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Description de la theseRa k ImekrazMots clefs : Forme normale de Birkho , equation NLS, EDP hamiltonienne, StabiliteOn etudie d’un point de vue dynamique les EDP non lineaires de Schr odinger du typedi@ (t;x) = ( +V (x)) (t;x) +@ g( ; ); (t;x)2RRt 22ou g :C !C est une fonction holomorphe telle que g(z;z)2R et qui admet (0; 0) comme zero d’ordre 3,s=2V (x) un polyn^ ome con nant et ou la condition initiale (0;x) est dans un espace de type Sobolev Dom(T )avec T = +V (x). Cette EDP est hamiltonienne et on l’aborde avec des methodes de formes normalesde Birkho .Pour des regularites tres grandes, i.e. s 1, et pour une condition initiale =jj (0;)jj 1, onss’interesse aux proprietes suivantes pour r arbitrairement grand0 r r s=2i) existence et unicite d’une solution dans l’espaceC ([ c(r) ;c(r) ]; Dom(T ))ii) contr^ ole des normesjj (t;)jj 2sPiii) en notant T = et (t) = z (t) , on a la presque conservation des actions :j j j j jj1Xs 2 2 3jjz (t)j j z (0)jjCj jjj1De maniere heuristique, la propriete iii) signi e qu’il y a tres peu d’echange d’energie entre les modespropres. Ce genre de questions a dej a ete aborde pour diverses equations (ondes, Schr odinger, Klein-Gordon)notamment par Bourgain, Grebert ([9]), Bambusi ([2]), Bambusi et Grebert ([4, 3]), Delort et Szeftel ([6, 7]).Dans tous les cas envisages, la comprehension de l’EDP lineaire et de ses modes propres est cruciale (voir lespoints a) ...

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Descriptiondelathe`se Rafik Imekraz

Mots clefs :FmeormrondelariBeffohkuati,´eqS,EDonNLliothPmaenS,innet´libitae One´tudied’unpointdevuedynamiquelesEDPnonlin´eairesdeSchro¨dingerdutype d i∂ t ψ(t, x) = (−Δ +V(x))ψ(t, x) +∂ 2 g(ψ, ψ),(t, x)∈R×R 2 o`ug:C→Cest une fonction holomorphe telle queg(z, z)∈Ret qui admet (0,0moc)mez´erod’ordre≥3, s/2 V(xnoitidnoelaitinintnanficoaculo`etu)pnlonyoˆemψ(0, x) est dans un espace de type Sobolev Dom(T) avecT=−Δ +V(xet.CEDte)edsedohte´msedcbordeaveeetonl’atlnoeinnePtsahimformes normales de Birkhoff. Pourdesre´gularit´estr`esgrandes,i.e.s1, et pour une condition initiale=||ψ(0,∙)|| s 1, on s’int´eresseauxpropri´ete´ssuivantespourrarbitrairement grand 0−r−r s/2 i)existenceetunicite´d’unesolutiondansl’espaceC([−c(r)c ,(r)],Dom(T)) ii)controˆledesnormes||ψ(t,∙)|| s ≤2 P iii) ennotantT φ j =λ j φ j etψ(t) =z j (t)φ j , on a la presque conservation des actions : j≥1 X s32 2 ||)|| −z(0)| |≤C λ j z j (t j j≥1 Demani`ereheuristique,laproprie´te´iii)signifiequ’ilyatre`speud’´echanged’´energieentrelesmodes propres.Cegenredequestionsad´eja`´et´eabord´epourdiversese´quations(ondes,Schr¨odinger,Klein-Gordon) notammentparBourgain,Gr´ebert([9]),Bambusi([2]),BambusietGr´ebert([4,3]),DelortetSzeftel([6,7]). Danstouslescasenvisage´s,lacompr´ehensiondel’EDPline´aireetdesesmodespropresestcruciale(voirles pointsa)etb)ci-apre`s).L’undescaslesplusge´n´erauxde´j`atraite´savecdesformesnormalesdeBirkhoffa` toutordreestl’´equationdeKlein-Gordonsurunevari´et´edeZoll([1]),c’est-a`-direunevarie´te´riemannienne compacte`aflotg´eod´esiquep´eriodique,lespectredulaplacienve´rifiealorsdetre`sbonnesproprie´t´esde localisation ([5]). d Danslath`ese,nouse´tudionsdescasnoncompactsa`savoirmodestementR([8, 11]).Le potentiel d confinantViellnolapade´temocnicapRen assurant que le spectre de−Δ +Vest discret. Undespointscle´sestdebiencomprendrelanaturespectraleduproble`me,c’est-a`-dire: a)lecomportementasymptotiquepre´cisduspectre b) lecomportement asymptotique des normes de Lebesgue des modes propres Lacompr´ehensiondupointa)permetd’´eviterlesesncanose´reles-dircom-ri,e´nae-ta`’cseladeliiertpa binaisonsentie`resnullesdesvaleurspropresde−Δ +Vte`aremplacer.uQti−Δ +Vpar−Δ +V+M,o`u Mtsnupoe´aretruoceeuqipal,itranileacmpiatdnagoypltevintnree´osdrrerene´eaipasifera.Cesncnateet proprie´te´d’approximationendimensioninfinieestsimilaire`aladensite´desnombresdiophantiensdansR. L’approchedel’EDPdeSchro¨dingerconsiste`alatransf´erersurl’espaceSesdroocnnodsee´(z j ) j∈Z (en ? convenantz j =z −j agn`ioattsendiraitcelpmyfaledeuqormee)unene´uq 0 z(t) =iX H 0 +P (z(t)) o`uH 0 etPpseritcegisetnenmihaonltmevel’nttealeptreilnbier(d´ependurbationedtna´dg). Onutilise les pointsa)etb)pourcre´eruneclasseabstraitedeperturbation(dontfaitpartiePte’l,)mo´eydonunrent

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the´ore`medeformesnormalesdeBirkhoff.End’autrestermes,ontransformeparchangementsymplectique e le hamiltonienH 0 +Pen un hamiltonienH 0 +Pplus simple. P 2 2 Dans[8],onr´epondauquestionsi),ii)etiii)lorsqueV(x) =||x||=xC.e’leresdca-`stdia-etalruo’lelics i harmoniquemulti-dimensionnel.L’´etudespectralefaitintervenirlabasehilbertienned’Hermite,abondam- mente´tudie´e(voirparexempleleclassique[12]). Dans[11],onsepermetdeprendredespolynˆomesquelconquesVedede´rgriapsiamonl’toesigbl´e d’abaisserladimensiona`donsup´erndimensieiru.ecnassiantcepsudelembsereeeilfficdi=1aconcarl Exempled’obstacle:onconnaˆıtl’e´quivalentdeλ j sceenerff´dieseduledformarlapderisiuq,lamWeye λ j −λ k dimension? Endetementled´evelo1[]0d)noenocpm`leleHreffeobtRt(er,1=´rnulusedtattnemepp asymptotique deλ j ff´eresdisencecenoemdtellrrtoˆ,eripquceλ j −λ k .

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