Generalites sur les fonctions - Cours 1S

Costantini

Description

FONCTIONS : GÉNÉRALITÉSCe chapitre ne traite que des "fonctions numériques de la variable réelle", c'est-à-dire des fonctions définies surtout ou une partie de et à valeurs dans .Les notions de parité, d'extremums et de sens de variation ont déjà été abordées en classe de seconde.1. Ensemble de définition d'une fonctionDéfinition 1Définir une fonction (ou une application) ƒ sur un ensemble de réels D, c'est associer à tout réel x de D un réelet un seul noté ƒ(x).Remarque : à notre niveau, D sera toujours un intervalle ou une (ré)union d'intervalles.Exemples :2• La fonction ƒ définie sur [0 ; 3] par ƒ(x) = x + 1.(1) Ici, la représentation graphique de ƒ ne sera qu'un morceau de parabole : On note encore : ƒ : [0 ; 3] fi2 x a x + 1 1• La fonction g : [0 ; +¥[ fi 1 2 3 x a x Remarquer que l'on ne peut pas définir g sur un ensemble plus grand.Définition 2L'ensemble de définition d'une fonction ƒ est l'ensemble de tous les réels x pour lesquels ƒ(x) est calculable.Exemples :1• Soit ƒ la fonction définie par ƒ(x) = .x + 1 Son ensemble de définition est D = ]-1 ; +¥[ puisque ƒ(x) n'est calculable que lorsque x + 1 > 0.ƒ24 - x 2• Soit g la fonction définie par g(x) = . La fonction g est définie lorsque x „ -1 et 4 - x  0.x + 12 On résout l'inéquation 4 - x  0 en la factorisant ((2 - x)(2 + x)  0) puis à l'aide d'un tableau de signes :x –¥ –2 2 +¥+ + 0 –Signe de 2 - x– 0 + +Signe de 2 + x– 0 + 0 –Signe de (2 - x)(2 + x)2L'ensemble des ...

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Extrait

0.ƒ24 - x 2• Soit g la fonction définie par g(x) = . La fonction g est définie lorsque x „ -1 et 4 - x  0.x + 12 On résout l'inéquation 4 - x  0 en la factorisant ((2 - x)(2 + x)  0) puis à l'aide d'un tableau de signes :x –¥ –2 2 +¥+ + 0 –Signe de 2 - x– 0 + +Signe de 2 + x– 0 + 0 –Signe de (2 - x)(2 + x)2L'ensemble des ..." />

2 0

– + –

2 La fonctiondéfinie sur [0 ; 3] par(x)=x+1.

Exemples : Soitla fonction définie par(x)=

1 . x+1

3

2

(1) Ici, la représentation graphique dene sera qu'un morceau de parabole :

Remarquer que l'on ne peut pas définirgsur un ensemble plus grand.

Définition 1

1. Ensemble de définition d'une fonction

 : [0 ; 3] →  2  + x a x1 La fonctiong: [0 ;+∞[ →   x a x

On note encore :

FONCTIONS : GÉNÉRALITÉS

Ce chapitre ne traite que des "fonctions numériques de la variable réelle", c'estàdire des fonctions définies sur tout ou une partie deet à valeurs dans.

Définir une fonction (ou une application)sur un ensemble de réelsD, c'estassocierà tout réelxdeDun réel

1

1

Les notions de parité, d'extremums et de sens de variation ont déjà été abordées en classe de seconde.

r r (1) La représentation graphique dans un repère (O;i,j) d'une fonctiondéfinie sur un ensembleDest l'ensemble des points de coordonnées (x;(x)) pourx∈D. Généralités sur les fonctions Page1G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/

2 L'ensemble des solutions de l'inéquation 4−x0 est doncS=[−2 ; 2]. Et, tenant compte de la condition

x Signe de 2−x Signe de 2+x Signe de (2−x)(2+x)

L'ensemble de définition d'une fonctionest l'ensemble detousles réelsxpour lesquels(x) est calculable.

2 4−x 2 Soitgla fonction définie parg(x)=La fonction . gest définie lorsquex≠−1 et 4−x0. x+1 2 On résout l'inéquation 4−x0 en la factorisant ((2−x)(2 +x)0) puis à l'aide d'un tableau de signes :

Remarque : à notre niveau,Dsera toujours un intervalle ou une (ré)union d'intervalles. Exemples :

Son ensemble de définition estD  =]−1 ;+∞[ puisque(x) n'est calculable que lorsquex+1 > 0.

