Chapitre V : contribution à l'étude des lois d'endommagement en fatigue

Ngargueudedjim Kimtangar

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Chapitre V Proposition d’amélioration de la loi de Lemaitre & Chaboche  

CHAPITRE V     PROPOSITION D’AMELIORATION DE LA LOI DE LEMAITRE ET CHABOCHE     L’étude de la sensibilité des lois d'endommagement en fatigue aux variations de leurs paramètres d'influence, réalisée au chapitre IV, a suggéré que certains paramètres du matériau, longtemps considérés sans doute à tort comme des constantes immuables tout au long de la vie du matériau se révèlent en fait être des quantités variables. Leur variabilité est fonction des niveaux de contrainte des cycles appliqués, de l'ordre d'apparition de ces niveaux de contrainte (effet de séquence), de la nature de la sollicitation et du nombre de cycles appliqués aux différents niveaux rencontrés. Pour simplifier, les caractéristiques ou paramètres matériau sont susceptibles d’évoluer en fonction de l’état d’endommagement du matériau.   1– MISE EN ÉVIDENCE DE LA VARIATION DU PARAMÈTRE β  DE LA LOI DE LEMAITRE ET CHABOCHE Pour mettre en exergue le fait que le paramètre β  de la loi de Lemaitre et Chaboche doit nécessairement varier pour traduire correctement le cumul de dommage observé expérimentalement lors d’essais de fatigue à deux niveaux, nous avons cherché à calculer la valeur de β pour chaque essai qui permet une évaluation exacte de la fraction de vie résiduelle du second niveau. C’est un peu le principe d’une méthode inverse qui est appliquée ici, même si ce principe est ici simple d’application. Lors de la présentation de la loi de Lemaitre et Chaboche au chapitre I, nous avons vu que la fraction de vie r 2 d’un essai à deux niveaux s’exprime suivant : 1 er cas : σ 2 > σ D0   ( 0 < α < 1 ) : r 2 = 1 − r 1 ( N r1 N  r 2 )(σ 1 σ 2 )β  (81) 2 ème cas : σ 2 < σ D0   (α = 0 ) : r 2 = − ln ( r 1 )(σ 1 σ 2 ) β    (82)  

 

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Connaissant, σ 1 , N r1 et r 1 d’une part (données expérimentales du premier niveau) et σ 2 , N r2  et r 2  d’autre part (au second niveau), on détermine la valeur de β  correspondant à la relation (81) ou (82) concernée par le cas rencontré. Les expressions sont données par : r 1 e cas : σ 2 > σ D 0 (0 < α < 1)   β = ln [ N r 2 ln(1 − r 2 ) / N r1 ln(r 1 ) ] / ln( σ 1 / σ 2 ) 2 ème cas : σ 2 ≤ σ D 0 ( α = 0) β = ln( − r 2 / ln r 1 ) / ln( σ 1 / σ 2 ) La valeur de β  a ainsi été calculée pour chaque essai de cumul de dommage à deux niveaux (essais présentés au chapitre II et déjà mis à contribution au chapitre III). Le tableau 30 récapitule les données matériau de l’ensemble des essais, notamment en indiquant le rapport γ 1 relatif au premier niveau ( γ 1 = σ 1 / σ D0 ).   Type d'essai Bas-Haut Haut-Bas Bas-Haut Haut-Bas Haut-Bas Haut-Bas Bas-Haut Haut-Bas =  1,60 1,71 2,00 2,10 2,40 2,90 γ 1  σ 1 /σ D0   1,20 1,43   σ 1  σ 2  σ 1  σ 2  σ 1  σ 2  σ 1  σ 2  σ 1  σ 2  σ 1  σ 2  σ 1  σ 2  σ 1  σ 2    689 586 827 758 965 827 Acier doux SAE4130 MPa MPa MPa MPa MPa MPa   Acier 827 2000 1103 2000 1379 1103 1448 965 1655 2000 2000 1655 300CVM MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa   Tableau 30 : Récapitulatif des données des essais de fatigue à deux niveaux   La figure 48 pour sa part présente graphiquement les valeurs de β calculées pour tous les essais de cumul de dommage concernant l’acier SAE4130 (figure 48(a)) et l’acier Maraging 300CVM (figure 48(b)).  

