Étude expérimentale et théorique de microcaloducs et technologie silicium

Pandraud Guillaume

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Extrait

Chapitre 5 : Modélisation dun réseau de

microcaloducs

Les résultats obtenus expérimentalement permettent de prévoir le comportement du réseau de microcaloducs pour des conditions expérimentales limitées, et ne permettent pas de comprendre son fonctionnement et ses limitations. Il est pour cela nécessaire de réaliser un modèle du réseau de microcaloducs. Les modèles peuvent être soit de dimensionnement, soit de comportement (§ 1.4). Dans cette étude, basée sur les travaux de Launay (2002), un modèle de chaque type a été conçu, à partir de sous-modèles hydrodynamique et thermiques couplés. 

Dans une première partie sont présentés ces deux modèles, leurs liens avec les sous-modèles et les paramètres dentrée et de sortie de chaque sous-modèle. Dans les seconde et troisième parties, les sous-modèles hydrodynamique, puis thermiques sont exposés en détails. Enfin, la quatrième partie présente les résultats de la modélisation des réseaux de microcaloducs.

5.1. Présentation des modèles développés 

Les deux modèles couplés développés, de dimensionnement et de comportement, sont sensiblement identiques ; ils utilisent les mêmes sous-modèles, donc les mêmes équations. Ils reposent sur le même principe : un microcaloduc est discrétisé, puis tous les paramètres géométriques et physiques sont calculés dans chaque section depuis le condenseur vers lévaporateur. Lorsque ce calcul est terminé, si les paramètres de sortie ne correspondent pas à ceux recherchés (flux égal à la limite capillaire ou conditions de fonctionnement imposées atteintes), les données dentrée sont modifiées et une nouvelle itération est effectuée. Les deux modèles diffèrent essentiellement par la manière utilisée pour corriger les valeurs dentrée.

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5.1.1. Modèles et sous-modèles

Chapitre 5 : Modélisation d'un réseau de microcaloducs 

Afin de connaître lévolution des différentes inconnues le long du microcaloduc, celui-ci est discrétisé et certaines variables sont calculées dans chaque section, principalement le rayon de courbure, les pressions et les vitesses du liquide et de la vapeur. Le modèle hydrodynamique utilisé dans ce but repose sur lutilisation des équations de conservation de la masse, des bilans de la quantité de mouvement et de lénergie. Dans une section donnée, le calcul nécessite la connaissance des valeurs des variables dans la section précédente ainsi que des caractéristiques de la section donnée, cest-à-dire la section de passage et lépaisseur du film de liquide. La détermination des épaisseurs du film de liquide dans chaque section est effectuée par un modèle thermique, qui dépend de la zone considérée.  Dans lévaporateur, le film de liquide est très peu épais, la majorité du flux thermique est dissipée dans la microrégion, et lépaisseur du film est liée au flux dissipé. Le modèle de microrégion est donc nécessaire pour connaître la variation de lépaisseur de liquide dans une section. Il permet de calculer en parallèle lépaisseur du film, sa pente, le flux dissipé et la pression capillaire. La valeur de la pente augmente progressivement, depuis 0 au point daccrochage jusquà tan (α) à la limite avec le film intrinsèque, qui correspond à la fin de la microrégion. Il est alors possible de calculer la résistance thermique du liquide dans la section et la température de la paroi à partir de celle de la vapeur. Dans la zone adiabatique, le même modèle est utilisé avec un flux nul. Ce calcul est toujours nécessaire puisque le modèle hydrodynamique nécessite la connaissance, entre autres, de la section de passage du liquide. Dans le condenseur, il ny a pas de point daccrochage du fluide à la paroi, donc pas de modèle de microrégion nécessaire. Un autre modèle est utilisé.  Si les sous-modèles thermiques permettent de calculer les valeurs des variables utilisées dans le modèle hydrodynamique, la réciproque est également vraie. En particulier, la valeur du rayon de courbure, calculée dans le modèle hydrodynamique, est indispensable pour que le modèle thermique puisse déterminer les propriétés du film de liquide. Il y a donc nécessité dun couplage dans chaque section entre les deux sous-modèles, les données de sortie de lun étant les données dentrée de lautre. Un schéma des interactions entre les deux sous-modèles dans chaque section est présenté sur la figure 5.1.