Définition 2

x≠−1, il vient :D g =[−2 ;−1[∪]−1 ; 2].

et un seulnoté(x).

–∞

–2

+∞

0

+ + +

+ – –

0 0

2. Comparaison de fonctions

Définition 3

SoitDune partie de. Soientetgdeux fonctions définies au moins surD.

On dit que les fonctionsetgsont égales surDsi :(x)=g(x) pour toutx∈D On note alors simplement :=gsurD.

Exemples : Considérons les fonctions,gethdéfinies par : : →  2  x a x On a :=gsur,=hsur + etg=hsur + .

g: →  x a |x|

h: →  x a x

Remarque : attention ! Ne pas faire de simplification abusives dans les expressions de fonctions : Les fonctionsetgdéfinies par : :\ {5} → g: →  (x−5)(x+2)  x a x a x+ 2 x−5 ne sont pas égales sur(puisquen'est pas définie sur). Mais elles sont égales sur\ {5}. (Car, six≠5,

on peut simplifier parx−5 dans l'expression de(x))

Définition 4

SoitI un intervalle et soientetgdeux fonctions définies au moins surI. On dit que :

 est inférieure àgsurIlorsque :(x)g(x) pour toutx∈I. On note :gsurI.

 est positive surI lorsque :(x)0 pour toutx∈I. On note :0surI.

 est majorée surIlorsqu'il existe un réelMtel que :(x)Mpour toutx∈I.

 est minorée surIlorsqu'il existe un réelmtel que :m(x) pour toutx∈I.

 est bornée surIlorsqu'il existe des réelsMetmtels que :m(x)Mpour toutx∈I. (est majorée et

minorée)

Remarque : la relation d'ordre pour les fonctions n'est pas totale ; en ce sens que deux fonctions ne sont pas toujours comparables (voir exemple cidessous) Exemples :

2 1) On considère les fonctionsetgdéfinies sur + par(x)=xetg(x)=x. Compareretg...

Les fonctionsetgne sont pas comparables sur + . En effet :

 1   1  1 1 g (puisque ) mais(2)g2(2) (puisque 4)      2   2  2 4

Cependant, on a :gsur [0 ; 1] etgsur [1 ;+∞[.

Ceci se prouve en étudiant le signe de la différence(x)−g(x) :

Généralités sur les fonctions

2 (x)−g(x)=x−x=x(1−x)

Page2

9

4

1

1

2

C g

3

C 

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Tableau de signes :

On a donc bien :(x)−g(x)0 lorsquex∈[0 ; 1] et(x)−g(x)0 lorsquex∈[1 ;+∞[.

2 2 Autrement dit :xxlorsquex∈[0 ; 1] etxxlorsquex∈[1 ;+∞[.

2 Moralité : un nombreAn'est pas toujours inférieur à son carréA... 1 2) On considère la fonctiondéfinie surpar(x)=x(1−x). Démontrer queest majorée surpar . 4

Là encore, on étudie le signe de la différence : pour toutx∈, on a :

2 1 1 1 2  1  −(x)=−x(1−x)=−x+x= −x    4 4 4 2

2  1  1 Et comme, −x  0 pour toutx∈, on en déduit :(x) pour toutx∈.   2 4

1 1 1 La fonctionest le plus petit des majorants de. (Et est donc bien majorée par (autrement dit : est un 4 4 4 1 maximum de) puisque pourx=, ce majorant est atteint) 2 3) Démontrer que la fonctionϕdéfinie pourt∈parϕ(t)=4sint−3 est bornée sur.

Cette foisci, on utilise le fait que :−1sint1 pour toutt∈.

En multipliant cet encadrement par 4, puis en soustrayant 3, on obtient :−7ϕ(t)1 pour toutt∈.

La fonctionϕest donc bien bornée sur.

INTERPRÉTATIONS GRAPHIQUES :

est majorée (sur)

Généralités sur les fonctions

C

C

est minorée (sur)

m

La courbeCest au dessus d'u

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est bornée (sur)

m

La courbeCest contenue dans une bande horizontale

C

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Propriété

Soitune fonction monotone sur un intervalleI=[a;b]. Alorsest bornée.

