CCENS 2003 mathematiques paris et lyon classe prepa mp

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UL 311 J. 5006 SESSION 2003 Filière MP MATHÉMATIQUES Epreuve commune aux ENS de Paris et Lyon Durée : 6 heures L’usage de toute calculatrice est interdit. Aucun document n’est autorisé. Tournez la page S.V.P. Les symboles C, R, Q, Z et N d´ esignent respectivement le corps des nombres com-plexes, le corps des nombres r´eels, le corps des nombres rationnels, l’anneau des entiersrelatifs et l’ensemble des entiers naturels.Dans tout ce probl`eme, D est un entier impair sans facteur carr´e. Si S ={p ,...,p},1 so`u s est le cardinal de S, est l’ensemble des nombres premiers divisant D, alors 2∈/ SetDest le produit des p,pour1≤ i≤ s.i2L’objet du probl`eme est l’´etude de l’ensemble C(Q)dessolutions( x, y) ∈ Q de2 3 2l’´equation y = x − D x,avecx>0. Plus pr´ecis´ement, il s’agit de d´emontrer que l’onpeut munir C(Q)=C(Q)∪{∞}d’une structure de groupe commutatif de type fini (cas2particulier du th´eor`eme de Mordell-Weil). On note C l’ensemble des solutions dansR de2 3 2 2l’´equation y = x − D x,avecx>0; on a donc C(Q)=C∩Q .La partie I donne un crit`ere permettant de montrer qu’un groupe commutatif est detype fini. La partie II munit C=C∪{∞}d’une structure de groupe commutatif. Lapartie III donne un certain nombre de formules relatives a` cette loi de groupe, et la partieIV est consacr´ee `alad´emonstration du th´eor`eme de Mordell-Weil. Ces 4 parties reposentsur des ...

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• Publié par: aiolos
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UL 311

SESSION 2003

Filière MP

MATHÉMATIQUES

Epreuve commune aux ENS de Paris et Lyon

Durée : 6 heures

L’usage de toute calculatrice est interdit.

Aucun document n’est autorisé.

J. 5006

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