Composition de Mathématiques 2004 Classe Prepa PSI Ecole de l'Air

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Examen du Supérieur Ecole de l'Air. Sujet de Composition de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Composition de Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

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• 2004
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• Publié par: bankexam
• Publié le: 28 février 2007
• Nombre de lectures: 148
• Langue: Français

Extrait

Les trois parties de ce problème sont très largement indépendantes et peuvent se traiter dans un ordre indifférent.

Partie A

3 3 Rest rapporté à sa base canoniqueB= (e 1 , e 2 , e 3 )considère l’endomorphisme. OnudeR défini par sa matriceArelativement à la baseB,où la matriceAest donnée par:   8−1−5   A= −2 31 4−1−1 ◦ A 1Démontrer que les réels2et4sont deux valeurs propres deuet déterminer une base des deux sous espaces propres correspondants .

◦03 A 2Démontrer qu’il existe une baseBdeRtelle que l’endomorphismeuadmette relativement   4 3 0   0 0 à la baseBla matriceA 4 0= 0 . Onchoisira les coordonnées des vecteurs de cette 0 0 2 nouvelle base parmi1,0,−1

◦n A 3 Soitn∈N.DéterminerAen fonction den. ◦1 A 4x, y, zdésignant trois fonctions réelles de classeC, déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle suivante:  0  x(t) = 8x(t)−y(t)−5z(t) 0 ∀t∈R , y(t) =−2x(t) + 3y(t) +z(t)  0 z(t) = 4x(t)−y(t)−z(t)

Partie B

◦2 B 1Déterminer les fonctions de classeCsurRà valeurs dansRtelles que 00 0 ∀t∈R, f(t) +f(t) +f(t) = 0(1) (les solutions ne doivent donc pas s’exprimer à l’aide de nombres complexes ) ◦ B 2Montrer que l’ensembleFdes solutions de(1)forme unRespace vectoriel dont on précisera une base(ϕ,ϕ). 1 2 Donner l’allure du graphe d’une solution non nulle de(1)

◦0 B 3Montrer que l’applicationD:f7→fest un endomorphisme deF. 3 Cet endomorphismeDest il diagonalisable? DéterminerD . ◦ B 4Soita∈Rnote. OnT a l’application définie par : ∀f∈F,∀x∈R, T a (f)(x) =f(x+a) Montrer queT a est un endomorphisme deF. Pourquelles valeurs du réelal’endomorphismeT a ◦ est il diagonalisable? Quelle propriété du graphe deftracé auB2peut on en déduire?

◦ B 5Déterminer l’ensemble des couples(λ, a)∈R×Rtels queD=λT a

. Partie C

2 2 Dans cette partie on noteE=C(R + ,R)l’espace vectoriel des fonctions de classeCsurR + à 2 valeurs dansR.On considère le sous ensembleFdeEformé des fonctions réelles de classeC 2 surR + telles que la fonctiont7→f(t)soit intégrable sur[0,+∞[notera. On s Z 2 N 2 (f) =f(t)dt [0,+∞[

◦ C 1Soientfetgdeux éléments deF. Démontrer que la fonctiont7→f(t)g(t)est intégrable sur[0,+∞[ ◦ C 2Démontrer queFest unRespace vectoriel. ◦ C 3Soituune fonction réelle, continue surR + ,admettant une limitel, finie ou non, lorsque xtend vers+∞.On suppose que la primitive nulle en0deu,notéeU,admet une limite finie L= limU(x)lorsquextend vers+∞.Démontrer quel= 0. x→+∞ 00 Dans ce qui suitfest une fonction deEtelle quefetfappartiennent àF. ◦ C 4Justifier que pour tousx, a, bappartenant à[0,+∞[: Z Z x x 2 0 00 00 [f(t)]dt=f(x)f(x)−f(0)f(0)−f(t)f(t)dt(2) 0 0 Z b 1 0 2 2 f(t)f(t)dt= ([f(b)]−[f(a)] )(3) 2 a 0 Montrer alors, en utilisant les deux égalités(2)et(3), que la fonctionfappartient àF.On pourra faire un raisonnement par l’absurde. ◦ C 5En déduire alors que les deux fonctions suivantes admettent une limite finie lorsquex→+∞: Z Z x x 0 000 x7→f(t)f(t)dtetx7→f(t)f(t)dt 0 0 0202 En déduire également que :limf(x)f(xlim) =f(x) =lim (f(x)) =0 x→+∞x→+∞x→+∞ ◦ C 6Montrer que pour toutt∈[0,+∞[: ³ ´³ ´ 0 2 2 0 00 2 0 2 2 00 0 [f(t) +f(t) +f(t)]−[f(t[)] +f(t)]−[f(t)] =[f+f] (t) En déduire que Z ZZ Z 2 22 2 2 00 00 000 [f(t)]dt+ [f(t)]dt−[f(t)]dt= [f(0) +f(0)] +[f(t) +f(t) +f(t)]dt [0,+∞[ [0,+∞[ [0,+∞[ [0,+∞[ puis que 02 2002 N 2 (f)≤N 2 (f) +N 2 (f)(4)

◦ C 7En considérant, pour tout réelλstrictement positif, les fonctionsf λ définies par: √ f λ (x) =λf(λx),déduire de(4)que 1 0 2 2 2002 N 2 (f)≤N 2 (f) +λN 2 (f) 2 λ ◦ C 8Déduire de(5)que p 0 00 N 2 (f)≤2N 2 (f)N 2 (f)

◦ C 9Soitfune fonction solution de l’équation différentielle(1)de la partieB,et telle que: 0 f(0) +f(0) = 0. 00 Montrer quefetfappartiennent àF.En déduire que l’inégalité(6)ne peut être améliorée.

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