Démonstration : Supposonscroissante sur [a;b]. (Le cas "décroissante" se traite de manière analogue)

Soitx∈[a;b]. On a doncaxb.

Et commeest croissante, elle conserve les inégalités, d'où :(a)(x)(b).

Les nombres(x) sont encadrés par(a) et(b) pour tousx∈[a;b]. Autrement dit,est bornée.

3. Composition de fonctions

Voir fiche ciaprès.

4. Sens de variation d'une fonction

Définition 5

SoitIun intervalle (ouvert ou fermé, borné ou non) Soitune fonction définie au moins surI. On dit que :

 est croissante surIsi : pour tousuetvdansI:u<v⇒(u)(v)

 est strictement croissante surIsi : pour tousuetvdansI:u<v⇒(u) <(v)

 est décroissante surIsi : pour tousuetvdansI:u<v⇒(u)(v)

 est strictement décroissante surIsi : pour tousuetvdansI:u<v⇒(u) >(v)  est monotone surIsiest croissante surIou décroissante surI.  est strictement monotone surIsiest strictement croissante surIou strictement décroissante surI.

Remarques : ces notions ne sont valables que sur un intervalle on dit parfois queest croissante si elle conserve les inégalités et queest décroissante si elle renverse les inégalités.

Le sens de variation des fonctions suivantes est à connaître parfaitement : 2 3 1 x a ax+ b x a x x a x x a x

Exemple 1 :où l'on utilise le sens de variation des fonctions usuelles −3 Soitla fonction définie par :(x)=+2. 5−2x

5 La fonctionest définie pour 5−2x> 0, c'estàdirex< . 2

 5  Son ensemble de définition est doncD  =−∞; .    2 

Généralités sur les fonctions

Page4

x a

x

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−3 5−2v

En traçant la courbe représentantsur une calculatrice, il semble quesoit strictement décroissante surD  .

Page5

u<v −u>−v

5−2u5 > −2v

C'estàdire :

Et enfin en ajoutant 2 :

 5  Bilan : on a montré que, pour tous réelsuetvde−∞; :u<v⇒(u) >(v)    2 

− −  Alors est strictement décroissante surD  . En effet, soientuetvdes réels quelconques deD  tels que :

+ + −  Les réelsuet−vsont des éléments deD  . Comme est strictement croissante surD  , on a :

+ − = ∈ NotonsD  ={x∈D  tels quex 0} etD  {xD  tels quex 0}.

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Exemple 2 :où l'on utilise la parité des fonctions Soitune fonction paire (i.e.D  est un ensemble centré en 0, et pour toutx∈D  ,(−x)=(x)).

+ est strictement croissante surD 

Les réels

(−u) >(−v) (u) >(v)

Généralités sur les fonctions

Et commeest paire :

−3 +2 5−2v

(u) >(v)

 5  La fonctionest donc bien strictement décroissante sur−∞; .    2 

1 5−2v

−3 +2 > 5−2u

En multipliant par−1 :

Supposons :

Or, la fonctionx a

5−2u et

5−2v5strictement positifs (puisque  sont − 2u et 5− 2vsont). Or, la fonction le

5−2v

 5  Les réels 5−2u et 5−2vsont strictement positifs puisqueuetvsont éléments de−∞; .    2 

u<v La fonctionx a 5−2xest strictement décroissante sur (fonction affine de coefficient directeur négatif) 

 5  Soientuetvdes réels quelconques de−∞; tels que :    2 

Prouvons le :

donc

xest strictement croissante sur + donc :

1 x a est strictement décroissante sur ]0 ; + [ donc : ∞ x 1 < 5−2u

En multipliant par−3, qui est un nombre négatif : −3 > 5−2u

5−2u>

−   Bilan : on a montré que, pour tous réelsuetvdeD  :u<v⇒ (u) > (v)

− La fonctionest donc bien strictement décroissante surD  .

On montre, de même, que :

+ − ⇒  paire et strictement décroissante surD  croissante sur strictement D  .

+ − ⇒  impaire et strictement croissante surD  croissante sur strictement D  .

+ −   impaire et strictement décroissante surD  ⇒ strictement décroissante surD  .

Exemple 3 :où l'on utilise les règles de calcul algébrique

4 Étudier le sens de variation de la fonctiondéfinie surpar :(x)=x.

