Etude mathématique d'ondes équatoriales

Isabelle Gallagher

Description

Etude math´ematique d’ondes ´equatorialesIsabelle GallagherInstitut de Math´ematiques de Jussieu, Universit´e Paris 7Laboratoire J.-L. Lions, le 15 juin 2007I. Gallagher (IMJ, Paris 7) Etude math´ematique d’ondes ´equatoriales Laboratoire J.-L. Lions, le 15 juin 2007 1 / 28Plan de l’expos´e1 Introduction `a l’´etude des fluides g´eophysiques2 Le mod`ele betaplan´EquationsExistence de solutionsObjectif de l’expos´e3 R´esultats de convergenceLimite faible forteI. Gallagher (IMJ, Paris 7) Etude math´ematique d’ondes ´equatoriales Laboratoire J.-L. Lions, le 15 juin 2007 2 / 28Introduction `a l’´etude des fluides g´eophysiquesIntroduction `a l’´etude des fluides g´eophysiques´Etude de l’atmosph`ere terrestre ou des oc´eans´Equation de Navier-Stokes (ou Euler) 3D avec surface libre.Influence de la rotationΩ vitesse angulaire de rotationr vecteur position d’un ´el´ement de fluide 2du du |Ω∧r|I R= +2Ω∧u −∇Rdt dt 2I R´Equation de Navier-Stokes-Coriolis.I. Gallagher (IMJ, Paris 7) Etude math´ematique d’ondes ´equatoriales Laboratoire J.-L. Lions, le 15 juin 2007 3 / 28Introduction `a l’´etude des fluides g´eophysiquesIntroduction `a l’´etude des fluides g´eophysiques´Etude de l’atmosph`ere terrestre ou des oc´eans´Equation de Navier-Stokes (ou Euler) 3D avec surface libre.Influence de la rotationΩ vitesse angulaire de rotationr vecteur position d’un ´el´ement de fluide 2du du |Ω∧r|I R= +2Ω∧u −∇Rdt dt 2I R´Equation de ...

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Extrait

IG.(IMJ,Parallaghertameme´h)7sidutEdeoneqs´iqatd’ueobarseaLirlaauotons,L.LieJ.-toir82/17002niuj51el

Isabelle Gallagher

InstitutdeMath´ematiquesdeJussieu,Universite´Paris7

Laboratoire J.-L. Lions, le 15 juin 2007

Etudemath´ematiqued’ondese´quatoriales

ns,l.Liouin2e15j2/80027

2

Introduction`al’´etudedesfluidesge´ophysiques

Lemod`elebetaplan ´ Equations Existence de solutions Objectif de l’expose ´

Re´sultatsdeconvergence Limite faible Limite forte

Plan de l’ex ´ pose

1

3

llagher(I.Ga’oedqutima´ethmaedutE)7siraP,JMIJ.-LoireoratsLabaieltaroe´uqdnse

/28

Introduction`al’´etudedesfluidesge´ophysiques

´ Etudedl’tmosphe`reterrestreoudesoc´eans e a ´ Equation de Navier-Stokes (ou Euler) 3D avec surface libre. Influence de la rotation Ωvitesse angulaire de rotation refluide’dnoe´nume´ldtnevteecpourtisi du R  du dt I  I =  dt  R + 2Ω∧u R  | − r Ω∧ 2 r| 2

´ Equation de

Navier-Stokes-Coriolis.

uin20073 duroioctaln`et’´deduuflsesedioe´gItnsqieuhpsy s7)EPariIMJ,her(llga.IaGns,le15jJ.-L.LiorotaioeraielLsbaqu´eorat’oedesndame´uqiteduthtam

uqseIntroducnoit’la`ute´ededuisflsgdeop´esihy arisMJ,Pudem7)EtG.laIreI(alhg

´ Etudedel’atmosphe`reterrestreoudessnoae´c ´ Equation de Navier-Stokes (ou Euler) 3D avec surface libre. Influence de la rotation Ωvitesse angulaire de rotation reln´me´edentidfluuetcsoproitiu’dneve  ud dt I  I =  du td R  R + 2Ω∧u R  | − r Ω∧ 2 r| 2

´ Equation de

Navier-Stokes-Coriolis.

