Etude expérimentale et numérique de modèle réduit bidimensionnel du creusement d'un tunnel. Développement

Dolzhenko Nataliya

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Loi de comportement développée Chapitre VII Loi de comportement développée : loi MMC 201 Loi de comportement développée Table des matières I. INTRODUCTION ................................................................................................................................... 203 II. FONDEMENTS DE LA LOI MMC ...................................................................................................... 203 III. DESCRIPTION DES COMPOSANTES DU MODÈLE DÉVELOPPÉ ............................................ 203 III.1. COMPORTEMENT ÉLASTIQUE INCRÉMENTAL..................................................................................... 204 III.2. CRITÈRE DE RUPTURE ....................................................................................................................... 205 III.3. RÈGLE D’ÉCOULEMENT..................................................................................................................... 205 III.4. DÉFINITION DE LA SURFACE DE CHARGE........................................................................................... 206 III.5. LA SURFACE DE CHARGE DE LA LOI MMC ........................................................................................ 207 III.6. CALCUL DE LA DÉFORMATION EN CHARGEMENT PRIMAIRE .............................................................. 211 III.7. CALCUL DU MULTIPLICATEUR ...

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Loi de comportement développée

         

 

                                       

Chapitre VII

                              Loi de comportement développée : loi MMC

201

Loi de comportement développée

Table des matières

                I. INTRODUCTION ................................................................................................................................... 203 II. FONDEMENTS DE LA LOI MMC ...................................................................................................... 203 III. DESCRIPTION DES COMPOSANTES DU MODÈLE DÉVELOPPÉ ............................................ 203 III.1. C OMPORTEMENT ÉLASTIQUE INCRÉMENTAL ..................................................................................... 204 III.2. C RITÈRE DE RUPTURE ....................................................................................................................... 205 III.3. R ÈGLE D ’ ÉCOULEMENT ..................................................................................................................... 205 III.4. D ÉFINITION DE LA SURFACE DE CHARGE ........................................................................................... 206 III.5. L A SURFACE DE CHARGE DE LA LOI  207MMC ........................................................................................ III.6. C ALCUL DE LA DÉFORMATION EN CHARGEMENT PRIMAIRE .............................................................. 211 III.7. C ALCUL DU MULTIPLICATEUR PLASTIQUE ........................................................................................ 211 III.8. D ÉTERMINATION DE L ’ ÉTAT DE DÉCHARGEMENT - RECHARGEMENT ................................................. 213 III.8.1. en déchargement ............................................................................................................ 214 Module III.8.2. en rechargement............................................................................................................. 215 Module IV. IDENTIFICATION DES PARAMÈTRES DE LA LOI MMC........................................................... 216 IV.1. D ÉTERMINATION DES PARAMÈTRES D ’ ÉLASTICITÉ ............................................................................ 216 IV.1.1. K Paramètre c  216 .......................................................................................................................et n. IV.1.2. Paramètre K d ............................................................................................................................... 218 IV.1.3. Paramètreν................................................................................................................................. 219 IV.2. D ÉTERMINATION DES PARAMÈTRES DE PLASTICITÉ .......................................................................... 220 IV.2.1. Paramètreϕ. ............................................................................................................................... 220 IV.2.2. Paramètresψ 1 ,ψ r ....................................................................................................................... 221 IV.2.3. Paramètre SLψ............................................................................................................................ 222 IV.2.4. Paramètre C 0 ............................................................................................................................... 222 V. CONCLUSIONS SUR LA LOI MMC................................................................................................... 222                            

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I. Introduction   Afin de représenter le comportement du sol analogique bidimensionnel de Schneebeli utilisé dans notre expérimentation une loi de comportement bidimensionnelle spécifique a été développée. Ce modèle de comportement a été implanté dans un code de calcul en différences finies FLAC. (Cundall [1980]).   Vu la nature et le comportement du matériau utilisé, ainsi que la nature des sollicitations dans le creusement des tunnels la loi développée doit être strictement bidimensionnelle. Le comportement en cisaillement écrouissable et fortement dilatant doit correctement simuler les cycles de déchargement et de rechargement. A la rupture il n’y a pas de comportement radoucissant. La loi développée sera appelée loi MMC.   Les essais mécaniques (biaxial et oedométrique) réalisés avec des cycles de chargement et de déchargement sur les éprouvettes de matériaux analogiques nous ont permis de déterminer de manière expérimentale les relations caractérisant la rhéologie de ce matériau.   II. Fondements de la loi MMC   Le modèle que nous développons provient de deux origines différentes : l’élastoplasticité basée sur un seul mécanisme écrouissable avec un critère de rupture défini de type Mohr- Coulomb pour le chargement primaire et l’élasticité incrémentale pour le déchargement- rechargement. Le modèle de comportement développé est caractérisé par:   Chargement primaire :   •Pas de comportement élastique réversible •La dilatance doit pouvoir être prise en compte dès le début de la sollicitation •Un écrouissage isotrope •Une surface de charge ouverte avec un mécanisme plastique déviatorique •Une règle d’écoulement non-associée   Déchargement-réchargement   •charge le comportement est élastique non linéaireA l’intérieur de la surface de incrémental de type hypoélastique •Le comportement est distingué entre le déchargement et le rechargement, l’effet de rochet observé dans l’expérience est décrit.   La rupture   •Le critère de rupture de type Mohr-Coulomb   III. Description des composantes du modèle développé   En chargement primaire nous avons décomposé la déformation totale en la somme d’une déformation élastique et d’une déformation plastique (Figure 1):

