2 représentation des nombres sur ordinateur

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Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Partie I : FondementsMth2201A  H09 2urnateprRese´eatntndioonseerbmrussidro Eormaninf,elituqe´dnutiatrmfoinlestneiobit, qui prend la valeur 0 ou 1. eLbstiroup´esessontreg1,8e23,6omndsts.it4,,6.b.. 8 bits = 1 octet (byte), 1 kilooctet = 1 ko (kb) = 1024 octets, 1 me´gaoctet=1Mo(MB)=1024Mo,1gigaoctet=1Go(GB)= 1024 Mo, etc.
Repr´esentationdunnombreenbaseb n1n2 0 x=an1×b+an2×b+∙ ∙ ∙+a0×b 12k +a1×b+a2×b+∙ ∙ ∙+ak×b . Cas particuliers importants : b= 10 (base 10), la base habituelle. blaurpoees´litieusabal,)2esab(2=reinaioibntntae´eserrp utilis´eeeninformatique.
Surunordinateur,lenombredebitsutilise´spourrepre´senterunnombre ´etantni,certainsnombresnepeuventpaseˆtrerepr´esent´esexactement. Ceci introduit desese´rperedsruerrenioatnt.
De´nition.Supposons que l’on veuille employernchiffres pour repr´esenterunefraction. e Troncature :nortnomoneleuqaparbre`u(tirdn+ 1)chiffre. e Arrondi :on ajoute 5 au (n)1+ihcupernositronque`apartir e du (nchiffre.+ 1)
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Partie I : FondementsMth2201A  H09 2.1Repr´esentationdesentierssign´es
Repr´esentationencompl´ementa`2 Si on dispose denseneetlrseneitrebits,onpeutrepr´elsdntivaerell n1n1n [12,21] (21 nombres au total) en posant n1n2 0 N=an1×2 +an2×2 +∙ ∙ ∙+a0×2. On a donc : SiNntationerepr´esea0olsrasniose´eatntaledrpers0tsiviu deNsurn1 bits. SiN <nsentpr´esarelorsa0ioatntse´eprrelaedivius1tsenoita n1 deNsur+ 2n1 bits.
Repre´sentationparexc`es Si on dispose denprreutpeerntse´eeitneselniledsralletervibstno n n [d,d+ 21] (2nombres au total) comme suit : un entierN estrepre´sente´par(N+d) . 2 odetnese´rper0ernttetipeuspllencostiei,rbrebinaiLenomd. n1n1 Souvent, on prendd= 2oud= 21.
BinaireDe´cim.BinaireD´ecim.BinaireDe´cim.BinaireDe´cim. 0000 80100 41000 01100 4 0001 70101 31001 11101 5 0010 60110 21010 21110 6 0011 50111 11011 31111 7 3 Table1 –xcrepaontitaenes´rper:elpmexEtiasevce`ssrub3d= 2. 8
Partie I : FondementsMth2201A  H09 2.2Repr´esentationdesnombresr´eels
De´nition.enesuntembnor´rernO´rpeleexsous la forme l x=±m×b ou`±est le signe,mest lamantisse,best labaseetlest l’exposant. La mantisse estmronalis´eesi son premier chiffre est toujours di´erentde0. Cetterepr´esentationestappel´eeiopnotnnattt´esereprionentat.
2.3Erreursderepr´esentation Puisquelenombredebitsutilise´spourrepr´esenterunnombrere´elest fini : il existe un plus petit nombrexminet un plus grand nombrexmaxqui sontrepre´sentables. dans l’intervalle [xmin, xmaxsseltronidn´eer´rpeenuonbmer,]eslu sentables.Lesautresnombressontrepre´sente´senutilisantlatroncture ou l’arrondi.
De´nition.Lar´pisecnmiohiacenǫmest la plus grande erreur relativecommiseenrepre´sentantunnombrere´elsurordinateuren utilisant la troncature.
1n Th´eore`me2.1.On aǫmb,o`ubteitil´seetlabaseuesnle nombre de chiffres de la mantisse.
En particulier, sib= 2 et on dispose denbits pour la mantisse, alors 1n ǫm2 . 9
Partie I : Fondements
2.4NormeIEEE
Mth2201A  H09
Simplepre´cision. Unnombrere´elestrepr´esente´sur32bitscommesuit: d(d d ...d)127 1 23 92 (d1d2. . . d32) = (1) 22 (1.d10d11. . . d32)2. 7 naettserlepxso´eparexcpr´esentdse`2e1 = 127. lsteermnoanamssti´eedalistequesorerimlepeierrehctes toujours1.Ainsi,23bitssusentpourunepr´ecisionde24bits.
Doublepr´ecision. Unnombrere´elestrepre´sente´sur64bitscommesuit: d(d d ...d)1023 1 23 122 (d1d2. . . d64) = (1) 22 (1.d13. . . d64)2. 10 teanrestelosxp`esde2e´apercxrpe´estn1 = 1023. e´silamretrosedetianamlnosteessterseeprequelchimier toujours1.Ainsi,52bitssusentpourunepr´ecisionde53bits.
Pr´ecisionmachine: 236 n:Esnmilppe´rcesioiǫm20.119×10 . 5215 ci´eonsi:nEbuodrpelǫm20.222×10 .
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Partie I : Fondements
Mth2201A  H09
Delutilisationdupointde´cimaloulavirgulede´cimale Pointd´ecimal:parexemple1/2=0.5. notation anglaise standard en informatique itev´´esdmaciuxnulesietedonbmerelaconfusiondans
Virgulede´cimal:parexemple1/2=0,5. fnartaoisie¸nacnot notation du livre
Conclusion : en classe et dans les notes de cours, j’utiliserai toujours le point d´ecimal osvueltsicamdte´dantouent(sbal,sriovedselsinpoles,enamexet jours?)utilise´
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