Esc 2003 mathematiques classe prepa hec (s) mathematiques 2003 classe prepa hec (s)

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g2. u0u2u0dun100p. ph222h0228210221g300p2212. 1111122n3n2n2p1201 .1n2n0np1. pn1121210gg11EXERCICE 1 f I R t ˛ I R , f ( t ) = t - tp ( + )p p ] [ q ˛] [ , ( q) = q) . p ] [ t = ( q) que f f . f X - . E ( ) . +¥- pt t dt . =+¥ +¥-pt -ptt t dt dt . =- t - tfi+¥+ +3. - ( + ) t+ + k - kt ˛ I t ˛ I R , = ( - ) + ( - ) . - t - t+ + k =Ø ø- ( + ) t+ + k - ( k + ) tŒ œ ˛ I et t ˛ I R f ( t ) = ( - ) + ( - ) . - tp Œ œ+ k =º ß+¥ k( - ) X ue ( X ) = . p ( + )k = et N . A = ) x x f , f ( ) = ( ) . A A B = - ) f , f ( ) = f ( - ) . B B Aæ C = A + B = Ł ł+¥ l'i f ( - ) f )) . B A-t = . X . suit la même loi que C Vérifier que C en déduire une densité de e En effectuant dans cette intégrale le changement de variable òuy (ln( ln ntégrale y Calculer pour tout réel strictement positif V÷ ç ln C la variable aléatoire à densité Soit (c)ö Ux x x telle que pour tout réel une densité able aléatoire à densité admettant est une vari V ln( Montrer que la variable aléatoire (b)e e x x telle que pour tout réel une densité est une variable aléatoire à densité admettant U ln( able aléatoire Montrer que la vari (a)V et de U une densité de ( 0 ; 1 ) . On note une loi normale centrée réduite deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé et suivant V U 4. Soient k å V ...

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• Publié par: aiolos
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Extrait

EXERCICE 1  

On considère la fonction f  définie sur IR  tout Pourpar : tÎIR,f(t)= p t 2 + -t . (e e) 1. (a) Soit la fonction g définie sur ] 0;  2 p [ par : tout Pour q Î] 0;  2 p [ ,g(q)=ln(tanq) .  Montrer que g  est de classe C 1 sur ] 0; p 2 [ et calculer sa dérivée.  (b) En déduire grâce au changement de variable t=g(q) que f  est une densité de probabilité.  On note dans toute la suite X  une variable aléatoire admettant une densité égale à  f .   (c) Montrer que f est paire , puis que X  admet une espérance et que celle-ci est nulle.

2.Ce paragraphe établit des préliminaires au calcul de la variance de X .Soit p  un entier naturel non nul.  (a) Soit Y  une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de paramètre p .  Donner l'espérance et la variance de Y . En déduire l'espérance E(Y 2 ) . On note = ¥ 2 d  (b) J p ò 0 + t e -pt t . Déduire du (a) la convergence et la valeur de J p en fonction de p . t +¥ t 2 e - p dt co  (c) Montrer que l'intégrale ò 0 1+e -2t nverge et que p l ® im +¥ ò 0 +¥ 1 t + 2 e e - - pt 2t dt = 0 . 3.dans ce paragraphe la variance deOn exprime X  à l'aide d'une série. n Î I  pour tout. Montrer que ÎIR + - + - + + - -  (a) Soit N t , 1+ 1 e -2t =( 1) n1 e 1+ 2(n e -2 1 t )t k å n =0 ( 1) k e 2kt . é n + - n + t n  k-2k+1t ù = ê ú p ê -+ å ú -  (b) En déduire que pour n Î IN et t Î IR +  : f(t ) 2 ë ( 1) 1 e 1+ (2 e - 3 2t ) k=0 ( 1)e ( ) û .  Montrer finalement que X admet une variance et que = 8 p + å ¥ (-1) k 3  (c) V(X) . k=0 (2k+1)

4. SoientU etV deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé et suivant  une loi normale centrée réduiteN0 ; 1 ) . On note( h une densité deU et deV.  (a) Montrer que la variable aléatoire A=ln(U) est une variable aléatoire à densité admettant  une densité f A telle que pour tout réelx , f A (x)=2e x h(e x ) .  (b) Montrer que la variable aléatoire B= -ln(V) est une variable aléatoire à densité admettant  une densité f B telle que pour tout réelx , f B (x)=f A (-x) .

 

 

(c)

 

   

SoitC la variable aléatoire à densité C=A+B=ln æ è ç V Uö ø ÷. Calculer pour tout réel strictement positify l'intégrale ò 0 +¥ u 1 f B (-lnu)f A (ln(uy))du . En effectuant dans cette intégrale le changement de variable u=e -t en déduire une densité de C . Vérifier que C  suit la même loi que X .