Étude d’une fonction

Brahmi

Description

;;;;;Test Conclusion fx'( ) 0 sur [a,b] f est strictement croissante sur [a,b] fx'( ) < 0f est strictement décroissante sur [a,b] fx''( ) 0 sur [a,b] f est convexe sur [a,b] ''( ) < 0f est concave sur [a,b] Pour ca∈],b[ ; si f '(c) n’existe pas ou C est un point critique de f fc'( ) = 0 Pourca∈],b[ ; si f présente un maximum local en c ( f continue en c) +(fx'( ) 0 dans et f(c) est une valeur maximale local de f ]a,c[)+(fx'( ) < 0 dans ]c,b[) Pourca∈],b[ ; si f présente un minimum local en c ( f continue en c) +(fx'( ) < 0 dans et f(c) est une valeur minimale locale de f fx'( ) 0]a,c[)++( dans ]c,b[) Si en un point c de ]a,b[ , le graphe de f C est dite un point d’inflexion de f passe de convexe à concave ou de concave à convexe Pourca∈],b[ ; si f présente un minimum local en c ( f '' est continue dans un voisinage de et f(c) est une valeur maximale locale de f c)+ (fc'( ) = 0 )+ (fc''( ) 0 ) Pourca∈],b[ ; si f présente un maximum local en c ( f '' est contine et f(c) est unf c)+ (fc'( ) = 0 )+ (fc''( ) < 0 ) Pour chercher un maximum d’une fonction f continue sur un intervalle fermé [a,b] : 1) on calcule les points critiques de f et on évalue f en ces points 2) On calcule la valeur de f aux extrémités de l’intervalle 3) a)–La plus grande des valeurs de f dans 1) et 2) donne la valeur maximale absolue de f b)- La plus petite des valeurs de f dans 1) et 2) donne la valeur minimale absolue de f . Remarque : Toute ...

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Extrait

Test Conclusion f'(x);0sur [a,b]est strictement croissante sur [a,b] f'(x)<0est strictement décroissante sur [a,b]sur [a,b] f''(x);0 sur [a,b]est convexe sur [a,b] f''(x)<0est concave sur [a,b]sur [a,b] Pour c∈]a,b[ ; si '(c) n’existe pas ouC est un point critique de f'(c)=0 Pourc∈]a,b[; siprésente un maximum local en c ( continueen c) +(f'(x);0 f(c) est une valeur maximale local de fdans et ]a,c[)+( f'(x)<0dans ]c,b[) Pour c∈]a,b[ présente un minimum local en c; si ( continueen c) +( f'(x)<0dans etf(c) est une valeur minimale locale de f ]a,c[)++( f'(x);0 dans ]c,b[) Si en un point c de ]a,b[ , le graphe deC est dite un point d’inflexion de passe de convexe à concaveou de concave à convexe Pour c∈]a,b[ présente un minimum local en c; si (''est continue dans un voisinage de et f(c) est une valeur maximale locale de f c)+ ( f'(c)=0 )+ ( f''(c);0 ) Pour c∈]a,b[ ; siprésente un maximum local en c ( '' est continue dans un voisinage de et f(c) est une valeur maximale locale de f c)+ ( f'(c)=0 )+ ( f''(c)<0 ) Pour chercher un maximum d’une fonction f continue sur un intervalle fermé [a,b] : 1)on calcule les points critiques de f et on évalue f en ces points 2)On calcule la valeur de f aux extrémités de l’intervalle 3)a)–La plus grande des valeurs de f dans 1) et 2)donne la valeur maximale absolue de f b)- La plus petite des valeurs de f dans 1) et 2)donne la valeur minimale absolue de f . Remarque :Toute fonction continue f sur un intervallefermé I atteint un maximum et un minimum absolu sur I . Remarques : a) Ce ne sont pas toutes les points, où f'(x)=0 maximum local ou de, qui sont des points de minimum local. b) Ce ne sont pas toutes les points critiques de, qui sont des points demaximum local ou de minimum local. c) Ce ne sont pas toutes les points, où f''(x)=0 , qui sont des points d’inflexions.