5.1.2. Modèle de dimensionnement

Un modèle de dimensionnement permet de déterminer le flux atteint à la limite capillaire. La température de refroidissement au condenseur est connue, mais pas le flux thermique, ni la masse de liquide introduite. Le flux est maximal lorsque le

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rayon de courbure est minimal à lextrémité de lévaporateur et quil ny a pas dengorgement au condenseur. Donc si à la dernière itération le rayon de courbure sannule ou devient négatif, la limite capillaire est considérée atteinte. En effet, lorsque le rayon de courbure sannule, lépaisseur du film de liquide vaut également zéro. A la limite capillaire, ceci se produit à lextrémité de lévaporateur, alors que, pour un flux légèrement supérieur, ceci a lieu avant et il existe une zone asséchée dans lévaporateur. Plus le flux est élevé, et plus la longueur asséchée est importante. Par contre, dans le cas où la limite capillaire nest pas atteinte et que le rayon de courbure a une valeur positive à lextrémité du caloduc, plus cette valeur est importante, et plus le flux doit être augmenté. Le rayon de courbure est donc utilisé pour déterminer la correction à apporter au flux pour litération suivante.

R eq (→T p ) δ

δ T sat ,r c ,u l ,u v propriétés du fluide àT sat 

Modèle thermique

Modèle hydrodynamique (changement de section : i=i+1)

r c 

r c  P l ,P v (→T sat ) u l ,u v  

Figure 5.1: Entrées et sorties des modèles hydrodynamique et thermique  En réalité, il existe plusieurs autres variables qui sont comparées à des valeurs théoriques au fur et à mesure du calcul. A la sortie du condenseur par exemple, les flux thermiques dissipé et imposé sont comparés. Sils sont différents, la température de saturation est modifiée. Lorganigramme du modèle de dimensionnement est présenté en annexe C.

5.1.3. Modèle de comportement

A la différence dun modèle de dimensionnement, un modèle de comportement cherche à connaître le fonctionnement dun réseau de microcaloducs dans des conditions données. Le flux thermique, la masse de fluide, la température de la source froide et la géométrie sont connus. Or, le couplage des sous-modèles a comme entréesQ,T SF et la géométrie, alors quemest une donnée de sortie. Par conséquent, il est nécessaire pour ce modèle de réaliser des itérations sur la masse, cest-à-dire utiliser le modèle avec le flux connu jusquà ce que la masse calculée soit égale à la masse imposée.

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 La conséquence la plus importante de cette différence entre les modèles est la nécessité de prendre en compte lexistence d une longueur asséchée, donc une  longueur où il ny a plus de liquide présent en raison dun flux excessif, ou de longueur dengorgement, cest-à-dire une zone pleine de liquide inutilisable pour les transferts de chaleur. Il existe quatre cas possibles, suivant lexistence ou non dune longueur asséchée, et lexistence ou non dune longueur dengorgement. La première itération sert à déterminer le cas à appliquer. Après chaque itération suivante, les masses calculée et imposée sont comparées. La longueur asséchée est modifiée pour sassurer que le rayon de courbure sannule au début de la zone asséchée, et la longueur dengorgement est modifiée pour que la masse totale soit égale à la masse imposée. Dans le cas où même sans longueur dengorgement, la masse de fluide est supérieure à la masse imposée, la masse de fluide peut être réduite en diminuant la valeur du rayon de courbure initial au condenseur, ce qui permet de réduire la section de passage du liquide au condenseur. Un organigramme simplifié du modèle de comportement est donné en annexe C. 

