[tel-00485020, v1] Contribution à l'étude du processus empirique de copule

Zari, Tarek

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Extrait

THESE DE DOCTORAT DE l’UNIVERSITE PARIS 6
Specialite : Mathematiques
Option : Statistique
presentee par
Tarek ZARI
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE l’UNIVERSITE PARIS 6
Sujet de la these :
Contribution a l’etude du processus empirique de
copule
Soutenue le 03 mai 2010 devant le jury compose de :
Directeur de these Paul DEHEUVELS Universite Paris 6
Rapporteurs Bruno REMILLARD HEC-Montreal
Jean-David FERMANIAN Crest- Ensae
Examinateurs Gerard BIAU Universite Paris 6
Michel BRONIATOWSKI Universite Paris 6
Arthur CHARPENTIER Universite de Rennes 1
tel-00485020, version 1 - 19 May 20102
Remerciements
Au terme de cette etape de mon travail, je voudrais remercier toutes les personnes
qui m’ont permis de le mener a bien.
Je souhaite d’abord exprimer ma profonde gratitude a mon directeur de these, le
Professeur Paul Deheuvels pour son soutien constant tout au long de la preparation
de ce travail. Je veux lui temoigner toute mon estime parce qu’il sait creer une
ambiance propice a la recherche scienti que : ses encouragements aux initiatives
personnelles, ses orientations, ses conseils, son respect profond d’une grande liberte
de pensee et d’action. En n je tiens a le remercier pour m’avoir inculque pendant
ces annees certaines valeurs comme la rigueur intellectuelle, le souci du detail ou le
respect du travail d’autrui. Qu’il trouve ici l’expression de ma reconnaissance.
Je remercie egalement les Professeurs Jean-David Fermanian et Bruno Remillard
d’avoir accepte le r^ole de rapporteurs de cette these malgre un emploi du temps que
je devine charge. Je leur suis tres reconnaissant du temps qu’ils ont consacre a
l’expertise de ce travail.
Je suis honore que les professeurs Gerard Biau, Michel Broniatowski et Arthur
Charpentier, si dynamiques scienti quement, aient accepte de faire partie du jury.
Je leur adresse mes sinceres remerciements pour l’inter^et qu’ils ont accorde a mon
travail.
Je tiens egalement a exprimer un merci tout special envers Salim Bouzebda avec
lequel le partage d’idees a ete orissant, sans oublier l’aide mutuelle que nous nous
sommes accordee au cours de ces dernieres annees donnant naissance a un article
publie et d’autres travaux en cours.
tel-00485020, version 1 - 19 May 20103
Je voudrais remercier tres chaleureusement Louise Lamart, Anne Durrande et
Pascal Epron qui font preuve chaque jour de leur gentillesse et patience. Je voudrais
adresser un salut amical aux membres du laboratoire et d’ailleurs : aux professeurs
Denis Bosq, Michel Delecroix, Emmanuel Guerre, Youri Koutoyants, Daniel Pierre-
Loti-Viaud, Annick Valibouze, Djamel Louani, ainsi qu’ a mes collegues Amor Ke-
ziou,Issam EL Hattab, Philippe Saint-Pierre, Anissa Rabhi, Lahcen Douge, Lynda
Arezki, Amadou Diallo, Othman Bah, Layal Elhaj, Jean-Baptiste Aubin, Samuela
Leoni-Aubin, Berrahou Noureddine, Olivier Bouaziz, Mohamed Cher , Khalid Cho-
kri, Claire Coi ard, David Degras-Valabregue, Ravan De Senigon de Roumefort,
Kaouthar El Fassi, Olivier Faugeras, Aurelie Fischer, Mohammed Khadir, Mama-
dou Kone, Boris Labrador, Fran cois-Xavier Lejeune, Nabil Nessigha, Sarah Ouadah,
Rawane Samb, Mory Souare et tant d’autres avec qui j’ai partage de bons moments.
Une pensee speciale a mon cher ami Saad Rharmili, avec qui j’ai partage les bons
et les mauvais moments et qui est toujours present a l’ecoute.
Je tiens a adresser un salut amical aux personnes que j’ai cotoye de part de mes
activites d’enseignement. Je pense notamment a Dahmane Saint-Hilaire, christine
Atangana, Murielle Nicolas, Nathalie Aknin, Sandra Desroches et tant d’autres...
Mes pensees vont en n a tous mes proches, mes parents, mes freres, ma s ur et a
toute ma famille pour le soutien qu’ils m’ont apporte tout au long de la preparation
de cette these.
tel-00485020, version 1 - 19 May 2010Dedicace :
A ma mere, mon pere,
modeste temoignage de mon in nie amour et tendresse.
tel-00485020, version 1 - 19 May 2010Table des matieres
Introduction Generale 1
1 Les Copules et leurs proprietes 19
1.1 De nitions et proprietes des copules multivariees . . . . . . . . . . . . 19
1.1.1 Fonction de repartition multivariee et copules multivariees . . 20
