E3A mathematiques 3 1999 pc classe prepa pc

Description

concours ESTP-ENSAM-ECRIN-ARCHIMEDEEpreuve de MATHEMATIQUES 3Filiere PCduree 4 heuresLes deux problemes sont independants.Probleme A2Si (p; q)2 (N ) ; M (R) designe le R espace vectoriel des matrices a p lignes et q colonnes, a coe cien tsp;qreels etM (R) =M (R) :p p;pUn element deM (R) est note (a ) ; 1 i p ; 1 j q:p;q i;jpUn vecteur de R ; rapporte a sa base canonique, et sa matrice dansM (R) sont notes par la m^eme lettre.p;1Si N est une norme surM (R) ; la suite (A ) ; ou n2 N ; d’elements deM (R) admet une limite B dansp;q n p;qnM (R) si et seulement si la suite reelle (N (A B)) a pour limite 0p;q n nOn note :lim A = B , lim N (A B) = 0n nn!+1 n!+1Les coe cien ts de la matrice limite B sont les limites des coe cien ts de la matrice A :nPartie I+On admettra que l’application, noteekk ; deM (R) dans R de nie par :p;qqX8A2M (R) ; kAk = max ja jp;q i;j1ipj=1est une norme surM (R) ; adoptee dans la suite du probleme et telle que ,8r2 N ( avec un abus d’ecriturep;qevident ) :8A2M (R) ; 8B2M (R) ; kABkkAkkBkp;q q;r1) Si A2M (R) , on note ( ) les valeurs propres de A dans C ; et (A) = max jj :p i i1ip1ipMontrer que : k k 8i2 [1; p] ; 8k2 N ; jj AiNEn deduire que si A est diagonalisable alors :klim A = 0 , (A) < 1k!+1( 0 designe la matrice nulle deM (R) )p2) A2M (R) ; b2M (R) ; A inversible.p p;1On considere une methode de resolution approchee de l’equation Ax = b , ou b est donne ...

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Extrait

concours ESTP-ENSAM-ECRIN-ARCHIMEDE Epreuve de MATHEMATIQUES 3 Filie`rePC dur´ee4heures

Lesdeuxprobl`emessontinde´pendants.

Proble`meA

2 ∗ Si (p, q)∈(N),M p,q (Rgnele)d´esiR−irotedlecapsceveas`eatsmceriplignes etq,sa`noenclotsciencoeffi re´elsetM p (R) =M p,p (R). Un´ele´mentdeM p,q (R)tnes´eot(a i,j ),1≤i≤p ,1≤j≤q. p Un vecteur deR ,snadecie,quninotrmasaetoptre´a`asabesacrapM p,1 (Rtteremelos).t´esntnoamˆeparl SiNest une norme surM p,q (R),la suite (A n ),ou`n∈N ,e´´lmenetsde’dM p,q (R) admet une limiteBdans n M p,q (Rmeleeutsie)sle(e´letirealustnisN(A n −B)) apour limite 0 n On note : limA n =B⇔limN(A n −B) = 0 n→+∞n→+∞ Les coefficients de la matrice limiteBsont les limites des coefficients de la matriceA n . Partie I + Onadmettraquel’application,not´eekk,deM p,q (R) dansRe´dr:paiefin q X ∀A∈ M p,q (R),kAk= max|a i,j | 1≤i≤p j=1 ∗ est une norme surM p,q (R),nsdasulaopadeet´euqellet,roupeditetme`ebl∀r∈Nutera(nabuvecuecrisd’´ e´vident): ∀A∈ M p,q (R),∀B∈ M q,r (R),kABk ≤ kAk kBk 1) SiA∈ M p (R) , on note (λ i ) lesvaleurs propres deAdansC ,etρ(A) = max|λ i |. 1≤i≤p 1≤i≤p Montrer que : k ∗k   ∀i∈[1, p],∀k∈N ,|λ i | ≤A N End´eduirequesiAest diagonalisable alors : k limA= 0⇔ρ(A)<1 k→+∞ (0d´esignelamatricenulledeM p (R) ) 2)A∈ M p (R), b∈ M p,1 (R), Ainversible. Onconside`reuneme´thodeder´esolutionapproche´edel’e´quationAx=b,`oubonn´eetsedtxest l’inconnue. On de´composelamatriceAsous la formeA=M−No,u`MetNedstnemesont´el´deuxM p (R) , avecMinversible −1 etM Ndiagonalisable. −1−1 L’e´quationAx=but`a´equivax=M Nx+M b.   (n) Onde´finitunesuited’´ele´mentsdeM p,1 (R), xo`u,n∈Npar : n (0) (n+1)−1 (n)−1 x∈ M p,1 (R) et∀n∈N , x=M Nx+M b (n) (0) a) Exprimerxen fonction deM, N, xet de la solutionxnioatque´’ledAx=b.   (n) b)Donneruneconditionn´ecessaireetsuffisantepourquelasuitexconverge versx. n Partie II On donne la matriceA∈ M p (R).   2−1 0. . . .0 −1 2−1 0. . . . 0−1 2. . . . . .0. .−1. . . A= . . .−1 2. . . . . . . . .−1 0     . . . . .−1 2−1 0 0. . .0−1 2

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