CCP 2004 epreuve specifique classe prepa tpc

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SESSION 2004 TPC005´ ´ `EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TPC´MATHEMATIQUESDur´ee : 4 heuresLes calculatrices sont interdites* * * * *N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance `a la clart´e, a` la pr´ecision et a` la concisionde la r´edaction.Si un candidat est amen´e a` rep´erer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalerasur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´et´eamen´e `a prendre.1Dans tout le probl`eme, E d´esigne leR-espace vectorielR[X] des polynomˆ es a` coefficients r´eels.Pour tout entier naturel n, on note E le sous-espace de E form´e par les polynomeˆ s de degr´e aunplus ´egal a` n.Selon l’usage, on convient d’identifier un polynˆome et la fonction polynomiale associ´ee.2 nL’espace E est muni de sa base canoniqueB = 1,X,X ,...,X .n n n!nLes coefficients binomiaux sont not´es = (06k6n).k k!(n−k)!´Partie A : Etude d’un endomorphisme´Etant donn´e un polynˆome P de E, on d´efinit un polynˆome φ(P) par :2 00 0[φ(P)](X) = X −1 P (X)+2XP (X).1) Justifier qu’on a ainsi d´efini un endomorphisme φ de E.2) Montrer que, pour tout entier naturel n, le sous-espace vectoriel E est stable par φ.nOn notera d´esormais ϕ l’endomorphisme de E induit par φ sur E :n n n∀P ∈E ,ϕ (P) =φ(P)n n3) Dans cette question, on suppose que n est ´egal a` 3.´a) Ecrire la matrice M de ϕ dans la base canonique de E .3 3 3b) Justifier que ϕ est diagonalisable.3c) D´eterminer une ...

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SESSION 2004

´ ´` EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TPC

´ MATHEMATIQUES Dur´ee:4heures

Les calculatrices sont interdites * * * * *

TPC005

N.B.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclarte´,a`lapr´ecisionet`alaconcision delare´daction. Siuncandidatestamene´a`rep´erercequipeutluisemblerˆetreuneerreurd’e´nonce´,illesignalera sursacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilae´t´e amene´`aprendre.

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