Cours.IFS

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testtheleMahmoudt1estCouplagedeuidesèreLagrangien.:tInv1.2uides/Structuresordonnés1trainFdeormsolidesulationecteurgénéraleutilisandusonproblèmeformation1.1unRappparticulesellemassedeslaéquationtdelalesdesdesduuideslagé-lenéraleparticulesLesdé-équationslerégissanlatenlesouvmouvmilieuemenéquationstetitedusolideuideestsonvitessetuide,l'équationdensitédeuide,duvpression,ationdedeplatmassemouvetéquationslestes,équationsdetenseurNasolide,vier-Stokmassees,densitéà,sarepvdansoirdudesformeplacemenladeprendvilSoitdescriptionettélastiques(3)viscoécritese,enisotropttsolidesonlematériauxrégissan(1)Leslesdé-oùpsubissanlemilieuDanstsolide.leduecteurnaturedesdedeendrégissandéplatesdetrainduÉquationdesuide.tenseurviscositéleest(4)lat(2)enoins'écrivd'unsolidessondelest(5)emen∂ρ+∇(ρ~v) = 0∂t∂~v fρ +ρ~v∇~v =∇σ∂t∂p ∂v ∂v 2f i jσ =−δ +( + )− (∇~v)δij ijij ∂x ∂x ∂x 3j j i~v = (v ,v ,v ) = (v ,v ,v ) ρ1 2 2 x y z(x ,x ,x ) = (x,y,z)1 2 2p ~u = (u ,u ,u ) = (u ,u ,u )1 2 3 x y z(o,x ,x ,x ) = (o,x,y,z)1 2 3s̺ σ2∂ ~u s̺ =∇σ∂tsσ∂u ∂u ∂v ∂v∂p i j i jsσ =−δ +G( + )+ ( + )ij sij ∂x ∂x ∂x ∂x ∂xj j i j idesdeenheMahmoudterface2vesttleemoutuellesduledoitdelas'appuiet,1.3ledoitdansettforcesdéplacenense1 ...
Publié le : vendredi 23 septembre 2011
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t
est
t
he
le
Mahmoud
t
1
est
Couplage
de
uides
ère

Lagrangien.
:
t
In
v

1.2
uides/Structures
ordonnés
1
train
F
de
orm
solides
ulation
ecteur
générale
utilisan
du
son
problème
formation
1.1
un
Rapp
particules
elle
masse
des
la
équation
t
de

la
les

des
des
du
uides
la
gé-
le
nérale
particules
Les
dé-
équations
le
régissan
la
t
en
le
souv
mouv
milieu
emen
équations
t
etite
du
solide
uide
est
son
vitesse
t
uide,
l'équation
densité
de
uide,

du
v
pression,
ation
de
de
p
la
t
masse
mouv
et
équations
les
tes,
équations

de
tenseur
Na
solide,
vier-Stok
masse
es,
densité
à
,
sa
rep
v
dans
oir
du

des
forme
placemen
la
de
prend
v
il
Soit

description
et
t
élastiques
(3)
visco
écrites
e,
en
isotrop
t
t
solide
son
le
matériaux
régissan
(1)
Les
les
dé-

p

subissan
le
milieu
Dans
t
solide.
le
du
ecteur
nature
des
de
de
end
régissan
dép
la
tes
de
train
du

Équation
des
uide.
tenseur
viscosité
le
est
(4)
la
t

(2)

en
oin
s'écriv
d'un
solides
son
de
les
t
(5)
emen
∂ρ
+∇(ρ~v) = 0
∂t
∂~v fρ +ρ~v∇~v =∇σ
∂t
∂p ∂v ∂v 2f i jσ =−δ +( + )− (∇~v)δij ijij ∂x ∂x ∂x 3j j i
~v = (v ,v ,v ) = (v ,v ,v ) ρ1 2 2 x y z
(x ,x ,x ) = (x,y,z)1 2 2
p
~u = (u ,u ,u ) = (u ,u ,u )1 2 3 x y z
(o,x ,x ,x ) = (o,x,y,z)1 2 3
s̺ σ
2∂ ~u s̺ =∇σ
∂t

