methodes numériques (différence finis)

Hicham Meftah

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• Publié par: maroc2030ka
• Publié le: 20 avril 2012
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• Langue: Français

Extrait

- ANALYSE NUMERIQUE INTRODUCTION AUX EDP, DIFFÉRENCES FINIES Hicham Meftah eme3 année GP - 2010/2011 H. Meftah - ENSA d’Agadir - [e-mail] 1 / 57Introduction - Généralités Le calcul numérique est devenu l’un des éléments essen- tiels de tout programme de recherche et de développement. H. Meftah - ENSA d’Agadir - [e-mail] 2 / 57Introduction - Généralités Avantages majeurs du calcul numérique : Réduction significative du temps de conception et de déve- loppement Reproduction de conditions non-faisables expérimentalement Fourniture d’informations plus détaillées et plus précises Meilleure rentabilité et plus économique que l’expérience Des expériences de référence sont cependant nécessaires à la validation initiale des calculs. H. Meftah - ENSA d’Agadir - [e-mail] 3 / 57Introduction - Généralités Traditionnellement, pour concevoir un fuselage d’avion de ligne, Boeing effectuait une vingtaine d’expérience en souf- flerie. A présent, avec l’utilisation du calcul numérique, seules deux ou trois campagnes expérimentales sont nécessaires. Dans les souffleries, des informations globales sont obte- nues : la traînée, la portance, la distribution de pression en certains points. Le calcul numérique permet d’obtenir en plus le champ de vitesse et de pression autour de la carlingue (ce que l’ex- périence peut faire mais pour un coût énorme). H. Meftah - ENSA d’Agadir - [e-mail] 4 / 57Introduction - Structures des équations Le principe du calcul numérique est de résoudre des équa- tions différentielles décrivant l’évolution de variables phy- siques dans l’espace et le temps. Les difficultés de résolution du problème sont généralement liées à deux éléments principaux : La complexité de la géométrie étudiée. La complexité des couplages entre les différents phénomènes physiques H. Meftah - ENSA d’Agadir - [e-mail] 5 / 57Introduction - Exemples Exemple Numéro 1 : Simulation météorologique. Géométrie sphérique “simple” à grande échelle mais très grande (et donc coûteuse en mémoire et en temps). De plus, les interactions entre l’atmosphère, les océans, les surfaces émergées, les échanges thermiques, les réactions chimiques à échelles variables, les rapports d’échelle, etc. Font de ce problème l’un des plus complexes qui soit. H. Meftah - ENSA d’Agadir - [e-mail] 6 / 57Introduction - Exemples Exemple Numéro 2 : Voilier. Géométrie complexe et particulièrement “fine” Interactions fluide/structure : solveurs multiples avec cou- plages entre les deux. Calcul de la prise au vent de la voile, de la déformation du mat et des efforts sur la coque. Calcul de l’aérodynamique, de l’équilibrage de la quille, etc. Les échelles de longueur sont plus à “taille humaine” mais les calculs peuvent être très complexes. H. Meftah - ENSA d’Agadir - [e-mail] 7 / 57Introduction - Application Application : Oscillateur Harmonique Nous allons prendre, comme premier exemple, un modèle mécanique pour un oscillateur harmonique. Par exemple, une masse attachée à l’extrémité d’un ressort. VF k raideur du ressort masse m x Exercice : Etablire l’équation de mouvement de l’oscillateur H. Meftah - ENSA d’Agadir - [e-mail] 8 / 57Introduction - Application Application : Oscillateur Harmonique L’équation du mouvement est donnée par : 2d x m =−kx 2dt Et la solution de cette équation est de la forme : x = Acos(!t+) Avec A et des constantes dépendantes des conditions auxp limites et ! = (k=m), la pulsation de l’oscillateur. H. Meftah - ENSA d’Agadir - [e-mail] 9 / 57Introduction - Application Application : Oscillateur Harmonique Ce modèle peut être affiné et plus proche de la réalité, en ajoutant deux forces 1. Une force de contrôle de la pulsation ! imposée par l’opé-c rateur. Elle est de la forme Fcos(! t)c 2. Une force de résistanceau mouvement−f(dx=dt) La première correspond à une oscillation de l’axe de l’expé- rience et la seconde aux frottements appliqués à la masse. L’équation du mouvement (qui a une solution analytique) s’écrit alors : 2d x dx m + f + kx = Fcos(! t)c2dt dt H. Meftah - ENSA d’Agadir - [e-mail] 10 / 57