MATHÉMATIQUES I Filière MP
MATHÉMATIQUES I
Avertissement
Les trois parties sont indépendantes. Le résultat final de la Partie I fournit une
valeur particulière de la fonction F étudiée dans les parties II et III.
Partie I - Calcul de la somme d’une série
I.A -
I.A.1) Calculer, sous forme trigonométrique réelle, les coefficients de Fourier
de la fonction 2 π -périodique impaire f : IR → IR , nulle en 0 et π , et égale à 1
sur ]0, π[ . Pour tout entier n ≥ 0 , expliciter la somme partielle de Fourier S f den
f .
I.A.2) Que peut-on dire de la suite de fonctions ()S f ? En déduire la valeurn
de
∞ n
()–1
S = ---------------- .∑ 2n + 1
n = 0
I.A.3) Calculer
∞
1
S = ----------------------- .∑1 2
()2n + 1n = 0
I.B -
I.B.1) Préciser le domaine d’existence dans IR de
∞ 2n
x
Lx()= ------------- . ∑ n + 1
n = 0
Exprimer Lx() à l’aide de fonctions usuelles.
I.B.2) Calculer l’intégrale
21 ln()1 – x
I = ------------------------- dx .∫ 20 x
I.B.3) En déduire la valeur de
∞
1
S = --------------------------------------- .2 ∑()2n + 1()n + 1
n = 0
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Filière MP
I.B.4) Exprimer
∞
1
S = ------------------------3 ∑ 21⎛⎞n = 1 nn – ---⎝⎠2
en fonction de S et S . En déduire la valeur de S .1 2 3
* * *
Dans toute la suite, on utilise les notations qui suivent :
• Pour tout réel t > 0 , lntt désigne le logarithme népérien de .
2• Si tz est un réel strictement positif et si =x+iy, où ()xy, ∈ IR , est un com-
zplexe, on note t = exp()z lnt .
• On définit la fonction p : ]0,1[ → IR par
lnt ⋅ ln()1 – t
pt()= -------------------------------- .
t
–zPour tout zt complexe tel que la fonction atpt() est intégrable sur ]0, 1[ , on
pose
1 –z
Fz()= t pt() dt . ∫0
On définit ainsi une fonction Fz de la variable complexe ; on notera encore, par
extension, F la fonction de deux variables réelles associée.
2Ainsi, pour ()xy, ∈ IR , Fx(),y = Fx()+iy.
Le but du problème est d’étudier la fonction F .
Partie II - Étude locale de F
II.A - Montrer que le domaine de définition de F est Ω ={}z/z ∈ CI , Re()z < 1 . On
pose .I==Ω ∩ IR ]– ∞, 1[
II.B - Déterminer la limite de Fz() quand la partie réelle de z tend vers – ∞ .
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II.C -
II.C.1) Déterminer la limite de Fx() quand le réel xI∈ tend vers 1 .
II.C.2) Pour tout xI∈ , on pose
1 –x
Gx()= t lnt dt . Calculer Gx() .∫0
II.C.3) Prouver que la limite de Fx() –Gx() , quand xI∈ tend vers 1 , existe et
est finie.
Fx()II.C.4) En déduire la limite de quand xI∈ tend vers 1 .-------------
Gx()
∞II.D - Montrer que la restriction de FI à est C . Pour tout xI∈ , donner
()kl’expression de la dérivée k–ième F ()x sous forme intégrale.
II.E -
∞II.E.1) Établir que FC est de classe sur Ω . Si kl et sont deux entiers 0≥
et si z ∈ Ω , exprimer la dérivée partielle
kl+
∂ F
()z sous la forme d’une intégrale.------------------
k l
∂x ∂ y
∂F ∂FII.E.2) Comparer -------et .-------
∂x ∂y
2 2
∂ F ∂ FII.E.3)Évaluer .---------- + ----------
2 2
∂x ∂ y
II.F -
II.F.1) Soient z ∈ Ω et ()z une suite de points de Ω, distincts de z,n
qui converge vers z . Prouver l’existence de
Fz() –Fz()nlim .----------------------------------
z – zn → ∞ n
∂F ∂F
On pourra utiliser la continuité de ------- et de ------- , ainsi que le résultat de II.E.2.
∂x ∂y
On observera que cette limite ne dépend que de zz, et non de la suite () .n
Par la suite, on note DF()z cette limite.
On définit ainsi une application DF : Ω → CI .
II.F.2) Pour tout entier k ≥ 2, démontrer l’existence de l’application
k k – 1 1
DFD=()DF : Ω → CI . On convient que DFD= F.
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II.G -
II.G.1) Pour tout réel t > 0, développer en série entière de u la fonction
–u
u ∈ CI → t . Préciser le rayon de convergence.
II.G.2) Établir qu’au voisinage de 0 ,
∞
11k k
Fz()= c z où c = ----- ()–lnt pt() dt . (1)∑ k k ∫k! 0
k = 0
II.G.3) Quel est le rayon de convergence R de la série entière (1) ?
II.H -
II.H.1) Déterminer un équivalent de c quand k → ∞ .k
II.H.2) Quelle est la nature de la série (1) quand zR= ?
Partie III - Développements en série
III.A -
III.A.1) Développer en série entière de t ∈ IR la fonction
ln()1 – t
t → --------------------- . Préciser le rayon de convergence.
t
III.A.2) Pour tout entier n ≥ 0 et tout z ∈ Ω , calculer
1nz–
u ()z = t lnt dt .n ∫0
∞
1
III.A.3) Démontrer que Fz()= ------------------------ .∑ 2
nn()–zn = 1
III.B -
III.B.1) Pour tout xI∈ , exprimer
x
φ()x = Fu() du ∫– ∞
sous forme d’une série ne faisant plus intervenir d’intégrale. Préciser φ()0 .
III.B.2) Déterminer un équivalent de φ()x quand xI∈ tend vers 1 .
III.C -
2III.C.1) Si y ∈ IR , on pose Hy()= Fi()y. Les fonctions H et H sont-elles
intégrables sur IR ? Préciser la valeur de
∞
Hy() dy .∫– ∞
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III.C.2) Pour quelles valeurs des réels α et β , la somme
– α – β
S()αβ, = ()mn()mn+ est-elle finie ?∑
mn, ≥ 1
III.C.3) Si
∞ –2 –2
K = ()yi+m()yi– n dy ,mn, ∫
– ∞
où mn et sont des entiers 1≥ , calculer K . En déduire la valeur demn,
∞1 2
------ Hy()dy sous la forme S()αβ, .∫4 π – ∞
III.D -
III.D.1) Démontrer que la série de fonctions obtenue en III.A.3 converge sur un
˜domaine Ω de CI que l’on précisera. On note encore F le prolongement de F à
∞˜ ˜Ω . Prouver que FC est de classe sur Ω .
III.D.2) Soient pn un réel, un entier 0> , z et z ′ deux complexes dont les0
parties réelles sont majorées par n . Pour tout entier nn> , majorer0 0
–p –p
()z ′ – n –()zn– en fonction de nn, , pz et ′ – z .0
III.D.3) Avec les notations de II.F.1 et II.F.2, pour tout entier k ≥ 1 et tout
k˜z ∈ Ω , établir l’existence de D Fz() qu’on exprimera sous forme de somme d’une
série.
III.E -
III.E.1) Pour tout entier k ≥ 0, évaluer c , défini en II.G.2, sous forme dek
somme d’une série numérique.
III.E.2) Retrouver, à l’aide du III.E.1, le résultat obtenu en II.H.1.
••• FIN •••
Concours Centrale-Supélec 2004 5/5