1.1.2 Theoreme de Sklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.1.3 Proprietes des copules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.1.4 La densite de la copule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2 Les copules usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.1 Copule d’independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.2 Copules gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.3 Copules empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.2.4 Copules archimediennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.2.5 Copules de valeurs extr^emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3 Relation entre les mesures de dependance et les copules . . . . . . . . 44
1.3.1 Les mesures de concordance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.2 Proprietes de dependance des queues . . . . . . . . . . . . . . 52
tel-00485020, version 1 - 19 May 2010ii TABLE DES MATIERES
2 Principe d’invariance du processus empirique de copule 55
2.1 Le processus empirique uniforme et le processus empirique de quan-
tile uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.1 Le processus empirique uniforme multivarie . . . . . . . . . . 59
22.2 Le processus empirique de copule sur un pave de I . . . . . . . . . . . 63
2.3 Le processus empirique de copule multivariee . . . . . . . . . . . . . 73
2.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3.2 Representation presque su^re du processus empirique de copule 76
2.3.3 Resultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.4 Estimation non-parametrique de la densite de copule . . . . . . . . . 84
2.5 Approximation forte des statistiques de rangs . . . . . . . . . . . . . 92
3 Approximation forte du processus empirique de copule par un pro-
cessus de Kiefer 95
3.1 Introduction et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2.1 Un principe d’invariance du processus empirique de copule . . 100
3.2.2 Principe d’invariance pour le processus empirique de la copule
lissee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.3.1 Demonstration du theoreme 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.3.2 D du corollaire 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.3.3 Demonstration du theoreme 3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.3.4 D du corollaire 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
tel-00485020, version 1 - 19 May 2010TABLE DES MATIERES iii
4 Multivariate Two-sample Problem 119
4.1 Introduction and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2 Two sample-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.1 Empirical Copula Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.2 Two-sample empirical process and main statistical tests . . . . 125
4.2.3 Strong approximations of and & . . . . . . . . . . . . 127n;m n;m
4.3 Asymptotic law of statistical test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.4 Concluding remarks and future works . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.5 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Bibliographie 144
tel-00485020, version 1 - 19 May 2010Introduction Generale
Avec la diversi cation des canaux d’information, les bases de donnees deviennent
de plus en plus fournies et complexes. Pour les exploiter au mieux, on a frequemment
recours a des modeles stochastiques. D’un point de vue purement theorique, la plu-
part de ces modeles necessitent des suppositions speci ques sur les dependances entre
les di erentes variables aleatoires. An de modeliser la structure de dependance entre
ces variables, la connaissance exacte des lois de probabilite jointes est indispensable.
Dans cette perspective, plusieurs techniques ont ete proposees dans la litterature
scienti que, et certaines presentent de multiples lourdeurs mathematiques rendant
problematique leur application. Nous pouvons, a titre d’exemple, citer l’utilisa-
tion des modeles parametriques tres speci ques de distributions bi-dimensionnelles,
comme celui de la loi de Pareto bivariee. Dans ce cas precis, le modele de Pareto
bivarie impose que les lois marginales soient des lois de Pareto (ou Zipf-Pareto)
exactes, ce qui est rarement, ou quasiment pas veri e dans la pratique, d’autant
plus que le parametre d’association se retrouve souvent dans les lois marginales.
L’ideal dans la construction de telles lois jointes serait de pouvoir developper ,par
des techniques simples, des distributions multivariees possedant des lois marginales
arbitraires, et de trouver une mesure capable de resumer la structure de dependance
entre les di erentes variables aleatoires, sans tenir compte de l’e et du comporte-
tel-00485020, version 1 - 19 May 20102 Introduction Generale
ment des marginales. C’est exactement al ou les copules fournissent une approche
salutaire.
L’introduction des copules, en vue d’applications s