Déterminant de Cauchy et matrice de Gram : applications

Alaeddine Ben Rhouma

Description

Déterminant de Cauchy-Matrice de Gram et applications 1 Déterminat de Gram Définition. Six ,...,x sont des vecteurs d’un espace vectoriel muni d’un produit scalaire, alors le détermi-1 n nant de Gram est le déterminant G(x ,...,x ) = det ()1 n i j 1≤i,j≤n Notons que la matrice () est une matrice symétrique.i j 1≤i,j≤n Proposition.

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• Publié par: ALEDINE.BENRHOUMA
• Publié le: 06 mai 2015
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• Langue: Français

Extrait

Déterminant de Cauchy-Matrice de Gram et
applications
1 Déterminat de Gram
Définition.
Six ,...,x sont des vecteurs d’un espace vectoriel muni d’un produit scalaire, alors le détermi-1 n
nant de Gram est le déterminant

G(x ,...,x ) = det (<x,x >)1 n i j 1≤i,j≤n
Notons que la matrice (<x,x >) est une matrice symétrique.i j 1≤i,j≤n
Proposition.
Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire. Si F est un sous-espace vectoriel de base
{x ,...,x } et si x est un vecteur de E, alors le déterminant de Gram est un moyen de calculer1 n
la distance entre x et F par
G(x,x ,...,x )1 n2d(x,F ) =
G(x ,...,x )1 n
2 Déterminant de Cauchy
Définition.
Soienta ,...,a ,b ,...,b des nombres complexes tels quea +b = 0 pour tout couple (i,j). Le1 n 1 n i j
déterminant de Cauchy est
1
Δ = detn a +b 1≤i,j≤ni j
Proposition.
Le déterminant de Cauchy est donnée par la formule :
Q
[(a −a )(b −b )]j i j i
i<j
Δ = Qn
(a +b )i j
i,j
1
63 APPLICATIONS
3 Applications
3.1 Optimisation d’une intégrale
∗ nSoit n∈N , on considère l’application φ :R →R telle que
1Z
nφ(a ,··· ,a ) = (1 +a x +··· +a x )dx.1 n 1 n
0
nMontrer que φ admet un minimum μ atteint en un point unique deR et calculer μ.
3.2 Théorème de Müntz
Théorème.
2Soit (C,||·|| ) l’espace des fonctions continues sur [0, 1], mnui de la norme de L . Soit (α )2 n n∈N
une suite strictement croissante de réels positifs.
Alors on a l’équivalence :

αn(i) V = Vect (x7→x ) est dense dansC.
n∈N
X 1
(ii) La série diverge.
αn
n∈N
Preuve :
a aPar souci de clarté, on notera simplement x la fonction x7→x .
+ m α α1 NPour m∈R , on note Δ (m) la distance de x à Vect (x ,...,x ). On a donc, avec les déterminantsN
de Gram :
m α α1 NGram (x ,x ,...,x )2Δ (m) = .N α α1 NGram (x ,...,x )
a b 1Or, pour tous a et b, on ahx ,xi = .
a+b+1
Donc :
1 1 1 ... 2m+1 m+α +1 m+α +1 1 N
1 1 1 ...