 

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Chapitre V Proposition d’amélioration de la loi de Lemaitre & Chaboche     n de β en fonction du niveau de Evolution de β en fonction du niveau de Evolutio contrainte et du nombre de c contrainte et du nombre de cy cles ap p liqués. appliqués.Acier SAE 4130, fle y x c i l o e n s     rotative, β 0 β Acier 300CVM , flexion rotative, β 0 = 4 β = 5,5 8 1 1 3 2 7 γ 1=2,90 11 6 γ 1=2,00 = 10 γ 1=2,00 5 γ 1 2,10 8 9 γ 1=1,71 4 γ 1=2,40 γ 1=1,20 7 γ 1=1,43 3 6 γ 1=1,60 2 5 r1 4 r1 1 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0    (a) (b)   Figure 48 : Evolution du paramètre β en fonction du premier niveau de contrainte γ 1   et de la fraction de vie r 1 sous ce niveau (a) : acier SAE 4130, essai Haut-Bas en flexion rotative, (b) : acier 300CVM, essai Haut-Bas et Bas-Haut en flexion rotative.   β 0  est la valeur de β  du matériau vierge, calculée initialement selon la procédure habituelle mise en œuvre pour la loi de Lemaitre et Chaboche. Une étude similaire est réalisée pour les essais de cumul de dommage menés sur la fonte GS61 et sur l'acier 35CD4 trempé revenu. Les résultats obtenus sont présentés dans les tableaux 31 et 32 respectivement. Ils mettent en évidence l'effet sur la valeur de β, de l’ordre d’apparition des blocs de cycles des 2 niveaux, de la nature de la sollicitation appliquée et de la fraction de vie du premier niveau. Valeurs du paramètre β en fonction de la nature de la sollicitation, du niveau et du nombre de cycles de contrainte du premier niveau, pour la fonte GS61 [36]. σ 1 N r1 σ 2 N r2 Sollicitation (MPa)  (cycles) (MPa) (cycles)  r 1 γ 1 β Fp 352 124 240 320 284 540 0,40 1,25 4,53 Fp 352 124 240 303 573 400 0,40 1,25 5,40 Fp+To 352 124 240 233 274 180 0,40 1,60 4,05 To 233 274 180 249 144 890 0,58 1,10 14,80 To+Fp 233 274 180 352 124 240 0,58 1,06 0,59 To 244 144 890 233 274 180 0,35 1,18 5,90 To+Fp 244 144 890 303 573 400 0,35 1,13 -2,83 FP 303 573 400 352 124 240 0,28 1,08 4,91 Fp+To 303 573 400 249 144 890 0,28 1,38 -7,15   Tableau 31 :  Valeurs du paramètre matériau β pour les essais de cumul de dommage sur la fonte GS61    118

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Valeurs du paramètre β en fonction du niveau et du nombre de cycles de contrainte au premier niveau, pour l'acier 35CD4 trempé revenu soumis à une flexion rotative [38].   σ   1     r1 σ   2 2   r (MPa)   (cycles)   (MPa   )   (cycles) r 1 γ   1 β   650 70 000   550   330 000 0,21 1,24 2,98   630 95 000   560   320 000 0,31 1,20 1,20   550 330 000   650   70 000 0,06 1,05 10,21   560 320000   660   56000 0,33 1,07 10,77  

