Cours sur les fonctions en classe de seconde - Bacamaths

Costantini

Informations

• Publié par: Fiwyur
• Nombre de lectures: 521
• Langue: Français

Extrait

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
1. Qu'est-ce qu'une fonction ? Vocabulaire
Définition Notion de fonction
À chaque fois que l'on associe à une quantité x une (autre) quantité y, on dit que que l'on définit une fonction.
Les fonctions sont désignées par des lettres. On note par exemple :
ƒ : x a y
ou encore : ƒ(x) = y
On dit que y est l'image de x.
On dit que x est un antécédent de y.
Exemples :
• On choisit un nombre réel x (non nul). On lui ajoute 4, on élève le résultat obtenu au carré, on retranche 16,
on divise par le nombre de départ et on retranche 6. Quelle est la fonction ƒ correspondante ?
2 2x+-416( ) xx+8ƒ(x) = -6= -6= x + 8 - 6 = x + 2
x x
Avec cette fonction, il suffit d'ajouter 2 pour obtenir l'image d'un nombre x.

2• On considère la fonction ƒ définie par : ƒ : x a x - 4
(Cette fonction élève au carré le nombre de départ x puis lui retranche 4)
2Quelle est l'image de 3 ? ƒ(3) = 3 - 4 = 5
2Quelle est l'image de -1 ? ƒ(-1) = (-1) - 4 = -3
Quels sont les antécédents éventuels de 12 ? On cherche le ou les nombres x qui vérifient :
ƒ(x) = 12
2x - 4 = 12
2x - 16 = 0
(x - 4)(x + 4) = 0
x = 4 ou x = -4
Le nombre 12 possède deux antécédents par la fonction ƒ qui sont 4 et -4.
Quels sont les antécédents éventuels de -5 ? On cherche le ou les nombres x qui vérifient :
ƒ(x) = -5
2x - 4 = -5
2x = -1
Or, le carré d'un nombre réel ne peut pas être négatif, cette équation n'a pas de solution.
Le nombre -5 n'a pas d'antécédent par ƒ.
(Pour une illustration de tous ces calculs, on pourra regarder le graphique à la page suivante)
Comme on le constate sur l'exemple précédent, il peut très bien ne pas y avoir d'antécédents et il peut aussi y en
avoir plusieurs. Tout dépend du nombre de solutions de l'équation ƒ(x) = k.
Généralités sur les fonctions Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/Définition Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction ƒ est l'ensemble des points de coordonnées (x, ƒ(x)) dans un repère
donné. Cette représentation graphique est souvent notée C . Lorsque cette représentation graphique est d'unƒ
seul "tenant", on parle alors de la courbe représentative de la fonction ƒ.
Pour esquisser une représentation graphique, on remplit souvent un tableau de valeurs.
2Exemple avec ƒ(x) = x - 4.
0 1 2 3 4x -4 -3 -2 -1
12 5 0 0 5 12ƒ(x) -3 -4 -3
y
12
11
Cƒ
10
9
8
7
6
Lecture graphique
de l'image de 3.
5
4
3
2
Lecture graphique des
antécédents de 12.
1
O 1 2 3 4-4 -3 -2 -1 x
-1
-2
-3
-4
Remarque : il est préférable d'avoir bien étudié la fonction (sens de variation, extremums, voir les paragraphes
suivants) avant de tracer sa représentation graphique. En effet, entre deux valeurs calculées, il peut parfois y
5 3avoir des surprises ! Par exemple, tracez la représentation graphique de la fonction ƒ : x a x - 5x + 4x + 2
sur l'intervalle [-2 ; 2]. Si vous remarquez un phénomène étrange, c'est que les points calculés sont en nombre
insuffisants pour vous renseigner sur l'allure réelle de la courbe...
Généralités sur les fonctions Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/(1)Définition Ensemble de définition d'une fonction
L'ensemble de définition d'une fonction ƒ est l'ensemble de tous les réels x pour lesquels ƒ(x) est calculable.
Exemples :
• Soit ƒ la fonction définie par : ƒ(x) = 25x-
Les nombres ƒ(x) sont calculables si et seulement si :
Une curiosité :
2x - 5 > 0
Soit ƒ la fonction qui à x associe :
15
x + -x + x >
x2
Quel est son ensemble de définition ?L'ensemble de définition de cette fonction ƒ est :
5øø
D = ;+¥ƒœœ2ßß
31x-• Soit g la fonction définie par : g(x) =
x-2
Les nombres g(x) sont calculables si et seulement si :
x - 2 „ 0
On dit que 2 est une
x „ 2 "valeur interdite".
L'ensemble de définition de cette fonction g est :
D = ]-¥ ; 2[ ¨ ]2 ; +¥[g
Ce que l'on note encore : D =  \ {2}g
1• Soit h la fonction définie par : h(x) = 239xx+
Dans ce cas, on peut plutôt chercher les valeurs de x pour lesquelles h(x) n'est pas calculable :
23x + 9x = 0
On factorise par 3x : 3x(x + 3) = 0
x = 0 ou x = -3
L'ensemble de définition de cette fonction h est donc :
D = ]-¥ ; -3[ ¨ ]-3 ; 0[ ¨ ]0 ; +¥[h
1• Soit k la fonction définie par : k(x) = 23-x+
25x+
Les nombres k(x) sont calculables si et seulement si :
2 - 3x  0 et 2x + 5 „ 0
2  3x et 2x „ -5
2 5 x  et x „ -
3 2
L'ensemble de définition de cette fonction k est donc :
5 øø52øØ D = -¥-; ¨-;k œœœŒßº2 23ßß
2• Dans le cas de la fonction ƒ : x a x - 4, que nous avons représentée plus haut, on a D =  .ƒ

