EML 2003 mathematiques classe prepa hec (ece)

Description

\\\\\\\\\\\\\\\Programme ESC de l’E.M.Lyon Concours d’entrée 2003 EXERCICE 1 On note M ( ) l’ensemble des matrices réelles d’ordre 3 et on considère les matrices suivantes de 3M ( ) : 3100 111I= 0 1 0 et A= 1 0 0 . 001 100Première partie 3 31. Calculer A² et A , puis vérifier : A =A²+2A. 2. Montrer que la famille (A, A²) est libre dans M ( ) . 33. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, il existe un couple unique (a ,b ) de n nnnombres réels tel que : A =a A+b A², et exprimer a et b en fonction de a et b . n n n+1 n+1 n n4. Ecrire un programme, en Pascal, qui calcule et affiche a et b pour un entier n donné supérieur n nou égal à 1. 5. a. Montrer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : a =a +2a . n+2 n+1 n b. En déduire a et b en fonction de n, pour tout entier n supérieur ou égal à 1. n nn c. Donner l’expression de A en fonction de A, A², n, pour tout entier n supérieur ou égal à 1. Seconde partie 3 3On note f l’endomorphisme de , dont la matrice, relativement à la base canonique (e , e , e ) de , 1 2 3est A. 1. Déterminer une base de Im(f) et donner la dimension de Im(f). 2. a. Est-ce que f est diagonalisable ? b. Est-ce que f est bijectif ? 3. Déterminer les valeurs propres de f, et donner, pour chaque sous-espace propre de f, une base de ce sous-espace propre. 4. Déterminer une matrice diagonale D, dont les termes diagonaux sont dans l’ordre réel croissant, et une ...

Informations

• Publié par: aiolos
• Nombre de lectures: 525
• Langue: Français

Extrait

Programme ESC de l’E.M.Lyon Concours d’entrée 2003 EXERCICE 1 On noteM 3 ( \ ) l’ensemble des matrices réelles d’ordre 3 et on considère les matrices suivantes de M 3 ( \ ) :  1 0 0   11 1     I= 01 0 etA= 10 0 .       0 0 11 0 0    Première partie 3 3 1.Calculer A² et A , puis vérifier : A =A²+2A. 2.Montrer que la famille (A, A²) est libre dansM 3 ( \ ) . 3.Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, il existe un couple unique (a n ,b n ) de n nombres réels tel que : A =a n A+b n A², et exprimer a n+1 et b n+1 en fonction de a n et b n . 4.Ecrire un programme, en Pascal, qui calcule et affiche a n et b n pour un entier n donné supérieur ou égal à 1. 5.a. Montrer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : a =a+2a . n+2 n+1n  b.En déduire a n et b n en fonction de n, pour tout entier n supérieur ou égal à 1. n  c.Donner l’expression de Aen fonction de A, A², n, pour tout entier n supérieur ou égal à 1. Seconde partie 3 3 On note f l’endomorphisme de \ , dont la matrice, relativement à la base canonique (e 1 , e 2 , e 3 ) de \ , est A. 1.Déterminer une base de Im(f) et donner la dimension de Im(f). 2.a. Est-ce que f est diagonalisable ? b. Est-ce que f est bijectif ?  3.Déterminer les valeurs propres de f, et donner, pour chaque sous-espace propre de f, une base  dece sous-espace propre. 4.Déterminer une matrice diagonale D, dont les termes diagonaux sont dans l’ordre réel croissant, et une matrice inversible P dont la troisième ligne est formée de termes tous égaux à -1 -1 1, telle que A=PDP, et calculer P. 5.Déterminer l’ensemble des matrices M deM 3 ( \ ) telles que : AM +MA = 0 . Exercice 2 * On note e=exp(1) et \ + =]0,+∞[. * * On note, pour tout nombre réel a non nul, l’application f a : \ x \ + —> \ définie par : -x xe * * ∀(x,y)∈\x\,f (x,y)=- . + +a a Les deux parties de l’exercice sont indépendantes entre elles. Première partie Dans cette partie, on prend a=-e et on note g à la place de f -e . * * Ainsi, l’application g \ + x \ + —> \ est définie par : -x xe * * ∀(x,y)∈\ + x\ + ,f a (x,y)=+ . e * * 1.Montrer que g est de classe C² sur \ + x \ + .