Etude du comportement des interfaces et des interphases dans les composites à fibres et à matrices

Kaflou Ali

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Chapitre II – Approche théorique du transfert de charge entre fibre et matrice   Introduction .............................................................................................................................. 33 II.1. Approche simple du transfert de charge......................................................................... 34 II.2. Effet de la dilatation de Poisson pendant la sollicitation du composite ........................ 36 II.3. Frottement constant et frottement de Coulomb.............................................................. 42 II.3.1. Déplacement pendant la traction de la fibre : frottement de Coulomb.................... 46 II.3.1.1. Premier chargement .......................................................................................... 46 II.3.1.2. Déchargement/rechargement ............................................................................ 48 II.3.2. Déplacement pendant la traction de la fibre : frottement constant .......................... 50 II.4. Contraintes thermiques résiduelles................................................................................. 52 II.4.1. Effet des propriétés des composants sur les contraintes thermiques .......................... 52 II.4.2. Effet de la contrainte thermique axiale sur les interactions fibre/matrice .................. 56 II.5. Mesure expérimentale des propriétés de linterface....................................................... 60 II.5.1. Exploitation de la fissuration matricielle................................................................. 60 II.5.2. Test dextraction de fibre (pull-out) ........................................................................ 62 II.5.3. La technique dindentation ...................................................................................... 63 II.6. Conclusion...................................................................................................................... 65   Introduction Dans ce chapitre, nous faisons une revue des articles pionniers dont les analyses intégrant les différents aspects qui doivent être pris en compte pour rendre compte de façon formelle du comportement mécanique de linterface entre fibre et matrice. Les articles cités portent essentiellement sur le cas de composite à matrice céramique (CMC). Nous détaillons dans un premier temps du transfert de charge entre fibre et matrice (§ II.1, II.2 et II.3), de leffet des contraintes thermiques résiduelles (§ II.4) et de la mesure des propriétés interfaciales (§ II.5). Dans la plupart des rapports expérimentaux depush-down (oupush-through), la résistance au glissement à linterface est considérée comme constante [MARS 84, 86, 87, 90, 92, WEIL 88, 91]. Dans cette analyse on néglige la dilatation transversale de la fibre et la variation de compression interfaciale qui en résulte et donc la contrainte de frottement. Dautres modèles sont basés sur le frottement de Coulomb, qui prend en compte la compression interfaciale, mais ne font pas intervenir les contraintes thermiques résiduelles [GAO 88 et SHET 88]. Certains auteurs ont pris en compte leffet de la contrainte thermique résiduelle axiale et radiale [HUTC 90, MARS 92, 94, PART 94] sous un chargement mécanique, sous une sollicitation thermique [COX 90] ou dans le cas particulier dune seule fibre chargée mécaniquement dans une matrice infinie [KERA 91].

 

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Dans ce qui suit, pour introduire la problématique, nous présentons succinctement lapproche simple et basique du cisaillement interfacial constant. La prise en compte des effets de Poisson est ensuite présentée sur la base du modèle deshear-lagde Shetty, ainsi que la prise en compte du frottement de Coulomb à linterface.   II.1. Approche simple du transfert de charge Le transfert de charge entre fibre et matrice opère au voisinage dune discontinuité dans la fibre ou dans la matrice. Il en résulte un gradient de contrainte dans la fibre qui est équilibré par le cisaillement interfacial (Fig. II. 1). τ R m   F F  + dF  R f   τ   dx Fig. II.1. Equilibre des effets sur un élémentdxde fibre.   Le transfert de charge peut alors être exprimé facilement par lexpression suivant : = −  . d d σ x f 2 R f τ (II 1) avecσ f  ;, la contrainte axiale dans la fibreR f , le rayon de la fibre etτ, le cisaillement interfacial. Si ce dernier est supposé constant (τ=τ*),σ f varie linéairement le long de laxe de la fibre. On considère une fibre enchâssée dans la matrice sur une profondeurH, subissant un effortFappliqué à lune de ces extrémités (Fig. II. 2). La contrainte dans la fibre décroît alors linéairement à partir de la contrainte appliquée jusquà zéro. (σ f (x=0) = F/πR f2 ). On suppose que le rayon de matriceR m ce qui revient à considérer que la fraction, est très grand, volumique de la fibre est très petite (V f = R f2 /R m2   →0). Dans la zone où le transfert de charge opère, la fibre sallonge. La longueur,l, de cette zone est simplement donnée à partir de lEqu. II. 1 par : l=σ f (x=0) R 2 f = 2 F R  (II.2) τ π f τ  34

