Probabiltiés : Techniques de représentations des cas

Description

Chapitre 14ProbabilitésI Techniques de représentations des casa) Avec un tableau à double entréePropriétéOn connait déjà le tableau des effectifs pour une série statistique, on peut aussi utiliser ce type detableau pour répertorier sans aucun oubli l’ensemble de toutes les possibilités d’une situationdonnée.Prenons pour exemple l’exercice suivant :Exercice : Dans un jeu, on lance deux dés identiques numérotés de 1 à 6et on calcule la somme des deux résultats obtenus.Est-ce qu’une somme supérieure strictement à 6 est plus fréquente qu’une somme inférieure à 6?Pour cela on complète le tableau suivant :XXXX 1° déXXX 1 2 3 4 5 6XX Puis on compte :2° dé XXX1 2 3 4 5 6 721 sommes strictement su-2 3 4 5 6 7 8périeures à 6 contre 153 4 5 6 7 8 9sommes inférieures à 6.4 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 11 La réponse est donc oui!6 7 8 9 10 11 12b) Avec un arbrePropriétéOn peut aussi utiliser un arbre pour répertorier sans aucun oubli l’ensemble de toutes lespossibilités d’une situation donnée, qui imposerait plus de 2 entrées à gérer.Prenons pour exemple l’exercice suivant :Exercice : Lors d’une course de chevaux, le tiercé des chevaux arrivés auxtrois premières places est noté ABC.Combien y a t-il de tiercés gagnants (ordre et désordre compris) à cette course?S’il y avait 18 chevaux au départ, combien de tiercés gagnants dans l’ordre seraient possibles à l’ar-rivée?46I. TECHNIQUES DE REPRÉSENTATIONS DES CAS 47Pour la première question on complète ...

Informations

• Publié par: Ornui
• Nombre de lectures: 45
• Langue: Français

Extrait

Chapitre 14

Probabilités

I Techniquesde représentations des cas a) Avecun tableau à double entrée Propriété On connait déjà le tableau des effectifs pour une série statistique, on peut aussi utiliser ce type de tableaupour répertorier sans aucun oublil’ensemble de toutes les possibilités d’une situation donnée. Prenons pour exemple l’exercice suivant : Exercice :Dans un jeu, on lance deux dés identiques numérotés de 1 à 6 et on calcule la somme des deux résultats obtenus. Estce qu’une somme supérieure strictement à 6 est plus fréquente qu’une somme inférieure à 6? Pour cela on complète le tableau suivant :     1° dé    1 2 3 4 5 6   2° dé  Puis on compte :  12 3 4 5 6 7 21sommes strictement su 23 4 5 6 7 8 périeures à6contre15 34 5 6 7 8 9 sommes inférieures à 6. 45 6 7 8 910 510 116 7 8 9 !La réponse est donc oui 610 11 127 8 9

b) Avecun arbre Propriété On peut aussi utiliser un arbrepour répertorier sans aucun oublil’ensemble de toutes les possibilités d’une situation donnée,qui imposerait plus de 2 entrées à gérer. Prenons pour exemple l’exercice suivant : Exercice :Lors d’une course de chevaux, le tiercé des chevaux arrivés aux trois premières places est noté ABC. Combien y a til de tiercés gagnants (ordre et désordre compris) à cette course? S’il y avait 18 chevaux au départ, combien de tiercés gagnants dans l’ordre seraient possibles à l’ar rivée ?

46

I. TECHNIQUESDE REPRÉSENTATIONS DES CAS

47

Pour la première question on complète l’arbre suivant : B CABC A C BACB A CBAC Début B C ABCA A BCAB C B ACBA 1° Cheval2° Cheval3° ChevalArrivées Il y a donc 6 tiercés gagnants en tout, un dans l’ordre et 5 dans le désordre. Pour la 2° question, il faut compter le nombre de chemin dans l’arbre sans le dessiner : Il y aura 18 branches pour le 1° cheval, 17 pour le 2° et 16 pour le 3° : Soit en tout18×17×16 = 4896.

c) Avecun diagramme

Propriété Lorsque la situation introduit des effectifs croisés, les tableaux et les arbres ne sont plus utilisables. Aussipour répertorier sans aucun oublil’ensemble de toutes les possibilités de la situation donnée on utiliseun diagramme ensembliste dit diagramme de Venn. Il permet de visualiser des effectifs communs en superposant les ensembles. L’ensemble de toutes les possibilités est représenté par un carré ou rectangle et à l’in térieur les sousensembles sont représentés par des cercles ou tout autre forme fermée.

Avec deux ensembles :

Avec trois ...

