cours sur les vecteurs

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• Publié par: Feduh
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• Langue: Français

Extrait

Chapitre 4
Vecteurs : Première partie
Il s’agit ici de voir la définition d’un vecteur puis la somme et la différence de deux vecteurs.
I Définitions
Voir les animations MachineSC.avi et MachineR.avi : Que font-elles et pourquoi?
On connait donc deux types de transformation : ...................... et ......................
On propose de découvrir une nouvelle machine Mathématique :
animation MachineT.avi : Que fait-elle et pourquoi?
11b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
12 CHAPITRE 4. VECTEURS : PREMIÈREPARTIE
Définition
La translation qui transforme A en B associe à tout pointC du plan l’unique pointD tel que
les segments [BC] et [AD] ont le même milieu.
1° cas :C 62 (AB) 2° cas :C ∈ (AB)
D est le point tel que ABDC est un parallélo- Le parallélogrammeABDC est alors aplati.
gramme.
DC D
C
B
A B
A
Définition
La translation qui transforme A en B est appelée # »
# » ABla translation de vecteurAB.
A
B
Exercice : lire, construire
avec des vecteurs
B C
A
• Construire l’imageI deC par la translation • Construire l’imageK deC par la translation
# » # »
de vecteurAB. de vecteurBC.
• Construire l’imageJ deC par la translation • Construire l’imageL deC par la translation
# » # »
de vecteurBA. de vecteurKB.
ABCD est un rectangle etI,J les milieux respectifs des segments [AB] et [DC].
J
D C
O
A B
I
• L’image de I par la translation de vecteur • L’image de J par la translation de vecteur
# » # »
DJ est le point ... .... DI est le point ... ....
# »
• L’image de C par la translation de vecteur • Construire le vecteurOJ puis l’imageK de
# »
DA est le point ... .... B par la translation de ce vecteur.
Exercices : Livre : 4, 5 page 310
Lire et construire des images.II. VECTEURSÉGAUX 13
II Vecteurs égaux
Définition
# » # »
Dire que deux vecteursAB etCD sont égaux signifie qu’ils définissent la même translation.
# » # »
Les translations de vecteursAB etCD donnent alors les mêmes points images.
# » # »
On notera dans ce casAB =CD.
Théorème Caractérisation de l’égalité de deux vecteurs
# » # »
Les vecteursAB etCD sont égaux
se traduit par ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Démonstration:
# »
◮ La propriété : Par la translation de vecteurCD le pointC a pour image le pointD!
# »
Comme la translation de vecteurAB donne les mêmes points images, l’image deC est aussiD. Par
définitionABDC est donc un parallélogramme (éventuellement aplati).
◮ La réciproque :
On se place dans le casABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).
# »
Pour tout point M du plan, l’image par la translation de vecteur AB est notée N. Par définition,
ABNM est donc un parallélogramme.
# »
On a alors queCDNM est aussi un parallélogramme et la translation de vecteurCD transformeM
enN. Les deux translations ont donc les mêmes images.
Exercice : Livre : 3 page 310
égalité de vecteurs.
Exercices : Livre : 13, 15 page 311
démontrer.
Définition Vecteur algébrique
#»
◮ Un vecteur non nul est défini par ses trois caractéristiques Droite, direction de u
1) Sa direction, donnée par une droite du plan,
#»2) Son sens, un des deux sens de parcours de la droite, u
#»Sens de u3) Sa longueur.
#»On le représente par une flèche et sera noté généralement u.
#»Longueur de u◮ Le vecteur nul est le vecteur de longueur nulle.
#»
On le notera 0.
Exemples :
#»• Construire le vecteur u de direction verticale, de sens bas vers le haut et de longueur 3 carreaux ,
• Dessiner une droiteD «oblique», représenter alors deux vecteurs de directionD, de même longueur
et de sens contraire.b
b
14 CHAPITRE 4. VECTEURS : PREMIÈREPARTIE
Définition Représentation d’un vecteur algébrique
En géométrie plane, en utilisant des points A, B du plan, on peut faire une représentation d’un
#» #»vecteur u. Les pointsA etB permettent une représentation du vecteur u si :
#»1) La droite (AB) est la direction de u, #»
u
#»2) Le sens deA versB est celui de u,
#»3) La longueurAB est égale à celle de u.
# »
#»Dans ce cas, le vecteurAB est un représentant du vecteur u. A
# »
A etB sont les extrémités du vecteurAB, etA son origine. # »
# » # » ABLe vecteur nul sera représenté par les vecteursAA,BB, ...
B
Propriété
# » # » # »
#»Si AB, CD, EF sont des représentants d’un même vecteur u alors ils définissent tous la même
translation et on peut alors écrire :
# » # » # »
#»AB =CD =EF = u
Exercice : Livre : 8 page 311
construire.
III Somme de deux vecteurs
Exercice : Animation du bateau
vers la somme de deux vecteurs.
Définition Somme de deux vecteurs
#» #»Lorsqu’on utilise la translation de vecteur u suivie de la translation de vecteur v, on définit une
#» #»nouvelle translation dont le vecteur associé est le vecteur somme u + v.
#» #» #» #» #» #»Remarque : On définit de la même façon le vecteur v + u et on a la commutativité : u + v = v + u.
Propriété Construction de la somme de deux vecteurs
#» #»Soient u et v deux vecteurs non nuls.
#» #» #» #»Pour définir le vecteur somme u +v, on utilise des représentants de u et v et l’une des deux règles
suivantes :
◮ Relation de Chasles
# » # » # » # » # »
#» #» #» #» D CAvec u =AB et v =BC, u + v =AB+BC =AC.
#»
v◮ Règle du parallélogramme
# » # »
#» #»Avec u = AB et v = AD, on construit le parallélo-
# » #»
#» #» A u BgrammeABCD et on a : u + v =AC.
#»#» #» #»Remarque : Le vecteur nul est neutre pour l’addition : Pour tout vecteur u, u + 0 = u.
Exercice : voir animation sur les deux méthodes
construire une somme
#» #»
u + vIV. DIFFÉRENCE DE DEUX VECTEURS 15
Exercice : Livre : 24, 28 page 312-313
lire un vecteur somme
Exercices : Livre : 28 page 313
lire un vecteur somme
Exercices : Livre : 22, 26 page 312-313
construire un vecteur somme
IV Différence de deux vecteurs
Définition
# » # »
Pour tout vecteurAB, on définit le vecteur opposé −AB par :
# » # »
−AB =BA
#» #»Pour tout u, on définit de même le vecteur−u pour lequel seul le sens change.
Remarque Le vecteur opposé au vecteur nul est lui-même.
Définition Différence de deux vecteurs
#» #» #» #»Pour tout vecteur u et v on définit la différence notée u − v par le calcul :
#» #» #» #»
u − v = u +(−v)
Exercice : Livre : 31 page 313
lire un vecteur somme