F

σ f   σ fmax (x=0)   A σ f (x=0)

O τ   τ*  

B l

H

x Fig. II.2. Schéma de lextraction dune fibre et profils de contrainte correspondants.   Le déplacement de lextrémité de la fibre est proportionel à laire du triangle OAB et il sécrit : 2 U(F<F max )= 4π 2 R F 3 f E f τ ) I I(.3 * La force atteint un maximum lorsquelatteintH, cest la force darrachement : F max =2πR f Hτ* (II.4) et le déplacement de la force : U(F=F max )= 4π ( 2 F xam 3 E ) 2 τ  (II.5) R f f * Comme le glissement se fait maintenant sur toute la longueur enchâssée, la fibre peut se déplacer dans sa totalité et la longueur de la zone dinteraction entre fibre et matrice diminue progressivement : Sachant queU(F=F max ) <<H, la force dextraction diminue linéairement avec le déplacement (Fig. II. 3) F max =2πR f τ*H (II.6a)

 

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= F2R f * (H−U) (II.6b) Le même type de courbe est obtenu si on applique une poussée à lextrémité de la fibre (essai depush-through). F F max  

Equ. II.3

Equ. II.6

U(F F max  H) << H = Fig. II.3. Courbe dextraction (τ=τ*).

U

  II.2. Effet de la dilatation de Poisson pendant la sollicitation du composite Modèle shear-lagde Shetty Selon la théorie dushear-lag frottement interfacial dans un composite le monofilamentaire détermine le cisaillement interfacial. La résistance de frottement est déterminée par la contrainte radiale de compression,σ r , qui agit perpendiculairement à linterface fibre/matrice et par le coefficient de frottement,µ, à linterface : τ= µσ r  (II.7) La contrainte radiale,σ r , est la somme de la contrainte thermique résiduelle (résulte du misfit entre les coefficients de dilatation thermique de la fibre et de la matrice) et la contrainte radiale (qui se produit à cause de leffet de Poisson). Sous un chargement uniforme sur une extrémité libre de la fibre enchâssée dans la matrice, la fibre subi une contrainte à trois dimensions. La compression radiale à linterface (σ r ) augmente au dessus de la valeur initiale (σ 0 ) à cause de la dilatation transversale de la fibre. Une solution approximativeuper-bondpeut être obtenue en supposant que la dilatation radiale de la fibre à nimporte quelle section située à distancexde lextrémité de la chargée (loaded end) est donnée par : ∆R x σ = (x) f ( ) R f f E f f

 

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(II.8)

oùσ f (x)est la contrainte axiale locale de compressive dans la fibre,R f est le rayon de la fibre, E f le modules dYoung de la fibre etν f le coefficient de Poisson de la fibre. La contrainte de compression résiduelle est généralement associée à la différence de coefficient de dilatation thermique entre fibre et matrice, qui est donnée par lEqu. II.9a : E m (α m −α f )∆T  (II.9a) σ 0 ν− = (1+ν m )+ E m ( E 1 f ) f oùE m  module dYoung de la matrice, estE f  est le module dYoung de la fibre,α m  est le coefficient de dilatation thermique de la matrice,α f   est le coefficient de dilatation de la fibre, ν m est le coefficient de Poisson de la matrice,ν f est le coefficient de Poisson de la fibre,∆Test la gamme de refroidissement où la contrainte thermique se produit. Pour des fibres qui sont rigides par rapport à la matrice (E f >>E m ), lEqu. II.9a peut se simplifier comme suit : E m m T σ 0 = ( (1 − f ) ) ∆  (II.9b) +ν m Si cette dilatation de fibre est accommodée par un déplacement élastique de la matrice, la contrainte radiale dans linterface,σ r , est donnée par les propriétés élastiques de la fibre, de la matrice et la contrainte axiale dans la fibre,σ f : σ r ( )=σ 0 +kσ f (x) (II.10) oùk un paramètre qui est une fonction des propriétés élastiques de la fibre et de la est matrice : = E m f k (II.11) E f (1+ m ) Il faut noter que lhypothèse de Shetty se base sur la présence dune contrainte radiale de compression qui est notée positive. Si la contrainte est en tension (négative), une fois que la décohésion se produit, la fibre se sépare de la matrice et glisse librement. Si la force appliquée à lextrémité de la fibre est supportée complètement par le frottement interfacial, lexpression suivante revient à équilibrer chaque élémentdx la de fibre : d −πR f 2 d σ x f =2πR f σµ (II.12) r La substitution de lEqu.II.10 dans lEqu. II.12 et lintégration donnera la solution suivante pour la contrainte de compression axiale dans la fibre :  37