Si le fonctionnement considéré comporte une longueur asséchée, il devient impossible de déterminer une résistance thermique du film de liquide. Néanmoins, le calcul de la température de la paroi reste dune très grande importance. Dans ces cas, il est considéré que le flux est transféré entièrement par conduction thermique dans la paroi en silicium. Les températures de paroi peuvent alors prendre des valeurs très élevées. Ces cas sont dune grande importance, puisque le contrôle de la température de lévaporateur reste un des principaux objectifs des réseaux de microcaloducs. Si cette température est trop importante, cela risque damener la température des composants électroniques à une valeur quils ne peuvent pas supporter. 

Il est aussi possible davoir des cas où il existe à la fois une longueur asséchée et une longueur dengorgement. Ceci est possible si la masse de liquide et le flux thermique ont des valeurs très élevées. Ce modèle permet donc de considérer nimporte quel cas de fonctionnement.

5.2. Modèle hydrodynamique  Le modèle hydrodynamique utilisé est basé sur celui de Longtinet al.(1994) et les modifications apportées par Zaghdoudiet al. puis Launay (2002). Le (1997) modèle, basé sur certaines hypothèses simplificatrices, utilise les équations de conservation de la masse, de bilan de la quantité de mouvement et de lénergie pour calculer les évolutions des variables étudiées dans chaque section. Cette partie présente successivement les hypothèses faites, les volumes de contrôle et les

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équations de bilan utilisés dans chaque section, les conditions aux limites et la méthode de résolution du système.

5.2.1. Hypothèses

Plusieurs hypothèses, proposées par Launay (2002), sont utilisées :

-

-

-

-

-

-

écoulements du liquide et de la vapeur incompressibles. Les nombres de Reynolds et de Mach des écoulements devraient être très faibles à tout moment ;

régime permanent. Les écoulements ne varient pas avec le temps, donc dans chaque section, les débits massiques du liquide et de la vapeur sont égaux ;

dissipation visqueuse négligeable. Les vitesses des écoulements sont en général trop faibles pour que la dissipation visqueuse soit prise en compte ;

densité de flux de chaleur dissipée à lévaporateur constante;

rayon de courbure longitudinal négligé. Le rayon de courbure longitudinal est beaucoup plus grand que le normal, le rayon de courbure moyen est donc considéré égal au rayon de courbure normal ;

propriétés du fluide constantes dans chaque section. Elles varient néanmoins le long du microcaloduc en fonction de la température de saturation dans chaque section.

 Par ailleurs, étant donnée la petite taille du système, il est impossible de négliger les variations des sections de passage, et donc du rayon de courbure, puisque ces variables sont directement liées, entre deux sections. Dans chaque section considérée, plusieurs surfaces ont un rôle important : les sections de passage du liquideA l  de la vapeur etA v  et les surfaces interfaciales liquide-vapeur dS i , liquide-paroi dS lp  et vapeur-paroi dS vp . Elles peuvent toutes être exprimées directement en fonction du rayon de courbure : A l = l r c 2  (5.1) A v A T l r c 2  (5.2) = − dS lp = lp r c dz  (5.3) dS i = i r c dz  (5.4) dS vp =l T − β lp r c dz  (5.5) oùl T  est le périmètre dun microcaloduc etA T  est sa section totale. Le calcul des coefficientsβ lp ,β i ,β vp est donné dans lannexe D. Ils permettent dexprimer toutes les surfaces utilisées en fonction du rayon de courbure et de variables constantes dans

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une section, et dépendent essentiellement des angles présents dans le microcaloduc, comme langle de contact et les trois angles de la section triangulaire.

5.2.2. Equations de bilan

Trois équations de bilan sont utilisées. Pour chacune, le volume de contrôle est présenté pour illustrer chacun des bilans évoqués, cest-à-dire la conservation de lénergie, de la masse, et le bilan de la quantité de mouvement. 

