire
Dans la suite, on ne se placera que dans un repère orthonormé qui sera nommé (O;I,J).
◮ (OI) est l’axe des abscisses du repère et sera aussi noté (Ox),
◮ (OJ) est l’axe des ordonnées du repère et sera aussi noté (Oy).
Théorème Coordonnées d’un point dans un repère
Dans un repère orthonormé (O;I,J), tout point M du plan est repéré par un unique couple de
nombre réels (x;y).
Notation : M(x;y) et (x;y) sont les coordonnées de M dans le repère.
Démonstration:
◮ L’existence : En suivant le programme de construction suivant ...
16
bbbbbbbbbbbbII. COORDONNÉESD’UN POINT MILIEU 17
y
1. Tracer les parallèles aux axes passant par le point M,
2. Ces parallèles coupent les axes : (Ox) en N et (Oy) en P, 3
P M3. Le point N étant sur l’axe des abscisses, il est repéré sur yP
2cet axe par son abscisse x ,N
4. Le point P étant sur l’axe des ordonnées, il est repéré sur 1
cet axe par son abscisse y ,N N
5. Le point M est alors repéré par le parallélogramme rec- 1 2 3 4x xO N
tangle ONMP, donc par les coordonnées (x ;y ).N P
◮ L’unicité :
′ ′Si un point M a les mêmes coordonnées que M, alors les parallélogrammes ONMP et ONM P
′sont confondus et de là M =M .
Exercices : Livre : 13, 16, 17 et 18 page 270
Lire les coordonnées, placer un point.
II Coordonnées d’un point milieu
Théorème
Sur un axe gradué, la distance AB entre les points A et B se calcule avec les abscisses de A et B :
AB=la plus grande abscisse - la plus petite
O A I B
| | | | |
x xA B0 1
Dans les cas illustré : on a AB =x −x .B A
Démonstration:
Il s’agit de poser le calcul qui donne un écart positif et corresponde au calcul géométrique de la longueur
à partir de l’origine O : Soit AB =OB−OA, soit AB =OA−OB.
On peut alors obtenir la propriété suivante :
Propriété
x +xA B
Sur un axe gradué, I milieu de [AB] vérifie x = .I
2
O A I B
| | | | |
x x x0 1 A I B
Démonstration:
En effet : AI=IB implique x −x =x −x , qui donne bien 2x =x +x et le résultat attendu.I A B I I A B
Propriété
Dans un repère, I milieu de [AB] vérifie :
x +x y +yA B A B
x = et y =I I
2 2
Démonstration:
On trace les parallèles à l’axe (Oy) passant parA, puis parB et enfin parI. On obtient les pointsA , I ,1 1
B sur (Ox) qui ont respectivement les mêmes abscisses que A, I et B. On montre alors que I est milieu1 1
de [A B ] avec le théorème des milieux (il y a deux cas à envisager).1 1
cbbcbbbbbbcbbc18 CHAPITRE5. GÉOMÉTRIEANALYTIQUE
x +x x +xA B A B1 1On applique alors la propriété précédente, qui donne x = , qui donne donc x = .I I1 2 2
On fait de même sur l’autre axe pour obtenir la formule sur les ordonnées.
Exercices : Livre : 29, 30 page 271
Avec des points milieux, à déterminer.
Exercices : Livre : 35, 36 et 37 page 272
Avec des points milieux, pour montrer
III Distance entre deux points
Théorème Calcul de longueur
Dans un repère orthonormé avec A(x ;y ) et B(x ;y ) on a :A A B B
q
2 2
AB = (x −x ) +(y −y )B A B A
Démonstration:
Le schéma est un cas particulier, mais tous les résultats obtenus s’obtiennent aussi avec un autre schéma.
Il y a 4 cas en fait, les donner! y
B
yBDans le triangle ABC, rectangle en C car le repère est or-
thogonal, on peut utiliser le théorème de Pythagore.
2 2 2On obtient AB =AC +BC .
2 2 2 AOn peut alors écrire : AB = (x −x ) + (y −y ) car leB A B A yA C
repère est normé.
1Ce qui donne bien le résultat, sachant queAB est un nombre
1 x x xpositif. O A B
Exercices : Livre : 41, 43, 44 page 273
Calculer avec des entiers, des fractions et des irrationnels.
Exercices : Livre : 50, 52 page 273
Nature d’un triangle, d’un quadrilatère.
Exercices : Livre : 59, 60 page 275
Avec des cercles.
bbbb