Corrige Polytechnique X Premiere composition de Mathematiques 1999 MP
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Rapport de MM. Daniel GOURDIN et Claude WAGSCHAL, correcteurs.Le sujet proposait aux candidats l’étude de quelques propriétés du noyau de Poissonet de l’intégrale de Poisson dans le demi-plan. Une bonne connaissance des théorèmesfondamentaux du calcul intégral, en particulier continuité et dérivation d’intégrales dé-pendant d’un paramètre, était indispensable pour aborder ce problème dans de bonnesconditions; ces théorèmes généraux sont en général connus, mais pas toujours compriscomme les correcteurs l’ont trop souvent constaté lorsqu’il s’agit de les appliquer à desexemples concrets. Quant aux questions 7, 9 et 13 relatives à la continuité uniforme, ellesn’ont été traitées correctement que par quelques candidats.Compte tenu du barème adopté la moyenne est de 9,12 avec un écart type de 2,91;la répartition des notes est la suivante :0≤N< 5 3%5≤N<10 62%10≤N<15 30%15≤ N≤ 20 5%Les trois questions de la première partie n’offraient pas de difficultés particulièreset ont été traitées par la plupart des candidats. Le raisonnement par récurrence de laquestion 3 a été en général bien présenté. Il faut cependant déplorer des erreurs assezfréquentes dans le calcul des dérivées; de telles erreurs de calcul ne sont pas acceptables.La deuxième partie avait pour objet d’établir quelques propriétés de l’intégrale dePoissonΦ lorsquef estunefonctioncontinuebornée.Laquestion4aété bientraitée.Onfdemandait ensuite de vérifier la continuité de la fonction Φ ; si la plupart ...

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Rapport de MM. Daniel GOURDIN et Claude WAGSCHAL, correcteurs.
Le sujet proposait aux candidats l’étude de quelques propriétés du noyau de Poisson et de l’intégrale de Poisson dans le demi-plan. Une bonne connaissance des théorèmes fondamentaux du calcul intégral, en particulier continuité et dérivation d’intégrales dé-pendant d’un paramètre, était indispensable pour aborder ce problème dans de bonnes conditions ;ces théorèmes généraux sont en général connus, mais pas toujours compris comme les correcteurs l’ont trop souvent constaté lorsqu’il s’agit de les appliquer à des exemples concrets. Quant aux questions7,9et13relatives à la continuité uniforme, elles n’ont été traitées correctement que par quelques candidats. Compte tenu du barème adopté la moyenne est de9,12avec un écart type de2,91; la répartition des notes est la suivante : 05 3%N < 562%N < 10 10N < 1530% 15N20 5% Les trois questions de lapremière partien’offraient pas de difficultés particulières et ont été traitées par la plupart des candidats. Le raisonnement par récurrence de la question3a été en général bien présenté. Il faut cependant déplorer des erreurs assez fréquentes dans le calcul des dérivées; de telles erreurs de calcul ne sont pas acceptables. Ladeuxième partieavait pour objet d’établir quelques propriétés de l’intégrale de PoissonΦflorsquefest une fonction continue bornée. La question4a été bien traitée. On demandait ensuite de vérifier la continuité de la fonctionΦf; si la plupart des candidats savant qu’il s’agit de dominer la fonctionϕ:tf(t)K(xt, y)par une fonction intégrable indépendante de(x, y), le programme est rarement réalisé de façon satisfaisante : ou bien la fonction proposée ne majore pasϕ, ou bien elle n’est pas indépendante de(x, y)! En traçant d’abord le graphe de la fonction 2 tmin (xt), αxa on obtenait rapidement une réponse correcte. En mettant l’expression intégrale deΦf sous une autre forme, on peut répondre encore plus simplement à la question posée; on peut écrire par exemple :   ∞ ∞ 1y1Φf(x, y) =f(x+τ)= (x+) ;(1) 2 22 π−∞τ+y π−∞σ+ 1 quelques candidats ont utilisés la première de ces expressions. Dans la question5b, bien traitée dans l’ensemble, il est surprenant de voir de nombreux candidats démontrer la continuité de l’application linéaireΦavec unε; certains semblent ignorer la caractérisation de la continuité dans le cas linéaire.
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