 (II.13) σ f (x)= k 1 ⎢ ⎣ ⎡ ⎝ ⎛ ⎢ ⎜ σ 0 + π Fk R 2 f ⎠ ⎟ ⎞ exp ⎝ ⎜ ⎛ − 2µ R f k x ⎠ ⎟ ⎞ −σ 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ oùF la force appliquée sur lextrémité de la fibre. Notons que lEqu. II.13 satisfait la est condition limite deσ f (x = 0) =F max /πR 2 . Pour une force appliquée donnéeF, il y a une distance finiex =lla contrainte axiale diminue à zéro, et celle-ci est donc pour laquelle définie comme la longueur de glissement : l R f ln ⎛ σ 0 +k F max ⎞ = 2µk ⎜ ⎝ πR f 2 σ 0 ⎠ ⎟  (III.14) Il faut noter que léquation II.13 nest pas une solution complète dupush-out la de fibre quandl<H, i.e., la longueur de glissement est plus petite que la longueur enchâssée de la fibre. Quand la longueur de glissement (l) approche la longueur totale (H), la force appliquée à pousser la fibre est maximale, et la charge maximale correspondanteF max  est donnée par lexpression suivante : F πR f 2 σ r ⎛ ⎡ 2µk H ⎞ 1 ⎤ max 0 exp = k ⎢ ⎣ ⎢ ⎜ ⎝ R f ⎟ ⎠ − ⎥ ⎦ ⎥  (II.15) LEqu. II.15 fourni une base pour la détermination expérimentale des paramètres interfaciaux,µ etσ r0 . Celle ci peut être faite en réalisant une série dessais darrachement (push-out)ou dindentation (push-incomposites en faisant varier lépaisseur, i.e., en) sur des faisant varier la longueur enchâssée de la fibre. La courbe typique de ce type dessai doit présenter une région élastique linéaire qui se termine par la force de la décohésion, puis un stade non linéaire daugmentation de charge correspondant à laugmentation de la longueur du glissement dans léprouvette et, lorsqueF max est atteint, une diminution de charge quand la fibre glisse dans sa totalité et sextrait de la matrice La Fig. II. 4 compare la variation de la contrainte du cisaillement le long de linterface de fibre prévue par le modeleshear-lag(analyse de Shetty), avec les éléments finis et dans le cas du cisaillement interfacial constant. On voit bien que le cisaillement interfacial est maximal à proximité de la surface et ensuite diminue. La contrainte de cisaillement interfacial est plus grande pour le modèle délément finis et le modèleshear-lagpar rapport au modèle à τ A partir des équations II.12 et II.13 on peut conclure que la variation de la constant. contrainte du cisaillement interfacial (ISS) le long de linterface est donnée par la relation suivante :

 

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⎛ ⎞ ⎛ ⎞ τ x = µ ⎜ σ 0 + π Fk R f 2 ⎟ exp ⎜ − 2µ R f k x ⎟   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

µ = 0,1 σ r0 = 8,5 MPa

µ = 0,1 σ r0 = 17 MPa

(- ) : Shear-lage (o) : éléments finis (Faber et al (---) : cisaillement interfacial constant

(II.16)

Fig. II.4. Comparaison des variations de la contrainte de cisaillement le long de linterface fibre-matrice selon lanalyse dushear-lagaux éléments finis et cas du cisaillement constant (R f = 15m,E f = 200 GPa,ν f = 0,15E m = 80 GPa,ν m = 0,3,F max = 0,44 N) [SHETT 88]   Lanalyse dushear-lag les résultats déléments finis montrent une allure similaire et sauf si on est proche de lextrémité chargée de la fibre. La différence près de la surface de chargement est due aux différentes conditions supposées du chargement. Un chargement en pointe a été utilisé dans le calcul aux éléments finis, mais une pression uniforme a été supposée dans lanalyse dushear-lag. La source de la deuxième différence vient du choix sur la valeur deσ 0 . La calcul aux éléments finis a été fait pour une situation où linterface ne subie pas une compression résiduelle. Malgré ces différences, la Fig.II.4 montre deux résultats intéressants et similaires. Premièrement, les deux modèles (élément finis et analyse dushear- lag) montrent une augmentation significative de la contrainte de cisaillement interfacial en prenant en compte la dilatation transversale de la fibre. Deuxièmement, comme une conséquence de ce qui précède, la longueur de glissement de la fibre est plus petite que la valeur donnée dans le cas du cisaillement interfacial constant. Lanalyseshear-lagde Shetty peut être utilisée pour estimer le déplacement de la fibre sous une charge uniforme. Lintégration de la déformation de compression dans la direction

