Cours sur les incertitudes

Bruno Herrbach

Description

Estimation des incertitudes sur les erreurs de mesure. I. Introduction : En sciences expérimentales, il n’existe pas de mesures exactes. Celle-ci ne peuvent être qu’entachées d’erreurs plus ou moins importantes selon le protocole choisi, la qualité des instruments de mesure ou le rôle de l’opérateur. Évaluer l’incertitude sur une mesure est un domaine complexe qui fait l’objet d’une branche complète : la métrologie. Voici quelques outils classiques et quelques méthodes préconisées par l’AFNOR (organisme officiel qui définit les normes à appliquer dans l’industrie). La norme qui nous préoccupe ici est la norme NF ENV 13005 d’août 1999, qui est un guide pour l’expression des incertitudes de mesure. Citons aussi la norme NF X07-001 de décembre 1994, qui définit le vocabulaire à employer. • Vocabulaire : G : Mesurande, grandeur à mesurer. g : Mesure de la grandeur G. u(G) : Incertitude type. U(G) : Incertitude élargie. ( )U G : Incertitude relative. g Rq : On confond souvent G et g ! Notez que u et U viennent de l’anglais "uncertainty". • Types de mesure : La mesure g d’une grandeur G peut être : directe : comme la pesée, mesurer une distance. indirecte comme la concentration, la vitesse. Unemesure indirecte donne g à partir d’autres grandeurs, comme dans l’exemple suivant : U = R.I calculé mesurés D’unemanière générale, on peut avoir y = f(x , x , …). 1 2 • Évaluation des incertitudes : Il faut un instrument de mesure construit ...

Informations

• Publié par: Thoun
• Nombre de lectures: 371
• Langue: Français

Extrait

Estimation des incertitudes sur les erreurs de mesure. I.Introduction : En sciences expérimentales, il n’existe pas de mesures exactes. Celleci ne peuvent être qu’entachées d’erreurs plus ou moins importantes selon le protocole choisi, la qualité des instruments de mesure ou le rôle de l’opérateur. Évaluer l’incertitude sur une mesure est un domaine complexe qui fait l’objet d’une branche complète :la métrologie. Voici quelques outils classiques et quelques méthodes préconisées par l’AFNOR (organisme officiel qui définit les normes à appliquer dans l’industrie). La norme qui nous préoccupe ici est la normeNF ENV 13005 d’août 1999, qui est un guide pour l’expression des incertitudes de mesure. Citons aussi la normeNF X07001 de décembre 1994, qui définit le vocabulaire à employer. ·Vocabulaire : G :Mesurande, grandeur à mesurer. gde la grandeur G.: Mesure u(G) :Incertitude type. U(G) : Incertitude élargie. UG : Incertituderelative. g Rq : On confond souvent G et g ! Notez que u et U viennent de l’anglais "uncertainty". ·Types de mesure : La mesuregd’une grandeur G peut être :directe :commela pesée, mesurer une distance.  indirectecomme la concentration, la vitesse. Une mesure indirecte donnegà partir d’autres grandeurs, comme dans l’exemple suivant : U = R.I

 calculémesurés D’une manière générale, on peut avoiry=f(x 1 , x 2 , …). ·Évaluation des incertitudes : Il faut un instrument de mesure construit sur un étalon. Malgré tout, cet instrument possède aussi une certaine précision. L’acte de mesurer entraine deux types d’erreurs : §Évaluations de te A : C’est le cas où l’opérateur fait toute une série de mesures. Le traitement des erreurs est statistique :moyenne, écarttype, … Cetteanalyse statistique se fait lorsqu’on a peu d’indications sur les sources d’erreurs.