Prenons pour exemple l’exercice suivant : Exercice :Contrôle de qualité d’une production : Sur un échantillon de 1000 objets, on constate que 70 ont le défaut A, 70 le défaut B,45 le défaut C et 15 ont les trois défauts. De plus, 25 ont le défaut A et B, 5 n’ont que les défauts A et C et enfin 10 n’ont que le défaut C. Combien d’objets n’ont pas de défaut? n’ont qu’un seul défaut? exactement 2 défauts?

Voir les documents géogébra ou pdf : « .. .Sans étiquette », « .. .Avec étiquettes » et « .. .Avec effectifs »

48PROBABILITÉSCHAPITRE 14. II Probabilitéssur un ensemble fini : définition Définition Expérience aléatoire Une expérience est ditealéatoirelorsqu’elle a plusieurs issues ou résultats possiblesmais en nombre finiet que l’on ne peut prévoir, ni calculer quelle issue se réalisera. L’ensemble de toutes les issues estl’universde l’expérience aléatoire, on le noteraE. On noteranle nombre d’issues de l’universEetx i les issues de E, aveci∈ {1, . . . n} Exemples : Avec un dé à 6 faces, lancé une seule fois et on note le résultat obtenu. L’univers est :E={1; 2; 3; 4; 5; 6}. Avec deux pièces lancées une fois ensemble,E={P P;P F;F F}. Avec une pièce lancée deux fois,E={P P;P F;F P;F F}. Définition Loi de probabilité sur un ensemble fini Sur un universEd’une expérience aléatoire, on définitune loi de probabilitélorsque : on associe à chaque issue un réel compris entre 0 et 1, et la somme des réels choisis est égale à 1. En notantp i les réels choisis, on définitune loi de probabilitélorsque : Pour touti,06p i 61etp 1 +p 2 +∙ ∙ ∙+p n = 1 Les réelsp i sont appelés les probabilités des issuesx i . Exemples : Avec un dé à 6 faces, lancé une seule fois. Compléter les trois lois de probabilité suivantes : x i 1 2 3 4 5 6Total Loi❶ p i 0.1 0.2 0.2 0.1 0.3 0.1. . . x i 1 2 3 4 5 6Total Loi❷ p i . . .0.1 .0.1 0.3 0.1 0.2. . Cas del’équiprobabilité:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x i 1 2 3 4 5 6Total Loi❸ p i . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .

Propriété Lorsqu’on étudie une expérience aléatoire, la première question à résoudre est detrouver un modèle adéquatpour sa loi de probabilité! Exemples : Associer les lois précédentes avec les expériences suivantes : Le dé utilisé estéquilibré. .: Loi . Le dé utilisé estpipé et favorise l’apparition du 5: Loi .. . Le dé utilisé estpipé mais équiprobable pour les issues impaires. .: Loi . Trouver une loi respectant la proportionnalité au résultat obtenu! x i 1 2 3 4 5 6Total p i . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .

III. PROBABILITÉD’UN ÉVÉNEMENT

49

Théorème Loi des grands nombres Pour une expérience aléatoire donnée avec une loi de probabilité associée, les distributions des fréquences obtenues en réalisant un grand nombre de fois l’expérience se rapprochent vers la loi de probabilité.

Démonstration:ADMIS ! On utilisera ce théorème pour découvrir une loi de probabilité ou pour vérifier un modèle de loi de proba bilité choisi.

III Probabilitéd’un événement Définition Dans une expérience aléatoire, Unévénementestune partie ou un sousensemblede l’univers E, il contient donc une ou plusieurs issue(s). Un événement Ase réaliselorsque l’issue de l’expérience est une issue de A. L’événementimpossibleest l’événement qui ne se réalise jamais : c’est l’ensemble vide noté∅. L’événementcertainest l’événement qui se réalise à chaque fois : c’est E, l’univers tout entier. Exemples :. .avec une pièce, un dé . Propriété Un événement serareprésentésous la forme ensembliste (diagramme de Venn)oudécritpar une phraseouexpliciterpar la liste de ses issues. Exemples : •On lance un dé, l’événement A est décrit par la phrase : « on a obtenu un résultat pair ». Faire un diagramme montrant l’ensemble A et expliciter A :A={. . . . . .}. •On lance deux dés et on calcule la somme obtenue. L’événement B est décrit par la phrase : «on a obtenu une somme multiple de 3 ». Expliciter B :B={. . . . . . . . . . . .}. Définition Probabilité d’un événement Dans une expérience aléatoire munie d’une loi de probabilité. La probabilité d’un événement A estla sommedes probabilités des issues qui constitue l’événement A. La probabilité de A sera notéep(A).

