E3A Mathematiques 3 1999 PC

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E3A Mathematiques 3 1999 PC

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• Publié par: porthos
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Extrait

concours ESTP-ENSAM-ECRIN-ARCHIMEDE Epreuve de MATHEMATIQUES 3 Filie`rePC dur´ee4heures

Lesdeuxprobl`emessontinde´pendants.

Proble`meA

2 ∗ Si (p, q)∈(N),M p,q (Rgnele)d´esiR−irotedlecapsceveas`eatsmceriplignes etq,sa`noenclotsciencoeffi re´elsetM p (R) =M p,p (R). Un´ele´mentdeM p,q (R)tnes´eot(a i,j ),1≤i≤p ,1≤j≤q. p Un vecteur deR ,snadecie,quninotrmasaetoptre´a`asabesacrapM p,1 (Rtteremelos).t´esntnoamˆeparl SiNest une norme surM p,q (R),la suite (A n ),ou`n∈N ,e´´lmenetsde’dM p,q (R) admet une limiteBdans n M p,q (Rmeleeutsie)sle(e´letirealustnisN(A n −B)) apour limite 0 n On note : limA n =B⇔limN(A n −B) = 0 n→+∞n→+∞ Les coefficients de la matrice limiteBsont les limites des coefficients de la matriceA n . Partie I + Onadmettraquel’application,not´eekk,deM p,q (R) dansRe´dr:paiefin q X ∀A∈ M p,q (R),kAk= max|a i,j | 1≤i≤p j=1 ∗ est une norme surM p,q (R),nsdasulaopadeet´euqellet,roupeditetme`ebl∀r∈Nutera(nabuvecuecrisd’´ e´vident): ∀A∈ M p,q (R),∀B∈ M q,r (R),kABk ≤ kAk kBk 1) SiA∈ M p (R) , on note (λ i ) lesvaleurs propres deAdansC ,etρ(A) = max|λ i |. 1≤i≤p 1≤i≤p Montrer que : k ∗k   ∀i∈[1, p],∀k∈N ,|λ i | ≤A N End´eduirequesiAest diagonalisable alors : k limA= 0⇔ρ(A)<1 k→+∞ (0d´esignelamatricenulledeM p (R) ) 2)A∈ M p (R), b∈ M p,1 (R), Ainversible. Onconside`reuneme´thodeder´esolutionapproche´edel’e´quationAx=b,`oubonn´eetsedtxest l’inconnue. On de´composelamatriceAsous la formeA=M−No,u`MetNedstnemesont´el´deuxM p (R) , avecMinversible −1 etM Ndiagonalisable. −1−1 L’e´quationAx=but`a´equivax=M Nx+M b.   (n) Onde´finitunesuited’´ele´mentsdeM p,1 (R), xo`u,n∈Npar : n (0) (n+1)−1 (n)−1 x∈ M p,1 (R) et∀n∈N , x=M Nx+M b (n) (0) a) Exprimerxen fonction deM, N, xet de la solutionxnioatque´’ledAx=b.   (n) b)Donneruneconditionn´ecessaireetsuffisantepourquelasuitexconverge versx. n Partie II On donne la matriceA∈ M p (R).   2−1 0. . . .0 −1 2−1 0. . . . 0−1 2. . . . . .0. .−1. . . A= . . .−1 2. . . . . . . . .−1 0     . . . . .−1 2−1 0 0. . .0−1 2

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