Soientuetvdes réels quelconques de [0 ;+∞[ tels que :u<v. 4 4 2 2 2 2 2 2 On sait, par ailleurs, que :u−v=(u−v)(u+v)=(u−v)(u+v)(u+v)

Remarque : on peut retrouver le sens de variation de la fonction 4 x a xen composant la fonction carrée avec elle même et en utilisant le théorème sur le sens de variation d'une composée.

2 2 4 4 Or, par hypothèse :u−v< 0,u+v> 0,u+v> 0. Doncu−v< 0, c'estàdire(u) <(v).

La fonctionest donc strictement croissante sur [0 ;+∞[.

4 4 En outre,est paire (car définie surqui est centré en 0, et pour toutx∈, (−x)=x), donc (cf exemple 2),

est strictement décroissante sur ]−∞; 0].

1 Exercice : étudier le sens de variation de la fonctiondéfinie par(x)=x+ pourx∈]0 ;+∞[. x  1  (On pourra montrer que :(v)−(u)=(v−u) 1−    uv 

et discuter suivant queuetvsont dans ]0 ; 1] ou dans [1,+∞[)

On verra, lors du chapitre sur la dérivation, une autre méthode pour étudier le sens de variation d'une fonction.

Théorème

Soientetgdeux fonctions définies au moins sur le même intervalleI. Soitλ∈.

Sietgsont croissantes (resp. décroissante) surIalors la fonction+gest croissante (resp. décroissante)

surI. Siest croissante surIetλ> 0 (resp.λ< 0) alors la fonctionλest croissante (resp. décroissante) surI.

Remarque : le théorème est valable avec des fonctions strictement monotones.

Démonstration :

Soientuetvdes éléments deItels queu<v.

Supposonsetgcroissantes surI. On a donc(u)(v) etg(u)g(v).

En additionnant membre à membre :(u) +g(u)(v)+g(v). D'où le résultat.

Enfin l'inégalité(u)(v) devientλ(u)λ(v) siλ> 0 etλ(u)λ(v) siλ< 0 d'où le résultat.

Généralités sur les fonctions

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3 Exemple : la fonctionsur définie  par(x)=x+ 3x+est strictement croissante sur 2  puisque les

3 fonctionsx a xetx a 3x 2 le sont. + Attention : il n'y a pas de règle aussi simple pour le produit de deux fonctions. En effet, suivant le cas, le produit de deux fonctions croissantes peut être une fonction croissante mais aussi une fonction décroissante. En 3 tions définies sur par :x a effet, considérons les foncxet g:x a x. On sait que etg sont

4 croissantes sur. Or, la fonction produitgdéfinie sur est  parg(x)=x(voir exemple 3 cidessus) est

croissante sur [0 ;+∞[ et décroissante sur ]−∞; 0]...

Exercice : soient etg deux fonctions positives et croissantes sur un intervalleI. Démontrer que la fonction produitgest croissante surI.

Solution : soientxetydansItels quex<y.

Commeetgsont croissantes et positives surIon a :

0(x)(y)

et 0g(x)g(y)

Multiplions [1] parg(x) (qui est une quantité positive) :

0(x)g(x)(y)g(x)

Multiplions [2] par(y) (qui est une quantité positive) :

0g(x)(y)(y)g(y)

En utilisant la transitivité des inégalités, [3] et [4] donnent : 0(x)g(x)(y)g(y)

C'estàdire :

0g(x)g(y)

Ce qui prouve que la fonctiongest croissante surI.

[1]

[2]

[3]

[4]

5. Fonctions associées du typex a (x)k,x a (x, ) x a (x) etx a (−x)  +  + λ −

Théorème r r SoitC  la représentation graphique d'une fonctiondans un repère (O;i,j).

La courbeC g  représentant la fonctiongpar définie g(x)=(x)+kl'image de est C  par la translation de

→ vecteurk j.

La courbeC h la fonction représentant h définie parh(x)=(x+λ) est l'image deC  par la translation de

→ vecteur−λi .

La courbeC k représentant la fonctionkdéfinie park(x)=−(x) est l'image deC  par la symétrie par rapport

à l'axe (Ox) des abscisses. La courbeC l représentant la fonctionldéfinie parl(x)=(−x) est l'image deC  par la symétrie par rapport

à l'axe (Oy) des ordonnées.

Attention,ethn'ont pas le même ensemble de définition en général. De même pouretl.

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