Exemples : •Calculerp(A)dans le cas des lois❶,❷et❸vues précédemment, •Calculerp(B)dans l’hypothèse que les dés sont équilibrés, •Calculer la probabilité de toucher un gain au tiercé sachant qu’il y a 18 chevaux au départ.

Exercices : Document 1 : 2, 5 La loi est donnée.

50

CHAPITRE 14.PROBABILITÉS

Propriété Dans une expérience aléatoire munie d’une loi de probabilité, pour tout événement A, on a06p(A)61, et en particulier :p(∅) = 0etp(E) = 1. Démonstration:En utilisant la définition et commeA⊂E,p(A)6p(E). Propriété Cas de l’équiprobabilité Dans une expérience aléatoire munie d’une loi de probabilitéqui est celle de l’équiprobabilité, 1 La probabilité d’une issue est, oùnest le nombre total d’issues de l’expérience. n La probabilité d’un événement A est donnée par : nombre d’issues dans A p(A) = nombre d’issues dans E

Démonstration: Il y anissues et chaque issue a la même probabilité notéep. 1 Comme leur somme donne 1, on ap+p+∙ ∙ ∙+p= 1⇐⇒np= 1, qui donne bienp=. n Pour un événement A, la probabilité est la somme des probabilités qui le constitue. 1 11 1 Chaque probabilité vaut, on a donc :p(A) =+ +∙ ∙ ∙+. n nn n 1 Cette somme contient autant deque l’événement A contient d’issue d’où : n 1nombre d’issues dans A p(A) =×(nombre d’issues dans A) =. n n Exercices : Document 1 : 1, 3, 4, 6 Avec équiprobabilité.

IV Probabilités: calculs Définition Langage des événements Dans une expérience aléatoire, avec deux événements A et B : ◮L’ événement contraire de Aest formé des issues E qui ne réalisent pas A. A ¯ L’événement contraire de A sera notéA (lire A barre). ◮L’événement intersection de A et Best formée des A E issues qui réalisent à la foisA et B. A∩B Cet événement intersection de A et B sera notéA∩B (lire A inter B).

◮L’événement réunion de A et Best formé des issues E qui réalisentA ou B(au moinsun des deux). Cet événement réunion sera notéeA∪B (lire A union B). Exemple :On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.

A∪B

¯ A

IV. PROBABILITÉS: CALCULS

51

On note A : « on a obtenu un roi » et B : « on a obtenu une carte rouge». ¯ DonnerB,A∩BetA∪B. Théorème Cas d’incompatibilité de deux événements Dans une expérience aléatoire munie d’une loi de probabilité, avec deux événements A et B. Si les deux événements A et B ne peuvent se réaliser en même temps, alors les événements A et B sont ditsincompatibles. Dans ce cas on a : p(A∩B) = 0etp(A∪B) =p(A) +p(B)

Démonstration: Comme les deux événements A et B ne peuvent se réaliser en même temps, ils n’ont aucune issue en commun, c’est à dire queA∩B=∅: on a doncp(A∩B) =p(∅) = 0. Mais aussi : toutes les issues de A sont distinctes de celles de B, donc en appliquant la définition du calcul de la probabilité d’un événement à l’événementA∪B, on obtientp(A∪B) =p(A) +p(B). Propriété Une première application du théorème Dans une expérience aléatoire munie d’une loi de probabilité, pour tout événement A, on a : ¯ p(A) +p(A) = 1

Démonstration: ¯ Il suffit d’utiliser le théorème avec A etAincompatibles : ¯ ¯¯ ¯ p(A∪A) =p(A) +p(A)et commeA∪A=E,p(A∪A) =p(E) = 1. Propriété . .Une deuxième . Dans une expérience aléatoire munie d’une loi de probabilité, pour tous les événements A et B, on a :

p(A∩B) +p(A∪B) =p(A) +p(B)

Démonstration: ′ On utilise un sousensemble de A qui contient les issues de A qui ne sont pas dans B, on le noteA. Faire un diagramme de Venn. ′ On a doncAest incompatible avec B, mais aussi avecA∩B. On peut utiliser le théorème, pour obtenir : ′ ′′ ′ p(A∪B) =p(A) +p(B)etp(A∪(A∩B)) =p(A) +p(A∩B). ′ ′ CommeA∪B=A∪BetA∪(A∩B) =A, on obtient donc à partir des deux égalités : ′′ p(A∪B) =p(A) +p(B)etp(A) =p(A) +p(A∩B). ′′ qui donne :p(A∩B) +p(A∪B) =p(A)−p(A)+p(A) +p(B)=p(A) +p(B).

Exercices : Document 1 : 7, 8 Langage des événements et formules.