 

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de chargement sur la longueur de glissement, donnera la relation suivante, pour le déplacement de lextrémité chargée de la fibre : U= R f (1 µ −2 k ν f E k)F − R f (1− µ 2 k ν f E k)σ 0 ×ln ⎜ ⎛ ⎝ σ 0 + σ kF ⎞ ⎟ ⎠  (II.17) 2 f 2 2 f 0 Pour les conditions expérimentales de la Fig.II.4, lEqu.II.17 prévoit un déplacement de la fibre de 1,4 et 2,1 µm pour les deux cas deµ= 0,2 etσ r0 = 8,5 MPa etµ= 0,1,σ r0 = 17 MPa, respectivement. Ces valeurs calculées sont significativement plus petites que les valeurs mesurées par Marshall (U= 4,2 µm) [MARS 84]. Ce désaccord propose que, selon lanalyse shear-lag Shetty, lun ou lautre deµ ouσ r0  les deux pour le composite SiC-LAS doive ou être plus petit que les valeurs supposées par Shetty. Par exemple, pourµ= 0,1 etσ r0 = 2 MPa, lEqu.II.17 prévoit un déplacement de la fibre du 4 µm, une estimation qui est plus proche de la valeur expérimentale. Dans le système du SiC/LAS III, lemisfit les coefficients de dilatation de la entre matrice LAS III (1.10 -6 /°C) et de la fibre de Nicalon (4.10 -6 /°C) produit une tension radiale considérable à linterface fibre/matrice quand le composite est refroidit à partir de la température délaboration [WEIH 91]. Cette contrainte produit une décohésion et un jeu entre fibre et matrice. Par ailleurs, à 1100 °C, la déformation radiale thermique estimée entre les deux composants (∆ε= 0,0032) est suffisamment plus grande que la déformation de Poisson maximale (∆ε = 0,001) induite par le test depoush-down. Le jeu entre la fibre et la matrice nest donc pas comblé. Donc, théoriquement, il ny a pas de contrainte radiale compressive à linterface fibre/matrice pendant lessai. Si le frottement de Coulomb est la seule source de résistance au glissement, alors la fibre devrait glisser librement. Puisque ceci ne se produit pas, une autre source de résistance au glissement doit être considérée. Linterface dans ces composites consiste en deux couches. La couche directement sur fibre est du carbone amorphe avec une épaisseur du 100 nm typiquement. La couche extérieure constituée de NbC polycristalin et son épaisseur peut varier de 20 à 200 nm. [WEIL 91]. La fissure et le jeu interfacial se trouvent généralement entre ces deux couches, et on suppose que le glissement se produit entre ces surfaces fissurées. Si la position de la fissure, relative à laxe dune fibre, varie sur la longueur ou sur la circonférence, le rayon effectif de la fibre varie. En conséquence, la surface de glissement sera rugueuse et irrégulière. Weihs et Nix [WEIH 91] proposent que cette surface rugueuse produit une résistance à glissement constante et la contrainte de frottement de Shetty se simplifie comme : =( 0 +k f ) (II.18a)

 

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Pour introduire une base de résistance constante au glissement dans lhypothèse de Shetty, un terme constantτ 0 est ajouté à lEqu.II.18a : = 0 +( 0 +k f ) (II.18b) Suite à la méthode dintégration de Shetty, Weihs et Nix [WEIH 91] ont obtenu le déplacement de lextrémité la fibre en fonction de la charge qui sécrit comme suit : 0 0  2 U= (1−2ν f k)F − R f (1−2ν f k) (τ 0 +σ r0 ) ×ln ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ τ + µ ⎝ ⎜ ⎛ σ r + π kF R f ⎟ ⎤ ⎠ ⎥ ⎥ ⎥ ⎞ ⎥  (II.19) 2 2 2µkπR f E f 2µk E f τ 0 µσ+ r0 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ En utilisant lEqu.II.19, connaissantR f  de la fibre) et (rayonF appliquée), (charge connaissant aussi les valeurs des constantes du composite et supposant queσ r0  = 0, on peut faire varierµ etτ 0 déterminer les valeurs qui produisent le meilleur ajustement des  pour données de test expérimentales. Le deuxième et troisième prédiction impliquent une moyenne de résistance au glissement,τ avg , qui est obtenu par intégration deτ sur la longueur de glissement, l: 1 l ] τ avg = l ∫ 0 [τ 0 + µ(σ r0 +kσ x )dx (II.20) La Fig. II.5 représente les résultats de trois coefficients de frictions 0,01, 0,1 et 0,5 et une contrainte de frottement constant de 11 MPa. Il apparaît que pourµ= 0,01 lajustement est le meilleur. Cette observation est tout à fait en accord avec la mesure deµ de Marshall [MARS 86]. Labsence courbure sur la courbe théorique avecµ 0,01 (Fig. II.5 droite) = montre que le modèle modifié de Shetty est en accord avec le modèle de Marshall et Oliver [MARS 87] tant queµest petit et queτ 0 est grand.

