CCENS 2003 mathematiques paris et lyon classe prepa pc

Description

LC 312 J. 5019 SESSION 2003 Filière MP (groupes M/MP/MI) Épreuve commune aux ENS de Lyon et Cachan Filière MP (groupe I) Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan Filière PC (groupe I) Épreuve commune aux ENS de Paris et Lyon MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats. Tournez la page S.V.P. 66IntroductionSoit n un entier naturel non-nul. On noteM = M (C) l’espace vectoriel de dimensionn,n2n des matrices carr´ees n×n a coefficients dans le corps C des nombres complexes. Onnote C = M (C) l’espace vectoriel de dimension n des matrices colonne a` coefficientsn,1dans C, et L = M (C) l’espace vectoriel de dimension n des matrices ligne. Enfin, on1,nnoteR le sous-ensemble deM constitu´e des matrices de rang 1.1SiP etQsontdeux´el´ementsdugroupelin´eaireGL (C),onnoteϕ l’endomorphismen P,Qde l’espace vectorielM d´efini, pour A∈M, parϕ (A) =PAQ.P,QOn note T l’endomorphisme transposition deM, c’est-`a-dire l’endomorphisme deMtd´efini par T(A) = A pour A∈M. On note alorsG ={ϕ ;P,Q∈GL (C)},P,Q n0G ={T ◦ϕ ;P,Q∈GL (C)},P,Q net0G =G∪G.Premi`ere partieOn va montrer dans cette partie que les endomorphismes f de ...

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LC 312J. 5019 SESSION 2003 Filière MP (groupes M/MP/MI) Épreuve commune aux ENS de Lyon et Cachan Filière MP (groupe I) Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan Filière PC (groupe I) Épreuve commune aux ENS de Paris et Lyon MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats. Tournez la page S.V.P.