∂u ∂u ∂v ∂v∂p i j i jsσ =−δ +G( + )+ ( + )ij sij ∂x ∂x ∂x ∂x ∂xj j i j ides
de
en
he

Mahmoud
terface
2
v


est
t
le
e
mo
utuelles
dule
doit
de
la

s'appuie
t,
1.3
le
doit
dans
et
t
forces
déplacen
en
se
1.4
qui
et
tières
olution
fron
au
est
plus
la
nis.

t
osan

te
est
de
sur
vitesse

des
l'in
particule
des
solide,

des

sur
milieu
est
réaction).
la
des
viscosité
La
du
sur
solide.
l'égalité
Dans
d'action
le
t

temp

a
le
à
milieu
p
solide
de
est
eet,

élémen
limites
la
aux
souv

est
des
à
ts
et
traitemen

des
aux
et
surface
temps
uide/solide
du
limites
pas
satisfaites
haque
uide/solide

des
à
du

solide
du
sur
demain
umérique
au
l'égalité
maillage
par
du
l'autre

et
l'adaptation

de

t
sur
vien
n
diculté
n
La
implique
littérature.
milieux
la
forces
dans
l'o
publiés

t
de
son
ernan

l'év
résultats
de
des
érature
eu
être
P
joutée
he.
système,
herc
sa

oir
de
adapté
sujet
la
un
métho


t
En
son
ts

des
domaine
métho
une
sur
ec
en
v
(7)
a


la


l'in
pression
à
te
adaptés
équations
umériques
la
n
thermique
des
Conditions
métho
limites
les
la
t
de
endan

Cep
Les
temps.
aux
du
qui
t
être
endan
à
(6)
terface
dép
son

l'égalité
et
vitesses
forme
particules
de
uide
son
du
t
en
les


les

terface
t
(condition
de
et
Lamé,
des
domaines
appliquées
des
un
est
sur
la
(princip
viscosité
d'action
de
de
solide
Les
et

traiter
l'o
est
l'égalité
le
vitesses

l'in

implique
ts
résolution
de
umériques
dilatation
Résolution
et
(9)
our
l'autre
est
l'un
la
des
temp
m
érature.
des
Bien

sûr
(8)
dans
le

e

et
une
réaction,
équation
temps.
gouv
l'in
∂uiG v =i ∂t
s
∂u ∂u ∂v ∂v 2i j i j ssσ =λ δ ∇~u+ ( + )+ ( + )− (∇~v)δ −βδijTe ij e s ijij ∂x ∂x ∂x ∂x 3j i j i
λ βe e s
T
∂T ∂(∇~u)
̺c +̺T =kΔTp
∂t ∂t
c kp
Γ
∂~u
=~v sur Γ(x,y,z,t)
∂t
f s~ ~F =F sur Γ(x,y,z,t)⇔σ ~n =σ ~n sur Γ(x,y,z,t)fluide solideet
donné.

he
t
Mahmoud
du
3
que



forces

utilisan

à

utile

sou-

des

alables

-

négligeables
t
solide.
devien
t
t

précèden
umériques
tité
fait,
l'iden
équations
irrationnel)
an
t
un

nous
Fig.
des
1
ne


Sc
visqueux
hématisation

des
du
deux
due
milieux,
rapp
solide
t
et
v
uide,
haque
en


en

instabilités
1.5
lemen
Appro
De
ximation
est
au
simplier
niv
et
eau
p
des
les
équations
p
de
tage
la


trouv
des
ersions
uides
de
Résoudre
uides
les
t
équations
dans
de
1.5.1
la
uide

irrotationnel
des
uide
uides
-

au
aux
son
équa-
aux
tions
la
de
forces
la
élastique

-
des
irrationnel.
solides
l'iden
sans
suiv
appro
(11)
ximations
pas
est
temps,
une
qui

souv
he
t
souv
des
en
n
t
dici-
très
t
dicile,
hissable.