5.2.2.1. Conservation de lénergie

Le volume de contrôle utilisé a une longueur∆zet une surface correspondant à la section triangulaire du microcaloduc (figure 5.2). Le flux thermique linéique & (entrant ou sortant)Q entraîne le changement de phase dun débit massiquem i . Si lépaisseur du film de liquide est supposée assez faible, tout autre transfert de chaleur dans le film que celui lié au changement de phase (conductif, convectif ou dissipatif) peut être négligé. Par conséquent,m i  représente lintégralité du flux considéré. Par conséquent, la conservation de lénergie appliquée au volume élémentaire de liquide permet décrire : & m ′ i = Q ∆z  (5.6) ∆h lv      m i ′ ∆h l v   v  l    &  Q

Figure 5.2: Volume de contrôle pour le bilan de conservation de lénergie 

5.2.2.2. Conservation de la masse

Le débit massique du fluide dans un des écoulements, liquide ou vapeur, sexprimant sous la formeρUA, il faut prendre en considération les masses rentrant et sortant du volume de contrôle enz etz +∆z la masse changeant de phase à et linterface liquide-vapeur, qui est déjà connue puisquelle a été calculée avec le bilan de conservation de lénergie. Le bilan de la masse est appliqué sur les deux

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écoulements, liquide et vapeur. Le schéma du volume de contrôle est présenté sur la figure 5.3.  ρ v ⎜ ⎝ ⎛ U v + d d U z v ∆z ⎟⎜ ⎠⎝ ⎛⎞ A v + d d A z v ∆z ⎟ ⎠ ⎞ 



v U v A v 

 v m i ′ l  l l l U l A l ρ l ⎛ ⎝ ⎜ U l + d d z U ∆z ⎞⎛ ⎝⎠ ⎜⎟ A l + d d z A ∆z ⎠ ⎟ ⎞   ∆ Figure 5.3: Volume de contrôle pour le bilan de conservation de la masse  Le bilan est effectué en soustrayant les valeurs enzdes valeurs enz +∆z. En utilisant les équations (5.1) et (5.2) puis en les différentiant pour obtenir les valeurs dedA l  etdA v , et en divisant léquation obtenue pour le liquide parρ l β l r c , les deux équations deviennent : & r c d dz U l +2U l d dz r c ρ − l β Q l r c ∆ ∆h z lv = ) 0 (5.7 & A d dU z v −2βr U d dr z c + Q ∆h ∆ lv z = ).8(5 0 v l c v  5.2.2.3. Bilan de la quantité de mouvement

Le débit de quantité de mouvement, produit du débit massique et de la vitesse, sécritρU 2 Ade la dynamique (§1.2.1.) permet daffirmer. Le principe fondamental que la variation de débit de quantité de mouvement est égale à la résultante des forces surfaciques et volumiques. La seule force volumique est le poids, nul si le microcaloduc est placé en position horizontale. Les forces surfaciques sont les forces de pression et de frottement. Le volume de contrôle est présenté sur la figure 5.4.  Le bilan de la quantité de mouvement des écoulements du liquide et de la vapeur permet décrire : U r 2 l r c U l d dz l +2ρ l U 2 l +2P l d dz c+r c d dz P l β = l i τ i + p l l τ lp − ρ l gr c sinθ  (5.9) β β 2A U d d U z v −2βrρU 2 +2P d dz r c +A d d P z v = −β τ i r c −l T − β lp r c τ vp − ρ v A v gsinθ  (5.10) v v v l c v v v v i 

Le rapport des masses volumiques de la vapeur et du liquide dans un fluide est tel que la vitesse de la vapeur est généralement supérieure de plusieurs ordres de

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grandeur à celle du liquide. Par conséquent, le liquide est considéré immobile par rapport à la vapeur, et le coefficient de frottement interfacial est calculé de la même manière que les coefficients de frottements pariétaux, cest-à-dire en utilisant la relation (1.7). Les nombres de Poiseuille utilisés correspondent aux valeurs classiques en considérant, pour le liquide, une section de passage triangulaire (Po l  13,3) et, = pour la vapeur, une valeur moyennePo v  = 14,7 entre une section triangulaire à lévaporateur et circulaire (Po= 16) au condenseur.  τ vp ⎛ dU 2 ⎛ ⎞ dA ⎞