    Tableau 32 : Valeurs du paramètre β en fonction de la nature de la sollicitation, du niveau de contrainte et du nombre de cycles appliqués à l'acier 35CD4 trempé revenu   Nous pouvons affirmer, à partir de cette étude, que le paramètre β (appelé auparavant constante de la loi de Lemaitre et Chaboche) évolue en fonction des paramètres du chargement. Par conséquent, les autres paramètres de la loi de Lemaitre et Chaboche, à savoir α et M 0 , varient eux aussi en fonction de l'état d'endommagement du matériau. Le paragraphe suivant présente la recherche d'une loi d'évolution du paramètre β  en vue d’intégrer l'influence des différents paramètres du chargement, pour améliorer ses prévisions de tenue à la fatigue du matériau.   2 – RECHERCHE DE LA LOI D'ÉVOLUTION DU PARAMÈTRE β    Nous avons choisi de lier l'évolution du paramètre β à celle de la limite d'endurance du matériau. Ce choix a l'avantage de coupler les variations de deux propriétés caractéristiques du matériau, toutes les deux modifiées par le chargement appliqué. De plus, à travers la variable limite d'endurance, nous pouvons intégrer les effets de la contrainte moyenne et de la nature de la sollicitation. Nous utilisons pour cela les deux modèles d'évolution de la limite d'endurance, celui de Henry [11] et celui de Gatts [20].   2.1 – Hypothèses Outre les hypothèses propres à la loi de Lemaitre et Chaboche (cf chapitre I), nous supposons que : Hyp. 1 :  L’endommagement du matériau entraîne l'altération continue de ses propriétés physiques, métallurgiques et mécaniques. En particulier, il engendre une diminution de sa résistance statique et de sa résistance à la fatigue (limite d’endurance).

 

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Hyp. 2 : Le matériau endommagé a une limite d’endurance actuelle (ou instantanée) liée à son paramètre β . A l’état vierge du matériau, β admet une valeur β 0 , obtenue à partir de la courbe S-N. Les hypothèses utilisées pour les lois de Henry et de Gatts restent valables ici.   2.2 – Propositions On suppose qu'un matériau soumis à un chargement composé de plusieurs blocs successifs d'amplitudes différentes (mais constantes au sein de chaque bloc), a des caractéristiques mécaniques qui dépendent de l’effet des cycles de contrainte précédemment appliqués. Une façon pratique de graduer la vie d'un matériau, et donc de prendre en compte ces effets de chargement est d'utiliser la fraction de vie équivalente (ou le nombre de cycles équivalent), comme cela a été fait pour la présentation des différentes lois de la bibliographie. Ainsi, en tenant compte des résultats de l'étude du premier paragraphe de ce chapitre, l'évolution du paramètre β peut être décrite par l’une ou l’autre des 2 propositions suivantes : γ DI r ieq β 1 = β 0 e β 2 = β 0 + r ieq e r ieq γ DI − 1   Où γ DI est la limite d'endurance de Henry ( γ DH ), ou de Gatts ( γ DG ), correspondant à la fraction de vie r i , suivant le modèle utilisé de la limite d'endurance. r ieq  est la fraction de vie équivalente, c'est à dire la fraction de vie sous le niveau de contrainte σ i qui produirait le même dommage que les n i-1 cycles du niveau de contrainte σ i-1 . Ses expressions pour la loi de Henry et celle de Gatts sont respectivement : r ieq = D i − 1 D i + − 1 γ i i − 1   avec D i − 1 = r i − γ 1 i − 1 γ i − − 1 r i − − 1 1 ) (dommage causé par les n i-1 cycles), r ie = γ i ( 1 − C )( γ DGi − 1 − 1 )    q ( C γ i − 1 )( γ i − γ DGi − 1 ) γ DGi − 1 = γ i − 1 ⎛ 1 − 1 r i − 1 i − 1 1 r i − 1 ⎟    avec ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ⎝ 1 − C + γ  γ i ( − 1 − − 1 ) ⎟ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ γ DGi-1 est la limite d'endurance du matériau à la fin de la fraction de vie r i-1 . Pour des essais de fatigue à deux niveaux avec n 1 cycles au premier niveau, puis des cycles au second niveau jusqu'à rupture de l'éprouvette, les deux fonctions d'évolution de β   s'écrivent :

 