il
il

très
de
de
mailler
les
le
dynamiques
domaine
t
du


ossible
à
d'obtenir

informations
haque
haitées
ins-
our
tan
mon
t,


Dans
qui
paragraphe,
exige
allons
un
er
temps
v
du
simpliées

équations
quasi
la
prohibitif.
des
De
qui
plus,
son
le
v
remaillage
que
du
des
domaine
particulières
du
Écoulemen

du

non
une
et
extrap
1
olation
Le
des
est
résultats
2
en
Les
tre
dues

viscosité
maillage
uide
à
t
l'instan

t
forces
de
à
et
pression
le
aux
nouv
de
eau
elle
maillage
du
à
3
l'instan
L'écoulemen
t
est

En
t
t
tenan
tité
en
ectoriel
et
an

(10)
à

d'autan
Milieu fluide
Interface Γ (x,y,z,t)
z
n (x,y,z,t)
y
x
Milieu solide élastique
t t+Δt
1
~v∇~v = ∇(~v~v)+(∇∧~v)∧~v
2
∇∧~v = 0
1
~v∇~v = ∇(~v~v)
2de
En
densité
he
donnée
Mahmoud
xe
4

En
frottemen
négligean
b
t
sa
les
joutée
termes
v
dues
translation
à
uide
la
par
viscosité
solide
du
le
uide
trouv
et
(16)
l'équation
et
précéden
solide
te,
notée
les
noté
équations
mouv
de
t
régissan
théorie
t
parfait(
le
négligées).
mouv
le
emen
est
t

du
xe
uide
aisémen
deviennen
(18)
t
aleur,

pression
du
P
t
b
emen
masse
mouv
un
le
t
par
masse
induite
et
(12)
est
uide
.
du
est
vitesse
t
de

tiel
vitesse
oten
Bernoulli
p
.
le
supp
notons
forces
est
son
,
force
des
uide
l'axe
solide
à
par
parallèle
la
vitesse
un
une
ert,
par
d'Alem
animé
parado
est
t


Le
An
(13)
e
La
on

v
-
par
1
la
t.
1.5.2
an
arado
suiv
d'Alem

ert
implique
la
l'existence
a
d'une
Soit
fonction

scalaire
don
deux
la
tel
de
que
est
les
t
Considérons
le
.
olume
des
est
l'axe
remplaçan
(14)
Le
d'où
solide
les
en
équations
emen
deviennen
de
t
uniforme
à
don
parallèle
la
problème,
est
du
généralisé.
(15)
de
généralité
le
la
Le
erdre
est
p
osé
t
les
autan
de
our
t
p
t
sans
La


qu'on
le
symétrie
sur
du

plan
est
un
par
t
donnée
ossédan
pression
p
(17)
solide

notée
∇(~v) = 0
∂~v 1
ρ +ρ ∇(~v~v) =−∇p
∂t 2
∇∧~v = 0 φ
~v =∇φ
Δφ = 0
∂∇φ 1 ∂φ 1 2ρ +ρ ∇(∇φ∇φ) =−∇p ⇔ p =−ρ −ρ (∇φ) +p0
∂t 2 ∂t 2
̺
D
~U(t)
Z
~F =− p~nds
S
Z Z
∂φ 1 2~F =ρ ~nds+ρ (∇φ) ~nds
∂t 2S S
π
x
~x U(t) =U(t)~x1à
Soit
ue
he
est
Mahmoud
ée
5
étan
que
vitesse
tel
le
et
n
la
tégrales
force
ons,
appliquée
t
par
p
le
et
uide
par
sur
t
le
preceden
solide
ort
dans
terv

somme

problème,
est
on
notée
,
solide
.
domaine
le
le
tiel
,


quelque
dans
force
fonction
uide
la
solide.
de
d'où
extension
se
une
et
est
temps
fonction
par
la
la
(24)
t
est
deux

(20)
t
symétrie
emen
a
mouv
que
en
donné
solide


,
un
Étan
sur
.
uide
vitesse
le
le
par
oten

de
force
dans
la

que
soit

(23)
eut
la
p

on
le
ulle,
sur
(19)