(1) En général, cette question ne se pose pas ; en effet, se donner une fonction, c'est se donner un ensemble de départ E, un ensemble d'arrivée F et
un procédé qui à tout élément x de E associe un élément y de F. Se pose la question lorsqu'on recherche la plus grande partie E de sur laquelle
on peut effectivement définir la fonction ƒ.
Généralités sur les fonctions Page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
2. Sens de variation d'une fonction
Définition
Soit ƒ une fonction définie au moins sur un intervalle I. On dit que :
• ƒ est croissante sur I si : pour tous u et v dans I : u < v ? ƒ(u)  ƒ(v)
• ƒ est strictement croissante sur I si : pour tous u et v dans I : u < v ? ƒ(u) < ƒ(v)
• ƒ est décroissante sur I si : pour tous u et v dans I : u < v ? ƒ(u)  ƒ(v)
• ƒ est strictement décroissante sur I si : pour tous u et v dans I : u < v ? ƒ(u) > ƒ(v)
• ƒ est monotone sur I si ƒ est croissante sur I ou décroissante sur I.
• ƒ est strictement monotone sur I si ƒ est strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I.
Remarques :
• ces notions ne sont valables que sur un intervalle ;
• on dit parfois que ƒ est croissante si elle conserve les inégalités et que ƒ est décroissante si elle renverse les
inégalités ;
• si une fonction est strictement croissante sur un intervalle I, alors elle est croissante sur I.
Illustration graphique :
ƒ(x) ƒ(x)
Cƒ Cƒƒ(u)
ƒ(v) ƒ(v)
ƒ(u)
u v u v
x x
Fonction croissante : Fonction décroissante :
u < v ? ƒ(u)  ƒ(v) u < v ? ƒ(u)  ƒ(v)
Généralités sur les fonctions Page 4 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/2Exemple : poursuivons l'étude de la fonction ƒ définie par ƒ(x) = x - 4 et montrons, comme le suggère le
graphique, que cette fonction est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +¥[ et strictement décroissante sur
l'intervalle ]-¥ ; 0].
Soient u et v deux réels quelconques de l'intervalle [0 ; +¥[. Supposons que :
0  u < v (1)
Alors en multipliant les membres des inégalités (1) par u (qui est positif), on obtient :
20  u < uv (2)
Par ailleurs, en multipliant l'inégalité (1) par v (qui est aussi positif), on obtient :
20  uv < v (3)
En combinant les inégalités (2) et (3), nous obtenons :
2 2u < v
2 2Et en retranchant 4 dans chaque membre : u - 4 < v - 4
C'est-à-dire : ƒ(u) < ƒ(v)
La fonction ƒ est donc bien strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +¥[.
Soient u et v deux réels quelconques de l'intervalle [-¥ ; 0]. Supposons que :
u < v  0 (1')
Alors en multipliant les membres des inégalités (1') par u (qui est négatif), on obtient :
2u > uv  0 (2')
Par ailleurs, en multipliant l'inégalité (1') par v (qui est aussi négatif), on obtient :
2uv > v  0 (3')
En combinant les inégalités (2') et (3'), nous obtenons :
2 2u > v
2 2Et en retranchant 4 dans chaque membre : u - 4 > v - 4
C'est-à-dire : ƒ(u) > ƒ(v)
La fonction ƒ est donc bien strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; +¥[.
Nous ferons, plus tard, une étude plus systématique du sens de variation des fonctions usuelles suivantes :
2x a x (fonction "carré")
1
x a (fonction "inverse")
x
x a ax + b (fonctions "affines")
3x a x (fonction "cube")
x a x (fonction "racine carrée")
Généralités sur les fonctions Page 5 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/Le sens de variation d'une fonction peut êtr