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dε ij =dε e ij +dε ij p  

  Figure 1 : Illustration schématique des déformations élastiques et plastiques pour un essai triaxial   Ces déformations sont calculées séparément. La déformation élastique est obtenue en utilisant la loi de Hooke. La déformation plastique, par contre, nécessite l’existence d’une surface de charge, d’une règle d’écoulement et d’une loi d’écrouissage durcissant. La formulation que nous proposons correspond à la logique de différences finies, où d’élément finis, dont la variable de base est le déplacement. Les déformations plastiques sont obtenues par dérivation et les contraintes sont calculées en utilisant la loi rhéologique. Afin de présenter les séquences logiques de développement nous décrivons les composantes dans l’ordre suivant : Comportement élastique, critère de rupture, règle d’écoulement, surface de charge, comportement en déchargement-rechargement.   III.1.Comportement élastique incrémental   L’élasticité est fondée sur l’élasticité de Hooke, avec un module de Young dépendant de la contrainte principale mineureσ 2 . Les nouvelles contraintes élastiques sont calculées à partir des déformations dans les axes globaux OX et OY :   σ xx = α 1 ε xx + α 2 ε yy σ yy = α 1 ε yy + α 2 ε xx   τ xy =2Gε xy Avec :   α 1 = E 0 le module oedométrique   α 2 = K 0 E 0 , avec K 0 le coefficient des terres au repos   Dans des conditions bidimensionnelles, on obtient les valeurs suivantes en élasticité isotrope : =   E 0 1 E 2      K 0 =   −ν La valeur deνest constante ( 0<ν<1,ν=1 correspond à un matériau incompressible).

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Le module tangent initial E est variable. Il est calculé à partir de la formule proposée par Janbu [1963] : ⎛ σ ⎞ n K 2 E i = ⎜ ⎝ P atm ⎟ ⎠   avec :  K coefficient adimensionnel  P atm la pression atmosphérique de référence   Les 4 paramètres définissent l’élasticité isotrope : K c , K d ,ν, n. Le paramètre K d sera défini plus loin.   III.2.Critère de rupture   Dans la loi MMC le critère de rupture est celui de Mohr-Coulomb, il est parfaitement adapté à notre modèle 2D car il ne dépend que de deux contraintes principales. Il est exprimé sous la forme suivante:   F(σ ij )= σ 1 (1−sinϕ)− σ 2 (1+sinϕ)≤0     Avec :   σ 1 etσ 2 respectivement les contraintes principales (σ 1 >σ 2 >0).   ϕl’angle de frottement du matériau (paramètre) Dans le plan des axes principaux, la surface de rupture est présentée par deux droites qui sont asymétriques par rapport à l’axe hydrostatique. Le critère de rupture passe par l’origine des axes principaux ce qui représente l’absence de cohésion dans notre matériau (Figure 2). 100 90 Critère de ru 80 ermoc ra noiss pture  70 σ 1 /σ 2 = tg 2 (π/4+ϕ/2) 60 50 40 30 20 σ 1 /σ 2 = tg 2 (π/4-ϕ/2)   10 Critère de rupture ar extension 0 0 10 20 30 40 50 σ 2 (kPa)   Figure 2 : Critère de rupture dans l’espace des axes principauxσ 1 etσ 2 .

