ENAC 2004 recrutement d eleves pilote de ligne mathematiques

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6Question li´ees : 1 `a 18; 19 `a 22; 23 `a 29; 30 `a 32- PARTIE I -Pour n∈N, on d´efinit la fonction f par :n∗f :R →Rn +nx lnxsi x=12x7→f (x) =n x −1k si x = 1nou` k est un r´eel fix´e et ln d´esigne la fonction logarithme n´ep´erien. On notera C la courben nrepr´esentative de f dans un rep`ere orthonorm´e. n d´esignera un entier naturel dans cette partie.nQuestion 1 : Le d´eveloppement limit´e de la fonction ln(1+x) a` l’ordre 3 au voisinage de 0 s’´ecrit, εd´esignant une fonction telle que limε(x) = 0x→02 3 2 3x x x x3 3a) 1+x− + +x ε(x) b) x+ + +x ε(x)2 3 2 32 3 2 3x x x x3 3c) x− + +x ε(x) d) x− + +x ε(x)2 3! 2 31Question 2 : Le d´eveloppement limit´e de la fonction `a l’ordre 2 au voisinage de 0 s’´ecrit, ε2+ud´esignant toujours une fonction telle que limε(u) = 0u→02 2u u 1 u u2 2a) 1− + +u ε(u) b) + + +u ε(u)2 4 2 4 82u u 1 u2 2c)− + +u ε(u) d) − +u ε(u)4 8 2 4Question 3 : Le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de la fonction f au voisinage de 1 est alors, ε ´etant0 0une fonction v´erifiant limε (x) = 00x→1x−1 52 2a) 1− + (x−1) +(x−1) ε (x)02 121 x−1 52 2b) − + (x−1) +(x−1) ε (x)02 2 1221 2x−1 10x −9x+3 2c) − + +x ε (x)02 4 241 x 52 2d) − + x +x ε (x)02 2 12Question 4 : Pour tout entier n strictement positif, on a∗ n ∗a) f (x) =f (x) ∀x∈R b) f (x) =x f (x) ∀x∈Rn 0 n 0+ +net le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de la fonction x au voisinage de 1 s’´ecrit, εd´esignant une fonction telle que limε(x) = 0x→1n(n−1) 2 2c) ...

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Extrait

Questionli´ees:1`a18;19a`22;23`a29;30`a32 - PARTIE I - Pourn∈Nlafofinitonnctio,e´dnf n par : ∗ →R f n :R + n xlnx six6=1 2 x7→f n (x) = x−1 k n six= 1 ou`k n lexfie´teseutrne´nelafonclnd´esightir´nemnoitagolnn.Oerot´eepenriaC n la courbe repr´esentativedef n ohtroere`pernusnda.´ermnonnadltecsapeteitrunratiennaerretu.neigesd´ Question 1 :+1(folade´elnontincevolppmeneltmitiLed´exla`)a3erdro’,tceirsinauvoi0s’´gedeε de´signantunefonctiontellequelimε(x) = 0 x→0 2 32 3 x xx x 3 3 a) 1+x−+ +x ε(x) b)x+ + +x ε(x) 2 32 3 2 32 3 x xx x 3 3 c)x−+ +x ε(x) d)x−+ +x ε(x) 2 3!2 3 1 Question 2 :aue2droraginisvoe´’s0ede,tircltolpipme´emveendeLleadit´eitnoofcna`’lε 2 +u d´esignanttoujoursunefonctiontellequelimε(u) = 0 u→0 2 2 u u1u u 2 2 a) 1−+ +u ε(u) b)++ +u ε(u) 2 42 48 2 u u1u 2 2 c)−+ +u ε(u) d)−+u ε(u) 4 82 4 Question 3 :tcnonoievd´Letnilim´tlepoepemre2delafe`al’ordf 0 au voisinage de 1 est alors,ε 0 ntta´e une fonctionire´vtnafilimε 0 (x) = 0 x→1 x−1 5 2 2 a) 1−+ (x−1) +(x−1)ε 0 (x) 2 12 1x−1 5 2 2 b)−+ (x−(1) +x−1)ε 0 (x) 2 2 12 2 1 2x−1 10x−9x+ 3 2 c)−+ +x ε 0 (x) 2 424 1x5 2 2 d)−+x+x ε 0 (x) 2 2 12 Question 4 :Pour tout entiernstrictement positif, on a ∗n∗ a)f(x) =f(x)∀x∈Rb)f( n0 +n x) =x f 0 (x)∀x∈R + n etled´eveloppementlimite´`al’ordre2delafonctionxgena1sdeuvasioice´’,tirε de´signantunefonctiontellequelimε(x) = 0 x→1 n(n−1) 2 2 c) 1+nx+x+x ε(x) 2 n(n−1) 2 2 d) 1+n(x−1) +(x−(1) +x−1)ε(x) 2 Question 5 :Pourn∈N`elaim´tera2o’drsinauvoi1delgedeoitcnofael,nevd´opelmepelintf n est alors, aveclimε n (x) = 0 x→1 2 1n−1 3n−9n+ 5 2 2 a)−(x−1) +(x−1) +(x−1)ε n (x) 2 212 2 n−1 3n−9n+ 5 2 2 b) 1+ (x−(1) +x−(1) +x−1)ε n (x) 2 12 2 1n−1 3n+ 9n+ 5 2 2 c) +(x−1) +(x−(1) +x−1)ε n (x) 2 212 1