ρ v U v 2 A v 

P v A v 

P l A l 

ρ l U 2 l A l 





v  l 



τ vi τ li

P v dA v P l dA l

τ lp

2 v  v ρ v ⎝ ⎜ U v + dz ∆z ⎠ ⎟ ⎜ ⎝ A v + dz ∆z ⎟ ⎠  ⎝ ⎛ ⎜ P v + d d P z v ∆z ⎟⎜ ⎠⎝ ⎛⎞ A v + d dA z v ∆z ⎟ ⎠ ⎞  ⎜ ⎛ ⎝ P+ d z P l ∆z ⎛ ⎟⎜ ⎠⎝ ⎞ A+ d z A l ∆z ⎞ ⎟ ⎠  l d l d ⎛ ⎞ A ρ l ⎜ ⎝ U 2 l + d d U 2 l dz ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎛ A l + d d l dz ⎟ ⎠ ⎞  z z

∆z Figure 5.4: Volume de contrôle pour le bilan de la quantité de mouvement 

5.2.2.4. Equation de Laplace-Young

Pour calculer les cinq inconnuesU l ,U v ,P l ,P v etr c , il est nécessaire décrire une cinquième équation en plus des quatre des bilans de masse et de quantité de mouvement. Pour cela, léquation de Laplace-Young (1.1) permet de relier les pressions du liquide et de la vapeur et le rayon de courbure. Une fois différentiée, elle sécrit : d P Pdr z l = d z v + 2 c c  (5.11) d drdz

5.2.3. Résolution du modèle

5.2.3.1. Résolution du système

Les cinq équations (5.7) à (5.11) permettent de connaître les variations des cinq inconnues le long du caloduc. Pour cela, le système est écrit sous la forme :

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= ⎧ ⎪ d d r z c f 1 ( r c ,U l ,U v ) ⎪ ⎪ ⎪ d d P z l =f 2 ( r c ,U l ,U v ) ⎪ ⎨ d dz P v =f 3 ( r c ,U l ,U v )  (5.12) ⎪ dU ⎪ ⎪ dz l = 4 ( r c ,U l ,U v ) ⎪ ⎪ dU z v = 5 ( r c U l U ) ⎪ ⎩ , d , v Les fonctionsf(r c ,U l ,U v ) sont déterminées à partir des équations de bilan et de Laplace-Young. Le système non linéaire ainsi écrit est résolu avec la méthode de Runge-Kutta dordre 4, depuis lextrémité du condenseur (z =L T ) jusquà celle de lévaporateur (z = 0). Il faut pour cela avoir un nombre suffisant de conditions aux limites.

 5.2.3.2. Conditions aux limites

Toutes les conditions aux limites sont exprimées au début de litération, au condenseur, enz = L T . Les vitesses de la vapeur et du liquide sont nulles, alors que les valeurs du rayon de courbure et de la pression de la vapeur, correspondant à la température de saturation, sont données par le modèle global utilisé, de dimensionnement ou de comportement. La pression du liquide est calculée avec la relation de Laplace-Young (1.1). Ces conditions aux limites sécrivent : ⎧U l z L T =U v z L T =0 ⎪ = = = ⎪ ⎪ ⎨ r c v L z z T L T = = r c,noc t d as P P ( T )  (5.13) ⎪ = v ⎩ ⎪ ⎪ P l z=L T =P l z=L T − r c,cond

5.3. Modèles thermiques 

Les différents sous-modèles thermiques, du condenseur et de lévaporateur, servent à modéliser chaque section. A partir de la connaissance du rayon de courbure, ils calculent lévolution de lépaisseur du film de liquide sur toute la section. Ils sont appelés modèles thermiques car la connaissance de lépaisseur du film permet de déterminer sa résistance thermique, et donc, à partir du flux évaporé dans chaque section, la température de la paroi.