1

§Évaluations de te B : Il est impossible, voire difficile de faire un calcul statistique (cas de la mesure unique). L’opérateur doit chercher et évaluer les sources d’erreurs. Le constructeur de l’instrument de mesure fournit des données telles quela casse de l’appareil, le calibre, la résolution.Il est nécessaire d’avoir une connaissance générale sur l’expérience. §osées :Incertitudes com Dans certains cas complexes, il faut souvent combiner les méthodes de type A et de type B, pour obtenir une meilleure évaluation de l’incertitude : 2 2 ( G ) ( G ) ( G u=u A +u B II.e A et de tMéthodes d’évaluation des incertitudes de te B : ·Type A : Dans les cas de plusieurs mesures indépendantes, l’incertitude se calcule à l’aide de l’écarttype 2 g-g å i i σ n1 =  d’ordren–1 (appelé encore écart type de l’échantillon). On prend alors n 1 1 å comme valeur de g, la moyenne des mesures : g=g i . n i Si la distribution des mesures suit une loi gaussienne, alors les observations montrent queσ n–1 est un bon estimateur de l’incertitude pour un très grand nombre de mesures, mais on pratique très rarement 30 000 mesures !!! ·Type B : Il est nécessaire de faire un bilan des erreurs : §stémati uesLes erreurs stelles que l’erreur de parallaxe, le réglage du zéro de l’appareil, les erreurs de méthode, le vieillissement des composants, … §Les erreurs aléatoires telles que les erreurs de lecture ou dues à l’appareil luimême, ou dues aux conditions extérieurs (température et dilatation, pression atmosphérique, humidité,…). Dans un tel cas de figure, pour arriver à exprimer l’incertitude sous forme d’un écarttype, on peut changer d’instrument de mesure, voire de protocole, faire varier les paramètres influents. Mais on utilisera toujours les données du constructeur. La norme AFNOR indique ainsi que : §D’une manière générale, si le constructeur fournit l’incertitude type, on l’utilise directement. D C Si l’incertitude est du type :Δ C = ± …, l’incertitude est : u= . 3 Δ C est le nombre de mesures ayant donné le résultatg i

g

2

i

§Si on aue eud’indications, ou tout au moins une incertitude simple, la norme prévoit de D C prendre comme incertitude : u= . 12 Δ C est le nombre de mesures ayant donné le résultatg i

g i 1division §Par conséquent, pour les appareils analogiques, l’erreur est. 12 §Pour les appareils numériques, l’erreur est une formule :xDi its.% Lecture + Par exemple :la toléranceΔ C mL est deburette graduée de 25 d’une±0,030 mL. D C 0,030 L’incertitude est : u B = ==0,01732mL . 3 3 Par exemple :la précisionΔ C d’une balance est de 0,1 mg. D 0,1 C type B : == = .  L’incertitudeest de u B 0,02887mg 12 12 §Si l’incertitude obéit à une loi normale, ce qui est souvent le cas de phénomènes physiques, D C alors : u= . 3

·Incertitudes élargies :

Δ C

g

est le nombre de mesures ayant donné le résultatg i

i

Le problème, et notamment dans le cas d’une évaluation de type B pour laquelle le calcul statistique n’est pas possible (mesure unique), est qu’il faut donc arriver à faire "confiance" à notre écarttype, en l’élargissant, tout simplement : Si les mesures sont équiprobables et que l’on connaîtg min etg max , l’incertitude élargie se calcule en multipliantupar uncoefficient d’élargissementk: U k*u avec k= 2pour une confiance à 95 %.  k= 3pour une confiance à 99 %. On parle bien évidement d’intervalle de confiance :[g–U(G), g+U(G)]

3

Mais les mesures suivent très souvent une distribution gaussienne, et leur nombre est souvent très faible, commedans le cas d’une évaluation de type B :

g–U(G)g g+U(G) s n-1 On applique la méthode de Student: U ( G ) =t % , suivant le pourcentage de confiance n voulu : n 23 4 5 6 7 8 910 t 95% 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,264,3 3,18 12,7 t 99%  63.7 9,933.255,84 4,6 4,033,71 3,5 3,36 n 1214 16 18 20 30 50100 ¥ t 95%  2,22,16 2,13 2,11 2,09 2,04 2,01 1,98 1.96 t 99%  3,113,01 2.952,9 2,862,76 2,68 2,63 2.57 III.des incertitudes :Pro a ation ·C’est le cas des mesures indirectes : § Si une grandeuryse déduit de grandeursx i , par une formule du type :y=f(x 1 ,x 2 , …), alors, 2 é ù ¶f 2 å l’incert u y ) = ( ) , si les mesures itude se calcule par: ( ê ú u x i  desx i  sont i ¶x ë û i indépendantes (on dit : non corrélées). § Si les mesures desx i sont fortement corrélées, le calcul est plus complexe ! §Soityune variable dépendant de la mesure de deux paramètresx 1 etx 2 . On a des incertitudes Dx 1 etDx 2 entraînant une incertitudeDysur la valeur dey. Le calcul de cette incertitude est basé sur de petites variations, donc sur le calcul différentiel. On identifie :Dx i ºïdx i ï etDyºïdyï æ¶f ö æ¶ f ö G=f ( x,y )  doncdG= ç ÷ dx+ ç ÷ dy G=f x è dx ø dy y è ø x Ainsi :dG=f' ( x d ) x et 2 2 æ¶f ö 2 æ¶ f ö 2 DG='D f ( x ) x soitDG÷ D= çx+ ç ÷ Dy dx dy è ø y è ø x §Techniques de calcul : n somme algébrique : å i i y=ax i=1

