Généralité sur les fonctions : chapitre 1

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• Publié par: Udda
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Extrait

Chapitre 1
Généralités sur les fonctions :
Première partie
I Des ensembles de nombres réels
Définition
L’ensemble de tous les nombres connus en seconde est appelé ensemble des réels. Il sera notéR.
L’ensemble des réels se représente comme l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée.
Il s’agit alors de la droite inachevée ou droite des réels :
A O I Points
x
0 1
Réel x AbscissesA
Un ensemble D de nombres est par définition une partie deR.
Exemples : On connait l’ensemble des nombres entiers, des fractions ...
Définition
Sur la droite des réels, un segment représente un ensemble de nombres appelé intervalle.
Exemple :
On représente le segment [EF], avec E(−2) et F(4).
E O I F Points
[ ]
0 1
−2 4 Abscisses
Le segment [EF] représente les réels compris entre −2 et 4, −2 et 4 inclus.
On dit qu’il représente l’intervalle borné des réels compris entre−2 et 4.
Cet ensemble de nombres sera noté [−2; 4].
On utilisera aussi les intervalles :
]−2 ; 4[, c’est l’ensemble des nombres compris entre−2 et 4 avec les bornes−2 et 4 ...........
]−2 ; 4], c’est l’ensemble des nombres compris entre−2 et 4 avec ......................
[−2 ; 4[, c’est l’ensemble des nombres compris entre−2 et 4 avec ......................
Exercices : 30, 38, 41 page 52 ..... Lire, représenter un intervalle borné
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7
7
2 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS : PREMIÈRE PARTIE
II Définition d’une fonction
En introduction, Activité 2 p 61 Programme de calcul
Beaucoup de processus dans la vie font apparaître un « programme de calcul » entre deux quantités
variables.
Exemples :
• Leprixd’une communication dépend desa du- • L’échelle de Beaufort : à la vitesse du vent cor-
rée. respond une force de 0 à 12.
Exemple : entre 20 et 28 km/h on associe la• Distance de freinage et vitesse.
force 4.
• Température et altitude.
• Tarification d’une lettre en fonction de sa
• Relation entre la tension et l’intensité en élec. masse.
• La récolte du blé dépend du temps qu’il a fait.
• Au collège, on a vu les situations de propor-
• Pour un trajet en train, le prix variant selon la tionnalités associées aux fonctions linéaires et
formule choisie. aussi les fonctions affines.
Pour exprimer qu’une grandeur « dépend de l’autre », on utilise le mot fonction.
Mais ce mot fonction en mathématique sera réservé à certains « programmes de calcul »
entre deux grandeurs.
Définition
Soit D un ensemble de nombres.
On définit une fonction numérique f lorqu’on associe à tout x de D un unique nombre réel.
Notation : Une fonction f définie sur D, qui à x associe un unique nombre f(x) se note
f :D−→R
x→ f(x)
Dans la liste précédente, repérer les relations qui sont des fonctions.
Remarque
On peut représenter une fonction f à l’aide du schéma.
Départ dans D Programme de calculs utilisant x Résultat dansR
→ →
x ... f(x)
Exemples :
Avec l’expression connue :
2
• Écrire la fonction f sur D qui a x associe f(x) = (x−9) +3
puis faire le schéma et enfin décrire le programme de calcul associé.
1+x
• Faire de même avec g(x) = définie sur [0; 6].
7−x
9
• De même avec T(t) = 32+ t, T température en degré Fahrenheit et t en Celsius.
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Sans que l’expression soit connue :
• En médecine, on surveille la tension artérielle en fonction du temps.
• Le niveau de la marée en fonction de l’heure de la journée.
• Le coût de production en fonction de la quantité produite.7
7
III. COURBE D’UNE FONCTION 3
Exercices : 4, 5, 7 page 80 ..... Notion de fonction (dépend de)
Vocabulaire
Pour une fonction f de D versR.
◮ D est l’ensemble de départ. ◮ f(x) est l’image de x par f.
◮ x est la variable.
◮ Si y un réel et x un nombre de A.
x est un antécédent de y par f si f(x) =y.
Exemple :
On utilise la fonction définie par f(x) = 2x+7.
• L’image de 8 par f est le nombre f(8). On le calcule : f(8) = 2×8+7 = 23.
On a donc x→ f(x) qui devient pour notre valeur de x : 8→ f(8) = 23.
La fonction f associe à 8 le nombre 23.
• Prenons un nombre y = 11.
Le(s) antécédent(s) de y par f sont le(s) nombre(s) tel(s) que f(x) = 11.
On trouve ce(s) valeur(s) de x, en résolvant l’équation f(x) = 11, soit 2x+7 = 11 qui donne x = 2.
Il y a donc un seul antécédent pour 11 par f qui est x = 2.
Exercices : 8, 9 page 80 ..... Vocabulaire
Exercices : 10, 13, 14 page 81 ..... Programmes de calculs
Exercices : 15, 16 page 81 ..... Image et antécédent(s)
III Courbe d’une fonction
Pour visualiser une fonction, on réalise une représentation graphique appelée une courbe.
Définition
Dans un repère du plan.
On appelle courbe représentative d’une fonction f sur D,
l’ensemble des points M de coordonnées (x;f(x)) avec x dans D.
Cette courbe sera notéeC .f
La relation y =f(x), avec x dans D est l’équation de la courbeCf
Exemple :
2
Soit f la fonction, qui, à tout x réel de D = [−3; 3], associe f(x) =
21+x
Pour construire sa courbe, on procède aux étapes suivantes :
1) On programme sa calculatrice.
C’est à dire : on saisit le programme de calcul à réaliser pour calculer une image :
2 xIci on programme f (x) = 2 : (1+x ), soit : 2 ÷ ( 1 + ∧ 2 )1
2) On affiche une table de valeurs de la fonction, ici avec pas de 0,5.
Un tableau de valeurs est :
x −3 −2,5 −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
f(x) 0,2 0,27 0,4 0,61 1 1,6 2 1,6 1 0,61 0,4 0,27 0,2b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
4 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS : PREMIÈRE PARTIE
On peut alors obtenir les valeurs extrêmes pour x et f(x) :
Xmin =−3, Xmax = 3 et Ymin = 0, Ymax = 2.
Les saisir dans la calculatrice.
3) On cherche ensuite des unités pour obtenir un graphique de taille satisfaisante
(au moins 10 cm par 10 cm)
On propose un graphique avec 2 cm pour 1 unité sur (Ox) et 5 cm sur (Oy).
4) Dans le repère choisi, placer au moins 10 points de la courbe en utilisant le tableur.
5) On réalise enfin un tracé continu (sans lever la main) passant par les points placés et conforme au
graphique obtenu sur sa calculatrice.
Avec une échelle de 1/2
2
2
C :y =f
21+x
1 J
I
−3 −2 −1 0 1 2 3
Remarque Si le point au début ou à la fin de la courbe est exclu on le marquera avec un demi-cercle.
2 2
1 1
−3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3
Exercices : Document 1 : Tout ..... Lectures graphiques
Exercices : 1, 2 page 79 ..... Lectures graphiques
Exercices : 22, 23, 24 page 82 ..... Lire, construire, programmer
Exercice : Problème 31 page 83 ..... Tableau de valeurs et courbe
Exercice : Problème 62 page 88 ..... SVT : injection
Exercice : Problème 66 page 89 ..... Une fonction constante!