Etude expérimentale et théorique du comportement d'un tunnel renforcé par boulonnage frontal

Trompille Virginie

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Chapitre 2. Modélisation théorique par une approche analytique 39










Chapitre 2 Modélisation théorique par
une approche analytique


Chapitre 2. Modélisation théorique par une approche analytique 40
Table des matières
2.1. Introduction 41
2.2. Hypothèses principales 41
2.3. Loi de comportement homogénéisée 44
2.4. Equations fondamentales du problème 45
2.5. Evolution des zones élasto-plastiques 46
2.6. Résolution du problème 50
2.6.1 Conditions mathématiques caractérisant les cas A, B et C 50
2.6.2 Expressions des principales grandeurs 52
2.7. Etude de sensibilité des paramètres 52
2.7.1 Plages de paramètres réalistes 53
2.7.2 Abaques de prédimensionnement 53
2.8. Conclusion 55
Chapitre 2. Modélisation théorique par une approche analytique 41
2.1. Introduction
Une modélisation théorique du comportement du front de taille d’un tunnel renforcé par boulonnage
longitudinal a été développée par H. Wong & al. (1998) sous l’hypothèse de la symétrie sphérique en
s’inspirant des travaux antérieurs de Jassionnesse & al. (1996). Cette représentation a donné lieu au
développement de nombreux modèles analytiques qui diffèrent suivant le comportement du sol (critère
de plasticité, radoucissement), le comportement de l’interface sol/boulon et la longueur des boulons :

critère de Tresca avec comportement élasto-plastique parfait du sol (Subrin 1997, Wong et al.
1998) et interface à adhérence parfaite
critère de Tresca avec comportement élasto-plastique radoucissant du sol et interface à adhérence
parfaite (Subrin 1997, Wong et al. 1997)
critère de Tresca avec comportement élasto-plastique parfait du sol, interface à adhérence parfaite
et longueur finie des boulons (Wong et al. 2000)
critère de Mohr-Coulomb avec comportement élasto-plastique parfait du sol et interface à
adhérence parfaite (Wong et al. 1997)

Dans ce chapitre, une nouvelle extension est développée, en utilisant un comportement élasto-plastique
parfait du terrain obéissant au critère de Tresca et un comportement rigide-plastique à l’interface
sol/boulon (Wong et al. 1999).

Suite à ces travaux, une nouvelle extension a été développée en utilisant un comportement élasto-
plastique parfait du sol obéissant au critère de Mohr-Coulomb et un comportement d’interface rigide-
plastique (Subrin 2002).


2.2. Hypothèses principales
Limite d’adhérence finie à l’interface sol/boulon
Les observations faites in situ montrent que l’hypothèse d’adhérence parfaite entre le sol et le boulon
n’est pas réaliste, puisque la contrainte τ de cisaillement à l’interface est extrèmement élevée près de la
paroi, entraînant l’apparition d’une zone au-devant du front où intervient un descellement à l’interface.
Ceci modifie fondamentalement la répartition de la traction le long du boulon comme on peut le voir sur
la Figure 2.1.

Dans le cas de l’adhérence parfaite, les champs de déplacement des deux matériaux étant supposés
identiques, la traction dans le boulon est maximale en paroi puisque les déplacements y sont les plus
importants. Or, dans la réalité, la traction en paroi est nécessairement nulle puisqu’il n’y a pas de plaque
d’ancrage. L’efficacité des boulons est donc surrestimée (Dias 1999).