073/28

Introduction`al’´etudedesfluidesge´ophysiques

L..-eJirtoraboLa02niuj51el,snoiLd’oniqueematath´laseotirqeaued´s

dnsee´uqtaroaielmath´ematiqued’ooiL.l,snj51e2niuabsLatorreoi-LJ./280074

I trsopoe`hp:erε∼0,137

I Gulf Stream :ε∼0,07

Approximations :

I seule la composante de Ω selon la direction verticale est importante :f(sinθ 0 )u h ⊥ 1 2 I Amplitudefde la force de Coriolis := | U Ω|L ε

I elacirtveleelch´eDbaegilge´nle devantl’´echellehorizontaleL

I εnombre deRossby

iuflsgsedpoe´isyhesqunIrtdocution`al’´etudede IMJ,Paris7)Etude.IaGllgaeh(r

detu´el’`aontiucdortnI qita’deutameme´htouaalrideoneqs´otriJe-.seaLobarle15juinL.Lions,

I x 1 ∼ϕ(longitude) I x 2 ∼θ−θ 0 (latitude) I x 3 ∼r−r 0 (verticale)

Coordonne´escart´esiennes:

82/57002 sfldedeui´esghyopuqisse I.GgherallaP,raI(JMtEdusi)7

diuflsedehpoe´gsen`ioctduudet’´altnorIysiques noedeu’dtaqi´hmeesLarialuatos´eqJMI(rehgallaG.IatemudEt7)isar,P

1 ε (sinx 2 ) ⊥ u h

[G Saint-Raymond, Majdoub-Paicu] ´ Equateur :

[BMN,Charve,CDGG,Dutrifoy,Gallagher,Ge´rard-Varet,Grenier,Schochet...] Latitudesmoyennes,largeszonesge´ographiques:

/682

1 (sinθ 0 )u h ⊥ ε

1 βu h ⊥ x 2 ε Mode`lebetaplan[G Saint-Raymond, Dutrifoy-Majda]

Mod`eles: Force de Coriolis : 1 ε (sinx 2 )u h ⊥ Latitudesmoyennes,petiteszonesge´ographiques:

-.JeiL.Larobriotinju0720s,on15le

´etudedesfluidesgnIrtdocuitnoa`’lpoe´isyhseuq .IgaehaGllJ,Par(IM)Eturis78

⊥ 1 ε (sinθ 0 )u h

Mode`les: 1 Force de Coriolis : ε (sinx 2 )u h ⊥ Latitudesmoyennes,petiteszonesg´eographiques:

1 βx 2 u ⊥ ε h Mod`elebetaplan[G Saint-Raymond, Dutrifoy-Majda]

[G Saint-Raymond, Majdoub-Paicu] ´ Equateur :

1 (sinx 2 )u h ⊥ ε

[BMN,Charve,CDGG,Dutrifoy,Gallagher,G´erard-Varet,Grenier,Schochet...] Latitudesmoyennes,largeszonesg´eographiques:

n20076/2iuj51el,snoiL.L-J.reoiatorabsLleroaiuqtasee´o’dnquedmatith´edema

tE)7sira´htameduueiqatems´deond’Ilagh.GalMJ,Per(I20in6/07les,ju15

1 βx 2 u ⊥ ε h Mode`lebetaplan[G Saint-Raymond, Dutrifoy-Majda]

Mode`les:

82

Force de Corioli 1 s(nix 2 )u h ⊥ s : ε Latitudesmoyennes,petiteszonesge´ographiques:

ε (sin 1 θ 0 )u h ⊥ [BMN,Charve,CDGG,Dutrifoy,Gallagher,G´erard-Varet,Grenier,Schochet...] Latitudesmoyennes,largeszonesg´eographiques:

1 ε (sinx 2 )u h ⊥

[G Saint-Raymond, Majdoub-Paicu] ´ Equateur :

alesLaboequatori-..LiLnoarotriJe ioctaln`et’´edudtnIudoryspheog´esidfluesseuqi

itnoqEausebeld`mon ´ laapeteL hgrelaalIG.udEt7)isar,PMJ(I’deuqitame´htameuatorialondes´eqotriJe-.seaLobar15leinjuLiL.s,on

Hypoth`ese:h= 1 +εη

Navier-Stokes3Da`surfacelibre,avecdensite´homog`ene,dontlemouvementest essentiellementhorizontal.acelreitblevariaelavantddnepe´dnite h= hauteur d’eau (fond plat) u= vitesse (deux composantes) Fr= nombre de Froude (∼ε)

Lese´quations

∂ t (hu) + div(hu) = 0 ∂ t u+ div(hu⊗u) + ε βx 2 u ⊥ + Fr 1 2 hrh−νΔu= 0 h |t=0 =h 0 ,u |t=0 =u 0 .

700282/7

L(η,u) = (divu,rη+βx 2 u ⊥ ).

x 1 ∈T,x 2 ∈R.

Syste`metypeNS2Dcompressible,avecitna´mysasilnoitrietequp´enadansL 2 :

Conditions aux bords :

Ope´rateurdeCoriolis:

∂ t η+ ε 1 div ((1 +εη)u) = 0 ∂ t ((1 +εη)u) + div((1 +εη)u⊗u)+ 1 βx 2 (1 +εη)u ⊥ + ε 1 (1 +εη)rη−νΔu= 0 ε η |t=0 =η 0 ,u |t=0 =u 0 .

Lemod`elebetaplan

82/87002n,le15jui-L.Lionstaioer.JelLsbaroatquiaornd’o´eesitamdeuqamede´htI.heagllGaaP,JMI(rutE)7sir pate ´ nal`dombeleLesEquation