E3A 2005 mathematiques a classe prepa mp

Description

77µe3aConcours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE¶Epreuve de Math¶ematiques A MPdur¶ee 4 heuresL'usage de la calculatrice n'est pas autoris¶e.Si,aucoursde l'¶epreuve, uncandidatrepµerece quiluisemble^etre uneerreurd'¶enonc¶e,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenindiquantlesraisonsdesinitiativesqu'ilest amene¶ aµprendre.ProbleµmePartie ISoit I un intervalle non r¶eduit aµ un point de R. On considµere l'¶equation di®¶erentielle sur I :00y + y = 0 (E )0© ª21. Montrer que l'ensemble des solutions de ( E ) sur I est x ! Acos x + Bsin x j (A;B) 2 R .0On suppose pour que les questions 2 et 3 que I est un intervalle de R non majore¶. ¡ ¢2n+12. Soit g une solution de (E ) sur l'intervalle I. Que peut-on dire des suites (g(n¼)) et g( ¼) ?0 n2N 2 n2N3. Soit g une solution de ( E ). On suppose que g(x) tend vers une limite ¯nie lorsque x tend vers +1. Montrer que g est0la fonction nulle.Partie II1 1Dans cette partie, on note C (R) le R-espace vectoriel des fonctions de classe C sur R et aµ valeurs r¶eelles.4On note C = fe ;e ;e ;e g la base canonique de R :1 2 3 4e = (1;0;0;0); e = (0;1;0;0); e = (0;0;1;0); e = (0;0;0;1):1 2 3 44Soit v = (a;b;c;d) dans R . On note h l'application d¶e¯nie sur R par :vh : x ! (ax + b)cos x + (cx + d)sin x:v4On note V l'ensemble des applications h lorsque v parcourt R .v11. Montrer que V est un sous-espace vectoriel de C (R).42. De¶montrer que l'application qui envoie le vecteur v sur l'application h d¶e¯nit un ...

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Extrait

` e3a ConcoursENSAM ESTP EUCLIDE ARCHIMEDE ´ Epreuve de Math´ematiques AMP dur´ee4heures

L’usagedelacalculatricen’estpasautoris´e.

Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleetreuneerreurd’e´nonce´, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’ilestamen´e`aprendre.

Probl`eme Partie I SoitIlleirusee´ffitnerde´rnonepnua`tiuniullvaernt’le´e`eroidnuqtade.ointnsidOncoI: R 00 +y= 0 y)0 ( E 2 1. Montrerque l’ensembledes solutions de ( 0 ) surIestx Acosx+Bsinx(A, B) . R E →| ∈ © R ª On suppose pour queles questions 2 et 3 queIe.r´jouninestlaeletvrnoamedn 2n+1 2. Soitgune solution de ( 0 ) sur l’intervalleIdire des suites (. Que peutong(nπ)) etg(π) ? E ∈ ∈ N n 2 N n 3. Soitgune solution de ( 0 ). On suppose queg(xnie lorsque) tend vers une limitexten ¡ d vers + ¢ . Montrerquegest E ∞ la fonction nulle.

Partie II Dans cette partie, on note ∞ vectoriel des fonctions de classele espace( ) ∞ .selusr`aetlevasrurel´e R RR C 4 C On note=e 1 , e 2 , e 3 , e 4 la base canonique de: R C {} e 1 = (1,0,0,0), e 2 = (0,1,0,0), e 3 = (0,0,1,0), e 4 = (0,0,0,1). 4 Soitv= (a, b, c, d) dans. On noteh v ontied´pp’acalira:linserup R R h v :x(ax+b) cosx+ (cx+d) sinx. 7→ 4 On noteVl’ensemble des applicationsh v lorsquevparcourt . R 1. MontrerqueVdeest un sousespace vectoriel ∞ ( ). R C 4 2.De´montrerquel’applicationquienvoielevecteurvsur l’applicationh v eenerttdne´unitomisphormeisV. En R =hh ,h ,h ,est une base deV. de´duireque e 1 e 2 e 3 e 4 B {} 4 3. Soitv= (a, b, c, d) dans. Exprimerl’applih 0 v 0 +h v (x). Onnoteψ(h v ) cette application. cationx(x) R 7→ (i)De´montrerqueψest un endomorphisme deV. (ii)De´terminerlenoyaudeψest le rangde. Quelψ? (iii) Expliciterla matrice deψsur la base deV´e,de´e´einrmteton,duirnd´ebaseeuneqaeu`ela2nE.tsoieimagdel’ B deψ. 4.Onconside`rel’´equationdiffe´rentiellesur: R y 00 +y= cosx( 1 ) E R´esoudrel’e´quationdiffe´rentielle()sur. R 1 E