Dans le cas d’une limite d’adhérence, la traction dans le boulon atteint son maximum à une certaine
distance de la paroi, notée x et appelé par la suite rayon de descellement. La traction en paroi est
correctement estimée puisqu’elle est nulle.
Chapitre 2. Modélisation théorique par une approche analytique 42
Traction

Adhérence parfaite
Limite d’adhérence finie





Tunnel
0 x Distance devant le front
Zone de
descellement Boulon

Figure 2.1. Répartition de la traction le long d’un boulon dans le cas de l’adhérence parfaite et non
parfaite

D’après les essais d’arrachement de boulon en fibre de verre réalisés in situ, on constate que le plus
souvent le boulon et le mortier de scellement restent solidaires et que le descellement intervient à
l’interface entre le moent et le sol. Afin de simplifier le problème, la loi de comportement
d’interface choisie est de type rigide-plastique : la contrainte de cisaillement τ (Figure 2.2) régnant à
l’interface mortier/sol est plafonnée à une valeur fixe, appelée limite d’adhérence et notée q . Une fois s
cette limite atteinte, un glissement se produit alors à l’interface (discontinuité de déplacement) et la
contrainte de cisaillement demeure constante égale à q . Ce comportement est évidemment simplifié par s
rapport au comportement réel par manque de données expérimentales précises. Néanmoins, il permet
d’aboutir à une modélisation plus réaliste de la traction dans les boulons par rapport au cas d’adhérence
parfaite.

a) b)
Massif T + dT b b
τ
Mortier de τ
scellement y
q s

r + dr

- T b
0 y
r
y : déplacement relatif Boulon q : limite d’adhérence s
Figure 2.2. Interface sol/boulon : a) Equilibre limite – b) Loi de comportement rigide-plastique

La prise en compte d’un tel comportement d’interface conduit à l’apparition d’une zone de descellement
entre le sol et le boulon (ou plus précisement le mortier) dès le début du chargement.

La valeur de la limite d’adhérence q dépend de la nature du sol, de sa cohésion et bien évidemment du s
mode de scellement choisi (mortier ou résine). Ce paramètre peut être déterminé in situ à partir d’essais
d’arrachement réalisés à vitesse constante ou par palier de fluage.
Chapitre 2. Modélisation théorique par une approche analytique 43
Autres hypothèses principales (communes au modèle de base)
Les autres hypothèses fondamentales sur lesquelles est basé le modèle sont les mêmes que celles du
modèle analytique développé par (Wong et al. 1998) à l’exception de l’adhérence parfaite qui n’est plus
vérifiée sur toute la longueur du boulon comme on vient de le voir. Ces autres hypothèses sont les
suivantes :

Le front de taille est assimilé à une surface sphérique où les boulons (de longueur infinie et
présents dans le sol dès l’instant initial,) sont disposés dans la direction radiale. On suppose que
les champs de contrainte, de déformation et de déplacement admettent une symétrie sphérique.
L’approche d’homogénéisation des milieux périodiques permet de remplacer le système
composite constitué du sol et boulons par un milieu homogène équivalent mais anisotrope en
raison de l’action directionnelle du renforcement. On suppose que le tenseur des contraintes
macroscopiques peut être décomposé en deux parties, une première due au sol et une deuxième
due aux boulons :
s b(II.1) σ = σ +σ

L’hypothèse principale est empruntée à la "méthode convergence-confinement" et consiste à
supposer que l’histoire de contrainte suivie par un point tel que le point A (Figure 2.3), qui
devient le point B quelques instants plus tard après terrassement, peut être identifiée à celle du
même point B situé sur le front, considéré fixe et soumis à une pression fictive P qui décroît de la i
pression géostatique P = γH à zéro. On introduit le paramètre de chargement ∆P, monotone ∞
croissant de 0 à P , tel que : ∞
(II.2) ∆P = P − P ∞ i


Zone en équilibre limite
Boulons

A B Tunnel




Figure 2.3. Représentation schématique de la géométrie du problème simplifié

On suppose que les comportements du sol et des boulons sont élastiques parfaitement plastiques,
le sol obéissant au critère de Tresca. Le massif est supposé élastiquement incompressible
(ν =0,5). Les relations de comportement seront précisées plus loin. s

On se place dans le cadre d’hypothèses classiques : on suppose le problème quasi statique et on
considère le domaine des petites déformations. De plus, en raison de la symétrie sphérique, les
tenseurs de contraintes et de déformations sont diagonaux et on a l’égalité parfaite des
composantes dans les directions θ et ϕ. Le déplacement est puremen