2
Autremen
-
dit,
Le
(22)

reduit
est
t
animé
l'équation
par
ulle
une
est
vitesse
au
parallèle
rapp
à
partielle
l'axe
driv
des
enir
n
in
mais
faisan
dans
in
le
des
sens
la
opp
V
osé
la
:
du
est
nous
force
v
la
d'où
de
déduit
l'expression
,
dans
t
quadratique
(21)
terme
d'où
le
et
que
(25)
donné
~φ F1 1
Z Z
∂φ 11 2~F =ρ ~nds+ρ (∇φ ) ~nds1 1
∂t 2S S
x
~U(t) =−U(t)~x φ22
~F2 Z Z
∂φ 12 2~F =ρ ~nds+ρ (∇φ ) ~nds2 2
∂t 2S S
~ ~U(t) = −U(t) φ = −φ1 22 1
~ ~F =−F2 1 Z Z
∂φ 11 2~ ~0 =F +F =ρ ~nds+ρ (∇φ ) ~nds+1 2 1∂t 2S SZ Z
∂φ 12 2ρ ~nds+ρ (∇φ ) ~nds2
∂t 2S S
∂φ ∂φ1 2φ =−φ =−1 2 ∂t ∂t
Z Z
1 12 2ρ (∇φ ) ~nds+ρ (∇φ ) ~nds = 01 2
2 2S S
Z Z
1 12 2ρ (∇φ ) ~nds =ρ (∇φ ) ~nds = 01 2
2 2S S
~U(t)
Z Z
∂φ ∂~ ˜F =ρ ~nds =ρ ∇φdv
∂t ∂tS D
˜φ φ
˜ ˜ ~Δφ = 0 ; ∇φ⌋ ~n =∇φ⌋ ~n =U(t)~nS Spas
du
l'état
he
a
Mahmoud
La
6
joutée
vue
,
l'unicité
uide
de
v
la
linéariser
solution
et
de
masse
Laplace
temps,
dans
parado
les

domaines
dans
simplemen

t
au

la
on
oisinage
déduit
densité
que
est

est
(29)
le
est
dép
tel
que
que
qu'est
(28)
ert.
t
statique
deviennen
du
équations
théorie
les
le
d'où,
sort
t,
Linéarisassions
emen
osition
mouv
emen
.
des
En
équations
substituan
on
t
au
de
masse
équations
(27)
les
la
dans
masse
l'expression
que
de
densité
la
uide).
force,
emen
on
solide
trouv
pas
e
trouv
dans
vitesse
négligeables
Soit
t
jet
son
d'Alem
quadratique
n
termes
as
les
e
tous
stationnair
;
dans
t
arfait
emen
v
ectiv

resp
solide
notées
a
son

pression
el.
la
équations
et
d'une
masse
(30)
de
mouv
densité
t
la
uides.
vitesse,

la
de
t
les
don
souhaite
;
duquel
amplitude
v
faible
d'équilibre
de
dans
erturbation
de
p
la
une

our
pression
P
t,
.
la
que
a
implique
(noté
statique
l'écoulemen
(26)
la

du
force
du
est
si
due
mouv
à
t
la


ne
de
end
uide
de
au
on
mouv
e
emen
de
t,
la
on
,
p

eux
l'ob
donc
du

xe
que
b
si
Il
on
'y
souhaite
p
donner
de
une
ésistanc

à
d'équilibre
ement

e
au
solide

le
solide,
p
il
Le
faut
reste
lui
alable
appliquer
le
une

force

qui
n'est
p
symétrique,
ermet
démonstration
de
du
v
de
aincre
rapp
les
1.5.3
forces
des
d'inertie
au
et
oisinage
la
p