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5.3.1. Transferts de chaleur dans le film de liquide

5.3.1.1. Modélisation dune section

Pour la modélisation, la section triangulaire nest étudiée que partiellement, en utilisant les symétries présentes. Le film de liquide est considéré sur un sixième de son intégralité, sur lequel lépaisseur est constamment croissante. Quelle que soit la section considérée, elle est divisée en trois zones : une zone dépaisseur constante, une zone de transition où la courbure et lépaisseur varient, et une zone à courbure constante, le ménisque intrinsèque. Dans certains cas, la zone dépaisseur constante nexiste pas, et seules les zones de transition et ménisque intrinsèque sont présentes (figure 5.5).

épaisseur constante

transition

courbure constante

Figure 5.5: Partie du film liquide modélisée

φ

 A lintérieur de chaque section, chacune des trois zones est modélisée différemment. La première zone requiert seulement la connaissance de lépaisseur constante. La troisième zone demande, pour une modélisation complète, la connaissance du rayon de courbure, supposée connue, et la position (abscisse et ordonnée) du point à la limite entre la zone de transition et le ménisque intrinsèque. Cette troisième zone ayant une courbure constante, les points sont ensuite placés sur un arc de cercle. Seule la zone de transition demande une modélisation spécifique, objet des modèles dévaporateur et de condenseur.

 5.3.1.2. Résistances thermiques dans le film de liquide

Lorsque le profil du film de liquide dans une section j est connu, il est possible den calculer la résistance thermique. Pour cela, le film est discrétisé, et la résistance

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thermique est calculée pour chacune des abscissesξ. Toutes les résistances thermiques locales sont ensuite placées en parallèle pour calculer la résistance globale du film : R ( 1 j ) = n k ∑ = ξ 1 R ( j 1 ,k = ) n k ∑ ξ 1 L ( j λ l ,k ) dz 4).1 d (5  = oùR(j) est la résistance dune section,R(j,k)la résistance locale sur un incrémentdξ, etL(k) la longueur parcourue par le flux thermique dans le film de liquide. Pour connaître cette longueur, il faut avant tout connaître le chemin parcouru par le flux thermique entre la paroi plane et linterface liquide  vapeur courbe. Ce chemin, pour lequel la valeur de la résistance thermique calculée doit être minimale, ne peut pas être déterminé, il est nécessaire de faire une hypothèse sur sa forme. Dans la littérature, des segments sont habituellement considérés. Ainsi, Holm et Goplen (1979), Stephan et Büsse (1992) ou Hallinanet al. (1994) utilisent des segments perpendiculaires à la paroi plane. Au contraire, Khrustalev et Faghri (1995) et Launay (2002) ont choisi des segments perpendiculaires à linterface liquide  vapeur. Néanmoins, les chemins peuvent être des portions de courbe. Les chemins recherchés sont perpendiculaires aux isothermes dans le film, et Ma et Peterson (1997) et Peterson et Ma (1999) ont étudié la répartition des températures dans le liquide. Pour des températures de paroi et dinterface liquide  vapeur uniformes, les isothermes sont, à leur proximité, parallèles à ces deux frontières (figure 5.6, daprès Peterson et Ma, 1999). Il en résulte que le flux thermique se propage dans le liquide par un chemin qui est à la fois perpendiculaire à la paroi et à linterface liquide  vapeur, donc par un chemin courbe.

Figure 5.6: Isothermes dans la zone de ménisque intrinsèque (Peterson et Ma, 1997)  De nombreuses formes de courbes peuvent être utilisées, à condition quelles soient perpendiculaires à la paroi et à linterface. Afin dévaluer les chemins les plus probables, quatre chemins ont été comparés : un segment perpendiculaire à