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Chapitre V Proposition d’amélioration de la loi de Lemaitre & Chaboche   β 1 = β 0 e r 1 γ DI    β 2 = (β 0 + r 1 ) e r 1 (γ DI − 1 ) .   2.3 – Comparaison des résultats  Les confrontations des résultats des deux propositions d'évolution de β  aux valeurs expérimentales sont représentées sur la figure 49 pour les essais Haut-Bas et sur la figure 48 pour les essais Bas-Haut. Pour les essais Haut-Bas sur l'acier SAE 4130 doux c'est la première proposition (notée β 1G ) utilisant la limite d'endurance de Gatts qui approche au mieux les résultats expérimentaux. Pour l'acier 300CVM en revanche, aucune des deux propositions ne fournit d'amélioration substantielle des prévisions.     Evolution de Beta pour l'acier doux SAE 4130 Evolution de Beta pour l'acier doux SAE 4130 sous flexion rotative de 485-1700 cycles.   sous flexion rotative de 1700-14000 cycles     0 = 5,5   0 = 5,5   12   16 Exp Exp 14 10   12 1H   8   1H 10 1G   6   1G 8 2H   6 4   2H 4 2G   2   2G 2   0   r1   0 r1   0   0,2   0,4   0,6 0,8   1   0 0,2 0,4 0,6 0,8 1      (a) (b) Evolution de Beta pour l'acier doux SAE 4130  Evolution de Beta pour l'acier doux SAE 4130   sous flexion rotative de 14000-81250 cycles.  sous flexion rotative de 14000-203000 cycles.   β   β 0 = 5,5   0 5,5 14   Exp 12 12   10 β 1H 10 β Exp     8 β 1G 8 1H     6   β 2H 6 β 1G     4   β 2G 4 β 2H   2   2 β 2G   0   r1   0 00,20,40,60,81 r1   0   0,2   0,4   0,6   0,8   1      (c) (d)    121

Chapitre V Proposition d’amélioration de la loi de Lemaitre & Chaboche     Evolution de Beta pour 300CVM sous flexion  Evolution de Beta pour 300CVM sous flexion   rotative de 1280-3800 cycles.   β 0       = 4 rotative de 12000-44000 cycles.   β   0   = 4   β   10   1H 8 8   7 β 1H   1G 6 β 1G   2H 6   5 β 2H   2G Exp 4 4   3 β 2G   2 Exp   2   1 0   0 r1   r1 0,0   0,2   0,4   0,6 0,8   1,0   0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0      (e) (f)   Figure 49 : Courbes d'évolution du paramètre β modifié pour des essais de flexion rotative en régime de contrainte Haut-Bas : (a) – (d) : sur l'acier doux SAE 4310, (e), (f) : sur l'acier 300CVM. Les courbes β 1 H  et β 1 G  sont celles données par la première proposition de la loi d'évolution de β  utilisant la limite d'endurance de Henry et de Gatts respectivement ; β 2 H  et β 2 G sont celles données par la seconde proposition.   Evolution de Beta pour 300CVM sous flexion Evolution de Beta pour 300CVM sous flexion   rotative de 3800-1280 cycles.   β   0   = 4   rotative de 244000-1280 cycles.   β 0     = 4   β   8     1H 8 exp 7    7 1G G   6    6 β 1 5 2H 5 β 2H       4 2G 4 β G2       3   exp 3 β 1H   2   2 1   1 0   r1   0 r1   0,0   0,2   0,4   0,6 0,8   1,0   0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0        (a) (b)    122