d'équilibre
du
uide
r
˜ ˜ ~ ˜φ ∇φ =U(t) ∇φ
Z Z ~∂ ∂ ∂U(t)˜~ ~F =ρ ∇φdv =ρ U(t)dv =ρ D
∂t ∂t ∂tD D
˙U
˙ ˙ ˙F =̺D U +ρDU = (M +M )Uext s f
M = ρD ρf
F = 0ext
~v p ρ0 0 0
~v = 00
(~v,ρ,p)
∂ρ
+ρ ∇(~v) = 00
∂t
∂~v fρ =∇σ0∂t
∂p ∂v ∂v 2f i jσ =−δ +( + )− (∇~v)δij ijij ∂x ∂x ∂x 3j j ipremière
aux
t
he
uide
Mahmoud
partie
7
t
si
et
en
appliquan
plus
normal
on
en
néglige
Dans
les
v
eets
fron
visqueux
a

de
de
ort
frottemen
an
t),
de
les
les
équations
les
deviennen
problème.
t
équations

En
d'où
les
t,
sur

solide
reste

,
ec
tropie,
div
l'en
l'op
que
temps
trer
par
mon
t
eut
est
p
fron
on
Sur
parfait,
fron
(31)
aux
uide
déterminer
un

our

P
Fluide
(37)

donne
se
équations
l'équation
deux
(38)

ec
de

soustraction
limites
(32)
les
Deux
tières

mobile
à
en
distingués

a
v
-
les
Fluide
ergence

la
Lorsque
érateur
le
t
uide
et
est
au

rapp
le
équation

la
hamp
(34)
de
dériv
la
le
vitesse
aux
satisfait
tièrex
La
domaine.
(36)
l'autre
(35)
des
e
tièrex,
trouv

on
limites
d'où
t
la
par
pression
données
satisfait
ondan
l'équation
à
de
haque
Laplace,
b-
à

sa

v
les
oir
linéarisées
équation,
ramènen
deuxième
à
la
d'onde.
de
eet,
(33)
a
seron
∂ρ
+ρ ∇(~v) = 00
∂t
∂~v
ρ =−∇p0∂t
∇.~v =
0
Δp = 0
∂p (∂~v~n)
=−ρ0
∂n ∂t
~n
2∂ ρ ∂∇~v
+ρ = 002∂t ∂t
∂∇~v
ρ =−Δp0
∂t
2∂ ρ
= Δp
2∂t
s
∂ρ ∂ρ ∂p 1 ∂p
= ( | ) =s 2∂t ∂p ∂t c ∂tt
la
des
he
h
Mahmoud
des
8
p

donc
han
la
t
les
que
notre

ts.
est
des
la
les

trés
de
,
son,
donc
supp
à
osée
à


te,

donnée
t
par
P
la
à
relation

ximation
(42)
appro
est
onne

b
après
une
segmen
ec
de
v
e
a
sur
tire
(44)
(39)
v
En
outres
éliminan
exions
t
et
la
Nous
densité
aux
de
axes
masse
outres
en
longueurs
tre
Flexion
les

deux

équations,
axe.
on
dans
trouv
l'axe
e
remarque
l'équa-
2
tion
ts
des
,
ondes
t
dans

milieu
on
homogène
Or
on
othèse
d'où
y
(43)
fait
est
elastique
des
outre,
l'axe
t
de


trouv
la
Le
dans

déformation
sa
(40)
oir,
1.6
p
Appro
soumises
ximation
des
au
et
niv
torsions
eau
leurs
des
binaison.
équations
limitons
de
analyse
la


les
des
élastiques
solides
p
Dans
garden

des


il
1.6.1
s'a
:
v
outre
ère
hargée
très
erp
utile
t
de
son

Calcul
les
déformations
équations
la
régissan
de
t
des
le
On
milieu
sur
solide
gure
par
que
des
segmen
équations
droite
appro
longueur

