EDHEC 2006 concours ECE mathématiques

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EDHEC 2006 concours ECE mathématiques

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• Publié par: aramis
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• Langue: Français

Extrait

         ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD  Concours d'admission sur classes préparatoires ___________________  MATHEMATIQUES Option économique  Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h ___________________     La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.  L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.   Exercice 1 Soitflendomorphisme de IR  3 dont la matrice dans la base canoniqueBde IR  3 est : A=      −2 1 12 − 4 0 8− 3 7 6      . On noteIla matrice unité deM 3 (IR) et on poseu= (2,  1,  2). 1) a) Montrer que Ker  f= vect(u).  b) La matriceAest-elle inversible ? 2) a) Déterminer le vecteurvde IR  3 , dont la 2 ème coordonnée dansBvaut 1, et tel quef  (v) = u.  b) Démontrer que le vecteurwde IR  3 , dont la 2 ème coordonnée dansBvaut 1, et qui vérifie f  (w) =vestw= (0, 1, 1).  c) Montrer que (u,v,w) est une base de IR  3  lon notera queB. On noteP matrice de la passage de la baseBà la baseB. 3) a) Écrire la matriceNdefrelativement à la baseB. En déduire la seule valeur propre def. Lendomorphismefest-il diagonalisable ?  b) Donner la relation liant les matricesA,N,PetP  1 , puis en déduire que, pour tout entier ksupérieur ou égal à 3, on a :A  k = 0. 4) On noteC N (respectivementC A ) lensemble des matrices deM 3 (IR) qui commutent avecN (respectivementA).  a) Montrer queC N est un sous-espace vectoriel deM 3 (IR) et queC N = vect  (I,N,N  2 ). On admet queC A est aussi un sous-espace vectoriel deM 3 (IR).  b) Établir que :M∈C A ⇔P  1 M  P∈C N  . En déduire queC A  = vect  (I,A,A 2 )  . Quelle est la dimension deC A ?

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