 

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Analyse modifiée de Shetty µ = 0,5  µ = 0,1

µ = 0,01

Analyse modifiée de Shetty 0,5 µ = 0,1 µ =

µ = 0,01

Fig. II.5. Comparaison de la force en fonction du déplacement pour un essai du push-downles valeurs prévues par lEqu. II.20.et A gauche : force-déplacement, à droite : Carré de la force-déplacement [WEIH 91].   II.3. Frottement constant et frottement de Coulomb. Modèle de Hutchinson et Marshall [HUTC 90, MARS 92] Nous considérons ici un composite cylindrique renforcé par une fibre continue alignée donnant une fraction volumiqueV f  : par donnéV f  =R f2  /R m 2  (Fig. II.6). Deux types de résistance au glissement seront considérées : (1) une contrainte de frottement entre fibre et matriceτ 0  constante sur toute la région où le glissement se produit, et (2) une frottement Coulomb, avec la contrainte de frottement qui est proportionnelle à la contrainte normale (radiale),σ r , dans la même région (Equ.II.7). Le glissement avec frottement se produit lors dun déplacement relatif entre fibres et matrice. Ces déplacements sont mesurés directement dans les essais depush-out/pull-out et sont, dans les composites à matrice céramiques réels, reliés à louverture des fissures matricielles pontées par les fibres. Le déplacement est donné par lintégration de la déformation axiale dans la fibre et dans la matrice. Lanalyse de Hutchinson et Jensen [HUTC 90] fournit des solutions pour la déformation axiale en fonction des propriétés de frottement, de lénergie de décohésion et dautres paramètres appropriés. Nous considérons une fibre enchâssée dans une matrice cylindrique, la fibre est isotrope. La contrainte axiale,σ f dans la fibre pendant le premier chargement est présentée Fig. II.6. En avant de la région de décohésion et de glissement, la contrainte axiale et la déformation sont constantes et données avec les conditions aux limites de Type I : les déformations axialesε f  etε m  dans la fibre et dans la matrice sont égales. Enfin, la contrainte normale et le déplacement dans linterface fibre/matrice sont continus. Un indice supérieur (+) dénote la position en avant de la

 

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décohésion, et (-) dénote la position en arrière, dans la zone de glissement. Lindice inférieur r correspond à la contrainte radiale, la déformation et le déplacement dans linterface, et les indices inférieurs f et m correspondent aux quantités axiales respectivement dans la fibre et dans la matrice. Glissement avec frottement σ a

R R f

Int rf li

+ σ m + σ f + σ m

 n n σ a - σ f τ=σ f a 1 fσ a ∆σ f Γ - + +   γ=σ f -σ f σ f0 + σ f +  + σ f = a 1 fσ a    σ f0 + x Fig. II.6. Modèle de composite cylindrique utilisé pour lanalyse de Hutchinson et Marshall. (b) contrainte axiale dans la fibre pendant le chargement initial   La contrainte et la déformation sont données par : σ + f =a 1 V f σ a −a 2 E m ε T  (II.21a) σ r + =a 3 V f σ a −a 4 E m ε T  (II.21b) ε f + = ε + m =a 5 V f σ a /E m +a 6 ε T  (II.21c) où lesa i sont des fonctions sans dimension deV f , (V f = R f2 /R m 2 avecR f  le rayon de la fibre et R m celui de la matrice).σ a est la contrainte axiale appliquée à lextrémité chargée de la fibre, correspondant àV f = 0,([MARS 92]). En arrière de la fissure de décohésion, les variations de la contrainte et du déplacement relatif loin de la fissure sont données par le problème de Lamé sans leffet dumisfit thermique et, puisquil y a glissement relatif, avec∆ε f   ≠   ∆ε m . Avec la

 

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