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Exp 1H 1G 2H 2G

Evolution de Beta pour 300CVM sous flexion rotative de 94000-1280 cycles.     0   =4     7   6   5   4   3   2   1   0   r1   0,0   0,2   0,4   0,6 0,8   1,0      (c)   Figure 50 : Courbes d'évolution du paramètre β modifié pour les essais de flexion rotative en régime de contrainte Bas-Haut sur l'acier 300CVM   2.4 – Application des deux propositions de la loi d'évolution de β     Dans le souci de déterminer parmi les lois d'évolution de β  celles qui donnent les prévisions de durée de vie les plus proches des résultats expérimentaux, nous avons intégré dans la loi originale de Lemaitre et Chaboche, le modèle de limite d'endurance de Gatts pour les essais Haut-Bas (le modèle de limite d’endurance de Henry a été écarté au vu de l’évolution de β qu’il engendre - figure 51) et les deux modèles de limite d'endurance (Gatts et Henry) pour les essais Bas-Haut. Les figures et les tableaux qui suivent donnent les prévisions de tenue à la fatigue en terme de fraction de vie d'une part et de durée de vie totale d'autre part, ces deux paramètres étant les critères de validation habituels des lois d’endommagement.    2.4.1 – Courbes de fraction de vie  Les courbes de fraction de vie de la figure 51 servent de premier indicateur pour le choix de la loi recherchée, qui doit prévoir au mieux le comportement réel des matériaux en fatigue.

 

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Chapitre V Proposition d’amélioration de la loi de Lemaitre & Chaboche     Courbes de fraction de vie pour l'acier SAE Courbes de fraction de vie pour l'acier SAE   4130 soumis à une flexion rotative de 4130 soumis à une flexion rotative de    485-1700 cycles   r2 1700-5400 cycles r2   1,0 1,0   0,8 0,8   r 2β0 0,6 0,6   G r 2β1 r 2β0   Exp 0,4 0,4   r 2β1 G   0,2 Exp   0,2   0,0   0,0 r1   0,0   0,2   0,4 0,6   0,8   1,0   r1   0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0        (a) (b)   Courbes de fraction de vie pour l'acier SAE   Courbes de fraction de vie pour l'acier SAE   4130 soumis à une flexion rotative de   4130 soumis à une flexion rotative de   r2   14000-81250 cycles   r2 14000-203000 cycles 1,0   1,0 0,8   0,8 r 2β0 0,6   r 2β1 G 0,6 r 2β0   0,4   Exp 0,4  r 21β G   Exp   0,2   0,2 0,0   1   0 0  r1   r , 0,0   0,2   0,4   0,6   0,8   1,0   0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0        (c) (d)   Figure 51 : Courbes de fraction de vie pour l'acier doux SAE 4130 soumis à une flexion rotative [10] : r 2 β 0  correspond à la loi de Lemaitre et Chaboche d'origine et r 2 β1 G  à la loi de Lemaitre et Chaboche modifiée par la limite d'endurance de Gatts    Les courbes de fraction de vie de la figure 52 visent à comparer sur des chargements de type Bas-Haut, les prévisions de la loi de Lemaitre et Chaboche d’origine avec celles de la loi modifiée par la limite d’endurance de Gatts et celle de Henry (2 ème proposition).    124

Chapitre V Proposition d’amélioration de la loi de Lemaitre & Chaboche   Courbes de fraction de vie pour l'acier  Courbes de fraction de vie pour l'acier   300CVM en flexion rotative,  300CVM en flexion rotative,     r2 3800-1280 cycles   244000-1280 cycles     r2 1,0   1,0 0,8   r 2β0 r 2β0   0,8 r 2β2 H   0,6   r 2β2 H 0,6 r 2β2 G   r 2β2 G 0,4   Exp 0,4  Exp   0,2   0,2 0,0   0,0 r1   0,0   0,2   0,4   0,6 0,8   1,0   r1   0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0    (a) (b)   Courbes de fraction de vie pour l'acier   Courbes de fraction de vie pour l'acier   300CVM en flexion rotative,   300CVM en flexion rotative,   44000-1280 cycles   94000-3800 cycles   r2 r2   1,4 1,4   r 2β0 1,2 r 2β0   1,2   r 2β2 H 1,0 r 2β2 H   1,0   r 2β2 G 0,8 r 2β2 G   0,8   0,6   Exp 0,6  Exp   0,4   0,4 0,2   0,2 0,0 0,0   r1   0,0   0,2   0,4   0,6 0,8   1,0   r1   0,0 0,2 0,4 0,6 0,8   1,0      (c) (d)   Courbes de fraction de vie pour l'acier 300CVM en flexion rotative,   r2   584750-990 cycles   1,2   1 0   , r 2β0 ,8   r 2β2 H 0 0,6   r 2β2 G 0,4   Exp 0,2 r1     0,0   0,0   0,5 1,0    (e) Figure 52 : Courbes de fraction de vie pour l'acier 300CVM soumis à une flexion rotative en régime de contrainte Bas-Haut [10] : r 2 β 0  correspond à la loi de Lemaitre et Chaboche d'origine, r 2 β2 G à la loi de Lemaitre et Chaboche modifiée par la limite d'endurance de Gatts et r 2 β2 H à celle modifiée par la limite d'endurance de Henry  125