Étude d’une fonction Il existe deux méthodes pour tracer la courbe d’une fonction. -En procédant point par point (non recommandé) -En faisant une analyse de la fonction pour en dégager les principales caractéristiques que l’on rapporte sur un plan cartésien. Nous allons effectuer ici une analyse au lieu d’un traçage point par point. L’analyse d’une fonction consiste à construire une liste, aussi complète que possible, des caractéristiques de la fonction (points maximums, points minimums, points d’inflexion, intervalle de croissance, de décroissance, deconvexité, concavité,…). 1) Le domaine de définition. Le domaine est l’ensemble R auquel on enlève toutes les valeurs de x pour lesquelles la fonction n’existe pas. On retrouve les valeurs qui annulent le dénominateur, les valeurs qui font qu’une expression à l’intérieur d’une racine carrée est négative, les valeurs qui font que le nombre dont on prend le logarithme n’est pas positif,…). 2) La symétrie de la fonction. Si f(-x)=f(x),f est paire et le graphique de f est symétrique par rapport à l’axe x=0. Si f(-x)=-f(x), f est impaire et le graphique de f est symétrique par rapport au point (0,0). 3) Les valeurs de discontinuité de la fonction. Les valeurs a telles que l’une, au moins, des trois expressions suivantes n’existe pas: lim limlim (x),f(x),f(x) + − x→a x→a x→a 4)Les expressions de f ‘(x) et f ‘’(x). 5) Les points critiques de la fonction. Les valeurs de x qui annulent f ‘(x) ou telles que f ‘(x) n’existe pas. 6)Les valeurs de x qui annulent f ‘’(x) ou telles que f ‘’(x) n’existe pas. 7) Les points maximums et les ponts minimums. 8) Les intervalles de croissance et de décoissance. 9) Les intervalles de concavité, convexité, point d’inflexion. 10) Les valeurs de la limite de la fonction à +∞ et −∞ . 11) Les équations des asymptotes verticales et horizontales . lim -Soit f une fonction. Si lim  ousi ,la droite x=a est dite )= ±∞ f(x)∞= ± + f(x − x→a x→a asymptote verticale de f. lim lim -Soit f une fonction. Siou si, la droite y=b est dite f(x)=b (x)=b x→ ∞ x→ −∞ asymptote horizontale de f. Nous devons réunir l’ensemble de ces informations dans un « tableau de variation ». À l’aide d’un exemple, nous allons savoir comment tracer une fonction avec les informations caractéristiques à celle-ci. En résumé, pour étudier une fonction,on doit trouver :

1)Le domaine de définition. 2)La symétrie de la fonction. 3) Les valeurs de discontinuité de la fonction. 4)Les expressions de f ‘(x) et f ‘’(x). 5) Les points critiques de la fonction. 6)Les valeurs de x qui annulent f ‘’(x) ou telles que f ‘’(x)n’existe pas. 7) Les points maximums et minimums (locaux) 8) Les intervalles de croissance et de décoissance. 9) Les intervalles de concavité, convexité et point d’inflexion. 10) Les valeurs de la limite de la fonction à +∞ et −∞ . 11) Les équations des asymptotes verticales et horizontales. Exemple1 : Étudieret tracer le graphe des fonctions : 2 1 2 1 x+2x−3 3 3 a) f(x)=  b) (x)=e  c) h(x)=x(6−x) 2 x 2 x+2x−3 Solution : l’étude de la fonction f(x)= 2 x 1) Domaine de définition : Dom=R \ { 0 f 2) Vérification de la symétrie. 2 2 2 x+ 2 x− 3 ( −x ) + 2 ( −x ) − 3 x− 2 x− 3 ( x ) =  alors f ( −x ) = =≠f ( x ) ≠ −f ( x ) 2 2 2 x ( − ) x x Il n’y a aucune symétrie. 3) estune fonction rationnelle donc elle est continue sur son domaine de définition 4) ,5) et 6) 6−2 f'(x)= 3 x Détermination des points critiques : 6−2x ' existe danstous le domaine deet f'(x)=0 ⇒=0⇒6−2x=0 etx=3 3 x donc un seule point critiquex=3 -Pour les valeurs qui annulent f ‘’(x), nous avons: 4x−18 9 f''(x)= =0 4x=x18 et= 4 x2 7):Déterminer les points minimums et lesmaximums locaux  -La valeur 3 est le seul point critique et f ‘’(3) < 0 donc onretrouve un seul extremum qui se 4 trouve être un point maximum localet la valeur maximale locale est f(3)= . On ne retrouve 3 aucun point minimum. 8),9), 10) et 11) Déterminer le domaine de croissance, décroissance concavité, convexité et les asymptotes

f(x) estcroissante sur ] 0,3 [  carf'(x)>0 ssi x∈ ] 0,3 [ f(x) estdécroissante sur ] -∞,0 [  et sur ] 3,∞ [  9   9  f(xconcave vers le haut sur,) est∞f''(x) car>0 ssi x∈,∞     2   2   9  f(xconcave vers le bas sur) est ] -∞,0 [ et 0,    2  lim limlim lim f(x)=1 etf(x)=1,f(x)=f(x)= −∞ − + x→ −∞x→ +∞x→0x→0 donc x=et x0 estune asymptote verticale=1 sontles asymptote horizontale Tableau de variation x −∞  03 9 +∞ 2 '(x) - N’ex + 0-- - iste pas ''(x) - N’ex +- 0- - iste pas (x) 1 Asy  f(3)=f(9/2)= mpto 4/3, 35/27 te Vale Pt. verti ur D’infl1 −∞ −∞ cale Max exion concave Concave concave Convexe