4

n 2 22 = donne : u(y)a i u(x i ) å i=1

si les mesures desx i sont indépendantes

n å y=u x u( )a i ( i les mesures des ) si x i sont corrélées i=1 a1a2 ax x... 1 2 produit ou quotient : y= a3a4a5 bxx x... 3 45 2 22 2 æ ( ) ö æ ( ) ö æ ( ) ö æ u(y) ö 2 u x 1 2 u x 2 2 u x 3 ç ÷ç ÷ç ÷ donne : ç ÷ =a 1 +a 2 +a 3 +... ç ÷ç ÷ç ÷ y x xx è ø 31 2 è øè øè ø  siles mesures desx i sont indépendantes u(x)u(x)u(x) u(y) 31 2 a i a a...= + + + 2 3 y xx x 1 23  siles mesures desx i sont corrélées Rq 1 :On retiendra que dans le cas de l’addition, on ajoute les incertitudes absolues, et dans le cas de la multiplication, on ajoute les incertitudes relatives. Rq 2 :La méthode d’élargissement de l’incertitude reste valable dans le cas de mesures composées. On applique alors souvent la méthode de Student. §U = RIExemple :On mesure R±DR et I±DI ona : dU = R.dI+I.dR 2 2 dU dIdRΔU æ ΔI ö æ ΔR ö Soit : = + , d’où l’incertitude relative : ç ÷ = ç÷ + U IU è I ø è R ø γp dγp dcdγ c= donc: dc= soit:= ρ 2 γ ρc 2γ ΔcΔγ En incertitude relative, cela donne : = c 2γ ·Présentation des résultats : §Intervalle de confiance :On écrit dans tous les cas :y= ( …±…) unité  Facteurd’élargissement :k= 2 (ou 3)  Incertitudetype :u(y) = … unité  Incertitudeélargie :U(y) = … unité U y  Incertituderelative :=...% y L’incertitudeU(G) doit comporter 2 chiffres significatifs. Le nombre de chiffres après la virgule degs’en déduit logiquement, à condition de prendre la même notation pourU(G) etg.

5

U(G) L’incertitude relativedoit aussi comporter 2 chiffres significatifs ; g u(G) L’incertitude typeu(G) et l’incertitude type relativesont des résultats mathématiques g intermédiaires qui peuvent resservir, donc ils doivent comporter 4 chiffres significatifs. y ·Remarque : Pente a 1 On peut aussi étudier la compatibilité des mesures (dans le cas d’un nombre restreint de Pente a 2 mesures), comme par exemple le cas d’une variation linéaire : La pente a est déterminée par la moyenne des pentes extrêmes: a+a 1 2 a= . x 2 a-a 1 2 L’incertitude est : Δa= 2 Dans cet exemple, les croix symbolisent les couples d’incertitude surxety, à savoirDxetDy. On peut, au vu du graphique, éliminer certains points expérimentaux alignés. On peut aussi comparer des valeurs, à condition qu’elles soient en nombre restreintes, de façon très simple, par comparison des segments d’incertitude: M 1 DM 1Les segments doivent avoir une partie commune; dans le cas contraire, soit l’incertitude est trop faible, soit il M 2 DM 2 y a un résultat érroné. Cette méthode est interressante pour une comparaison M 3 DM 3 globale de résultats expérimentaux, provenant par exemple d’expériences différentes.

6