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 Pour ces chargements Bas-Haut, les courbes ne montrent pas de différence notoire entre les résultats donnés par la loi originale et les résultats de la seconde proposition. Comme déjà souligné au chapitre 3, une loi d'endommagement par fatigue sert généralement à prévoir la durée de vie totale d’un matériau plutôt que la fraction de vie résiduelle. Nous allons donc utiliser par la suite les erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour choisir parmi les deux modèles de limite d'endurance le plus pertinent, c'est à dire celui qui traduit le mieux le comportement en fatigue du matériau sous des chargements de type Bas-Haut.   2.4.2 – Prévision de durée de vie totale   Les résultats de l'application de la seconde proposition pour les calculs de durée de vie totale des éprouvettes en acier 300CVM soumis aux essais de fatigue en flexion rotative à deux niveaux de contrainte (Bas-Haut) sont présentés dans les tableaux suivants.   ERP de durée  ERP de durée Données expérimentales de vie totale (%)  Données expérimentales de vie totale (%) σ 1 N r1 σ 2 N r2 σ 1 N r1 σ 2 N r2 (MPa) (cycles) (MPa) (cycles)  Réf  N 2 β 0 N 2 β 2H N 2 β 2G (MPa) (cycles) (MPa) (cycles)  Réf  N 2 β 0 N 2 β 2H N 2 β 2G 1 3,83 3,64 4,46  1 -0,32 -0,32 -0,32 1655 3800 2000 1280 2 0,99 -0,46 1,25  827 244000 2000 1280 2 -0,18 -0,18 -0,18 3 -1,35 -3,62 -1,60  3 -0,19 -0,18 -0,18 Valeur absolue maxi 3,83 3,64 4,46  4 0,16 0,05 0,09 Valeur absolue mini 0,99 0,46  1,25 Valeur absolue maxi 0,32 0,32 0,32 Moyenne 2,06 2,57  2,43 Valeur absolue mini 0,16 0,05 0,09 Ecart type 1,55 1,83  1,76 Moyenne 0,21 0,18 0,19 Ecart type 0,07 0,11 0,09    (a) (b)  

ERP de durée  ERP de durée Données expérimentales de vie totale (%)  Données expérimentales de vie totale (%) σ 1 N r1 σ 2 N r2 σ 1 N r1 σ 2 N r2 (MPa) (cycles) (MPa) (cycles)  Réf  N 2 β 0 N 2 β 2H N 2 β 2G (MPa) (cycles) (MPa) (cycles)  Réf  N 2 β 0 N 2 β 2H N 2 β 2G 1 2,40 2,41 2,41  1 0,74 0,84 0,85 1103 44000 2000 1280 2 -0,83 -0,78 -0,76  2 -3,07 -2,97 -2,96 3 0,65 0,54 0,69  3 -0,53 -0,42 -0,35 4 1,99 1,19 1,62  965 94000 2655 3800 4 1,66 1,77 1,83 Valeur absolue maxi 2,40 2,41 2,41  5 2,22 1,97 2,18 Valeur absolue mini 0,65 0,54 0,69  6 2,53 2,29 2,49 Moyenne 1,47 1,23 1,37  7 1,77 0,86 1,28 Ecart type 0,86 0,83 0,81  Valeur absolue maxi 3,07 2,97 2,96 Valeur absolue mini 0,53 0,42 0,35 Moyenne 1,79 1,59 1,71 Ecart type 0,92 0,92 0,93    (c) (d)

 

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