StatL3S6 Statistique appliquée à la psychologie L3

Christian Lavergne

Description

StatL3S6Statistique appliquée à la psychologie L3Christian LavergneUniversité Paul Valéry - Montpellier 3Année universitaire 2008-2009(UPV) StatL3S6 2008/2009 1 / 46StatL3S6 Chapitre 1Lois limites de la Statistique et Estimation :1 Loi des grands nombres et estimation ponctuelle2 Théorème central limite et par intervalle(UPV) StatL3S6 2008/2009 2 / 46Loi des grands nombres et estimation ponctuelleSoient X ;X ;:::;X n variables aléatoires indépendantes associées aux1 2 nrépétitions d’une même expérience aléatoire X telle que E (X ) =) alors :La moyenne des observations est aussi proche que possiblede la vraie valeur à condition que n soit grandnX1 n grandX = X ! ini=1(UPV) StatL3S6 2008/2009 3 / 46nX1Propriété de la moyenne X = Xini=1de n répétitions indépendantes X ;X ;:::;X d’une même expérience1 2 n2aléatoire X telle que E (X ) = et V (X ) = : son espérance mathématiqueE(X) = sa variance2V(X) =n son écart-typep(X) =nLa dispersion de la moyenne se réduit quand n grandit : c’est la loi desgrands nombres(UPV) StatL3S6 2008/2009 4 / 46Estimation ponctuellenX11La moyenne X = X est donc un bon prétendant pour approcher leini=1paramètre inconnu . La variable aléatoire X sera appelée l’Estimateur du paramètre . Au vu d’observations, la valeur prise par X et notée x sera appelée uneestimation du paramètre . En pratique il y a UN (voir deux ou trois) Estimateur naturel duparamètre inconnu; mais il y a toujours ...

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U(P

StatL3S6 Statistique appliquée à la psychologie

)V

Christian Lavergne

Université Paul Valéry - Montpellier 3

Année universitaire 2008-2009

StatL3S6

L3

0208/20091/46

1 2

StatL3S6 Chapitre 1

Lois limites de la Statistique et Estimation

Loi des grands nombres et estimation ponctuelle Théorème central limite et estimation par intervalle

(UPV)tSta3L6S02802/009

:

2/64

Loi des grands nombres et estimation ponctuelle

SoientX 1 ,X 2 , . . . ,X n nvariables aléatoires indépendantes associées aux répétitions d’une même expérience aléatoireXtelle queE(X) =µ)alors :

La moyenne des observations est aussi proche que possible de la vraie valeurµ à condition quensoit grand

(UPV)

1 n X n grand X= n X µ i → i=1

StatL3S62008/20093/64

X 1 n Propriété de la moyenne= n X X i i=1 denrépétitions indépendantesX 1 ,X 2 , . . . ,X n d’une même expérience aléatoireXtelle queE(X) =µetV(X) =σ 2 : •son espérance mathématique

•sa variance

•son écart-type

E(X) =µ

V(X) = σ n 2

(X) σ = σ √ n La dispersion de la moyenne se réduit quandngrandit : c’est la loi des grands nombres

U(PV)StatL3S602802/0094/64

enu’emêmépxeneiralcetoéae X ir llte n XostnrnpététioinsindépendantesdX 1 1..,.. 2 ,,X 6

Estimation ponctuelle La moyenneX= 1 n X n X i 1 est donc un bon prétendant pour approcher le i=1 paramètre inconnuµ.

•La variable aléatoireXsera appeléel’Estimateurdu paramètreµ. •Au vu d’observations, la valeur prise parXet notéexsera appeléeune estimationdu paramètreµ. •il y a UN (voir deux ou trois) Estimateur naturel duEn pratique paramètre inconnu ; mais il y a toujours une infinité d’estimations possible de ce paramètre.

95/4/20020086S3LtatS)VPU( 2 σ=X)V(et=µX)E(ueeq

Forme générale et propriétés SoientX 1 ,X 2 , . . . ,X n nrépétitions d’une expérience aléatoire etT n une combinaison (ou fonction) de ces répétitions. T n sera un bon prétendant pour approcher un paramètre inconnuθ; donc unEstimateurraisonnable deθsi :

L’espérance mathématique de l’estimateur est aussi proche que possible du paramètre inconnuθ, idéalement on souhaite que

E(T n ) =θ

et on dira queT n est un estimateursans biaisdeθ; mais on peut se contenter deE(T n ) n gr → and θ La variance de l’estimateur diminue avec le nombre de répétitions :

(UPV)

V(T n ) n gr → and 0

tStaL3S62008/20096/64

Exemple :dans la cas denrépétitions indépendantesX 1 ,X 2 , . . . ,X n d’une même expérience aléatoireXtelle queE(X) =µetV(X) =σ 2 .

Siµ la moyenneest inconnu ; X 1 n X i es n X t un estimateursan =s biaisdeµ. i=1 Siµest connu etσ 2 inconnu ; la moyenne des dispersions 1 n ( n X X i −µ) 2 est un estimateursans biaisdeσ 2 . i=1 Siµest inconnu etσ 2  la variance empiriqueinconnu ; 1 n n X (X i −X) 2 est un estimateurbiaisédeσ 2 . i=1 Siµest inconnu etσ 2 inconnu ; n 1 −1 n X (X i −X) 2 est un estimateursans biaisdeσ 2 . i=1 ˆ que l’on noteraσ 2 SB

U(VP)tSta3L6S0280/20097/64

La loi de bernoulli et le sondage •SoitXune expérience aléatoire à 2 états (codés 1/0) :

P(X=1) =p;P(X=0) =1−p

on sait queX∼Ber(p) son espérance mathématiqueE(X) =p sa varianceV(X) =E(X−E(X)) 2 =p(1−p) et son écart-type p p(1−p)

•La même expérience (de Bernouilli) répétéenfois de façon indépendante (X 1 ,X 2 , . . . ,X n ) alors n l’espérance mathématique de X X i estnp. i L’espérance de la somme est la somme des espérances

U(VP)tStaL3S62008/20098/64

La moyenne de loi de Bernoulli : •l’espérance mathématique de la moyenneX= 1 n X X i de cesn n i=1

répétitions est :

•sa variance

•son écart-type

n E(X) =E( n 1 X X i ) =p. i

V= −p) (X) p(1 n σ(X) = r p(1 n −p) La dispersion de la moyenne (ici la proportion de 1) se réduit quandn grandit : c’est la loi des grands nombres

U(PV)StatL3S602802/0099/46

La loi des grands nombres pour la loi de Bernoulli SoientX 1 ,X 2 , . . . ,X n nrépétitions indépendantes d’une même expérience aléatoire de Bernoulli (P(X=1) =p)) alors : La proportion de 1 est aussi proche que possible dep à condition quensoit grand

(UPV)

1 n X n X=X i i=1

StatL3S6

n grand →

p

2008/200910/46

Estimation ponctuelle SoientX 1 ,X 2 , . . . ,X n nrépétitions indépendantes d’une même expérience aléatoire de Bernoulli (P(X=1) =p),pparamètre inconnu) alors : •La variable aléatoireXproportion ou la fréquence de 1) sera donc(ici la un Estimateursans biais du paramètrep. •Après avoir effectué le sondage, la valeur prise parXet notéexsera doncune estimationdu paramètrep. •En pratique on a toujours le même Estimateur du paramètre inconnup; mais chaque sondage pratiqué amène une estimation différente de ce paramètre.

(UPV)tSta3L6S02802/00911/64