sa
hées.
devien
Nous
des
limitons
de
notre

rapp
en
el
,
à
déformation.
deux
par

yp
en
le
rapp
t
ort
ra
a
qui
v
partie
ec
l'axe
les
de
vibrations
p
des

ailes
son
d'a
longueur
vion
de
et
un
des
e
ailettes
se
des
segmen
turbines
(41)
et
des
la
c
∂p2c = |s
∂ρ
2∂ p 2=c Δp
2∂t
x
AB PQ
o
AB
∗ ∗PQ =AB =A B = Δx =ρΔθ
∗ ∗ ∗P Q ρ−y
∗ ∗ ∗P Q = (ρ−y )Δθ
x
∗ ∗ ∗ ∗P Q −PQ (ρ−y )Δθ−ρΔθ y y
e (P) = lim = lim =− ≈−xx
Q→P PQ Δθ→0 ρΔθ ρ ρ
y
e (P) =−xx
ρt
(47)
te
he
de
Mahmoud

9
de
1.6.2
l'épaisseur
Loi
écriture
de
,

train
ortemen
our
t
Y
des
outre
matériaux
de
isotrop
train
e
2
:
axes
Loi
Plus
de
de
Ho
p
ok
d'où
e
le
La
le
loi
le
de
(50)

la
ortemen
et
t
y
linéaire
en
de
dans
Ho

ok
3
e

p
,
ermet
d'exprimer
d'exprimer
t
la
ts
rela-
des
tion
s'écrit
en
l'équation
tre
l'équation
les
a
déformations
d'une
et
oisson.
les


et
train
dule
tes
E
p
L'élémen
outre
:
un
p
milieu
de
homogènes
de
et

isotrop
on
e,
ra
à
fonction
sa
te
v
(46)
oir

est
les
force
1,

et
de
son
t
asso
momen
aux
le

(51)
la
est
et
surface
.
la
explicitemen
de
les
t
osan
l'élémen
diagonaux
sur
tenseur
t

agissan
tes
et
ermet
outre
44
p
et
la
précéden
de
(49)

(48)
la
on
à
p


(45)
Dans
ou
P
in
t
v

ersemen
est
t
oung
erp
de
p
mo
force
est
la

de
(52)
t
1 s se = ((1+ν)σ −νσ δ )ij ijij kkE
E νsσ = (e + e δ )ij kk ijij 1+ν 1−2ν
x y z
1 s s se = (σ −ν(σ +σ ))xx xx yy zzE
1 s s se = (σ −ν(σ +σ ))yy yy xx zzE
1 s s se = (σ −ν(σ +σ ))zz zz xx yyE
ν
s s s sσ <<σ ; σ <<σyy xx zz xx
s sσ σxx xxe = ; e =e =−νxx yy zzE E
sσxx
ysσ =−Exx ρ
dA
y y~dF =−E ~xdA ⇔ dF =−E dA
ρ ρ
2 2y y y~dM =y~y∧(−E ~x)dA =E ~zdA ⇔ dM =E dA
ρ ρ ρ
p
Ra
he
en
Mahmoud
nous
10
le

tégration
tire
outre,
on
ra
d'où

(55)
de
(54)
(56)
tes
par
an
la
suiv
la
relations
trouv
les
on
a
exprimer
on

etit,
on
p

t
t
innimen
I
t
la
déplacemen
outre
un
in
our
sur
P

.
de
outre
p
p
on
la
e
de
de
l'axe
y
de
le
t
allons
déplacemen

de
Dans
fonction
de
Fig.
y
2
1.6.3

la
Sc
d'inertie
hématisation
momen
de
est
la
(53)
déformation
de
Avant déformation Après déformation
Q*
P*
P Q 2y*
y
2y
x
B*A*
A B
PQ = AB =A*B* = Δ x = ρΔθ
Δθ ρ x
Δ x
Q*
P Q
P*
y y* B*
A B A*
SZZ ZZ
E EI2 2F = 0 ; M = y dA ; M = ; I = y dA
ρ ρS S
w(x)
rp dw
2 2 2ds = dx +dw = dx 1+( ) =ρdθ
dx
2 2dw d w dw d w2 2tg(θ) = ⇒ (1+tg θ)dθ = dx⇒ (1+( ) )dθ = dx
2 2dx dx dx dx
2d w1 2dx=
3dw 2ρ 2(1+( ) )
dx

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