  III.3.Règle d’écoulement   En utilisant la règle d’écoulement plastique, l’incrément du tenseur des déformations plastiques (dε ip ) est colinéaire aux dérivées partielles du potentiel plastique, il va donc être déterminé de la manière suivante :

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= dε i p dλ p ∂ σ G i i=1,2   ∂ où  G est le potentiel plastique  dλ p la longueur de la déformation plastiqueest un scalaire représentant à Le potentiel plastique G pour un matériau granulaire est en générale différent de la surface de charge et les règles d’écoulement non-associées sont appliquées (Figure 3). Le potentiel plastique utilisé s’écrit sous la forme suivante: G(σ ij )= σ 1 (1−sinψ)− σ 2 (1+sinψ)+C te   oùψl’angle de dilatance variable (0<ψ<ϕ) d’où les incréments de déformations plastiques: dε p 1 =dλ s (1−sinψ)   dε p 2 =dλ s (1+sinψ)   dε 1 p et dε 2 p étant les incréments de déformation plastique principale. ψ=ψ r =C te à la rupture

  Figure 3 : Direction de l’incrément de déformation plastique   Les 2 paramètres de la loi définissant la rupture sont :ϕ,ψ r .   III.4.Définition de la surface de charge   La construction de la surface de charge se fait généralement à partir de résultats expérimentaux en considérant certaines hypothèses simplificatrices. La plupart des modèles élastoplastiques développés pour les géomatériaux sont généralement basés sur deux notions théoriques : le travail plastique et la surface de charge. Tous les modèles de la famille Cam Clay sont basés sur la première notion. Le modèle MMC se base sur la deuxième notion. L’expression mathématique de la surface de charge peut être obtenue à partir de la surface de rupture. Au cours de la sollicitation, la surface de charge évolue de façon isotrope vers la surface de rupture jusqu’à ce que les deux surfaces soient confondues. Pour déterminer la surface de charge nous avons utilisé la forme de la surface de rupture définie par le critère de Mohr-Coulomb. L’idée est basée sur le fait qu’en utilisant la surface

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de rupture, par exemple F r (σ ij )=r, où r est une constante. Une fonction de charge F c , peut être déterminée par :   F c (σ i ,α)=F r (σ i )−H(α)=0   Oùαreprésente la variable d’écrouissage et H une fonction qui vaut à la rupture H(α)=r. On augmente la taille de la surface de charge vers la surface de rupture selon une loi d’écrouissage isotrope.   III.5.La surface de charge de la loi MMC   Afin de déterminer notre surface de charge, nous avons adopté la démarche suivante : La variable SL (Niveau de contrainte) est le rapport du rayon du cercle de Mohr actuel et du rayon du cercle de Mohr à la rupture calculé avec la même contrainte principale mineureσ 2 . (Figure 4). 30 Cercle de Mohr actuel 25 Cercle de Mohr à la rupture 20 Critère MC SL=R act /R rup   φ 15 10 5 R rup=( σ 1 −σ 2)/ 2 R act 0 0 10 σ  30 40 50 60 2 = 20 σ (kPa)   Figure 4 : Représentation de la variable SL dans le planτ-σ     SL (σ 1 − σ 2 ) (1−sin ) 0≤SL≤1 =     2σ 2 sinϕ   Avec SL niveau de contrainte actuel. SL max grande valeur de SL obtenue au cours du chargement.est la plus A chaque incrément de calcul n la valeur de SL max de l’étape précédente est réajustée en fonction de la nouvelle valeur deσ 2 : − σ SL max n SL n1 amx ⎜⎛ 2 n n −1 ⎞ ⎟ m   = ⎜ ⎝ σ 2 ⎟ ⎠   m est une constante dépendant de la nature de matériau (dans la loi m=0.25 pour les petits rouleaux) La variableSL, définie précédemment, avec 0<SL<1, ne permet pas de faire la distinction entre l’extension et la compression et une forte valeur deSL obtenue en extension empêcherait le retour au chargement primaire en compression.  

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Critère de rupture pa compression

1 / 2 =tg 2 (π/4+ϕ/2)

1 / 2 =tg 2 (π/4-ϕ/2) Critère de rupture pa extension     Figure 5 : Chemin de contrainte et la courbe contrainte-déformation pour un essai triaxial   Afin de distinguer le comportement en compression du comportement en extension (Figure 5) nous avons donc créé la variableSL V :     ( i j 1( ) −sinϕ) SL= v 2σ ϕ   min(σ i , j ) sin   oùσ i etσ j sont les contraintes principales non classées   SL v est comprise entre –1 et +1 : •SL V = -1 correspond à la rupture par extension avec une forte baisse du premier invariant de contrainte I 1 =σ 1 +σ 2 . •SL V correspond à la rupture par compression avec augmentation de la variable I= +1 1     Le calcul du signe deSL V sera basé sur l’inversion brutale de l’inclinaison des axes principaux et contrôler par l’évolution de premier invariant. La Figure 6 montre la variation de la variable SL dans un essai triaxial. La variable SL ne distingue pas le comportement en extension.   Déchargement Rechargement   1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 Pas de calcul (*1E+03) -1   Figure 6 : Variation de SL correspondant à l’essai biaxial

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Loi de comportement développée La variation de la variable SL v un essai biaxial est présentée sur la Figure 7.dans 1 0,8 0,6 0,4 Déchargement Rechargement 0,2 0 0 2  0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 , - 0,4 - -0,6 -0,8 Pas de calcul (*1E+03) -1   Figure 7 : Variation de SL v correspondant à l’essai biaxial 50

 

40 30

Rechargement

20 10 Déchargement Pas de calcul (*1E+03) 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100   Figure 8 : Variation de I 1 correspondant à l’essai biaxial   Le sens de variation de SL V sera contrôlé par la variation de I 1 (Figure 8). Si I 1 diminue,SL V   peut devenir négatif et diminue même siSL (car augmente|SL v |=SL). De même si I 1   augmente,SL V augmente. La surface de charge s’écrit sous la forme :   n− 1 m F=SL v m n− xa 1 σ ⎜ ⎛ σ ⎜ ⎝ n 2 ⎟ ⎞ ⎟ ⎠   2 Avec F=±1 a la rupture   L’évolution de la surface de charge tenant compte de la compression et de l’extension présentée sur les Figure 9 et Figure 10. Dans les deux représentations les surfaces de charge sont des courbes et ne sont pas des droites.

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80 Critère MC en compression 60 Chemin de contrainte pour SL v =1 40 σ 2 = 30 kPA SL v =0,5 20 SL v =0 0 0 20 40 60 80 100 -20 SL v =-0,5 -40 SL v =-1 -60 Critère MC en extension -80 p=( σ i + σ j )/2   Figure 9 : L’évolution de la surface de charge en plan p-q avecσ 2 =C te 100 Critère de rupture  SL v =1  exA par compression  SL v =0,5 hydrostatique 80

60

SL v =-0,5

SL v =-1

40 20 Critère  de rupture par extension 0 0 20 40 60 80 100 σ j (kPa)   Figure 10 : L’évolution de la surface de charge en planσ i -σ j .   L’évolution de la surface de charge utilisée dans notre loi de comportement est en accord avec les résultats expérimentaux effectués par Tatsuoka et Ishihara [1974] pour les essais triaxiaux avec trois densités différentes. En analysant les résultats présentés sur la Figure 11 on constate que la surface de charge est convexe et contient l’origine. Dans le cas du sable lâche la surface de charge à tendance à se fermer sur l’axe hydrostatique, par contre ce phénomène est moins significatif pour le sable dense.

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  Figure 11 : Observation de la surface de charge pour le sable lâche (a), sable moyennement dense (b) et très dense (c). (D’après Tatsuoka et Ishihara [1974])   III.6.Calcul de la déformation en chargement primaire   Si la condition d’irréversibilité est satisfaite: σ ij dε p ji ≥0  matériau est en chargement le primaire. La direction de déformation plastique est normale au potentiel plastique et la variation de déformation plastique est donnée par:   C=C 0 +SL 1−C 0 )     où  C est un paramètre d’écrouissage.  C 0 est le paramètre de la loi (0<C 0 <1). Il exprime du pourcentage de déformations plastiques dès le départ de la sollicitation, il est fixé pour l’état SL=0   La proportion de la déformation plastique C évolue avec SL. A la rupture C=1 quand SL=1. ce qui permet de trouver la longueur de la déformation plastique et de calculer dε p : dε ji p =dλ p (C) m G   ∂σ ij Où : m est fixé en fonction de la nature de sol. Ce qui définit complètement l’état de déformation à partir de l’état de contrainte.   L’angle de dilatance diminue au cours du chargement deψ 1 au début du chargement àψ r à la rupture. Le passage entre les deux angles est contrôlé par la valeur de SL ψ  de la (paramètre loi) compris entre 0 et 1, donnant la valeur de SL à partir de laquelle l’angle de dilatance passera progressivement deψ 1 deψ r . Les trois paramètres du modèle MMC définissant la plasticité avant rupture : C 0 , SL ψ ,ψ 1 .   III.7.Calcul du multiplicateur plastique   Le multiplicateur plastique s’obtient à partir de la condition de consistance: Fσ +dσ,α +dα ) =0  

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