Esc 2004 mathematiques classe prepa hec (s) mathematiques 2004 classe prepa hec (s)

Description

EXERCICE 1 On munit (IR) du produit scalaire canonique. On donne les matrices suivantes : 3,1Ø- 2 - 2 2 ø Ø 1 0 - 2ø Ø2ø Ø- 2øŒ œ Œ œ Œ œ Œ œ A = - 2 1 - 4 B = - 1 1 0 V = 2 V = 11 2Œ œ Œ œ Œ œ Œ œŒ 2 - 4 1 œ Œ 0 - 2 4 œ Œ1œ Œ 2 œº ß º ß º ß º ßO désigne la matrice colonne nulle d'ordre 3. I désigne la matrice identité ( matrice unité ) d'ordre 3. Lorsque l est une valeur propre d'une matrice carrée C , on notera E (l) le sous-espace propre associé. CSoit l'application f de (IR ) définie pour toute matrice M de (IR ) par f(M) = BM - MA. 3 31. (a) Montrer que les valeurs propres de A sont -3 et 6. Déterminer E (-3) et E (6) . A A(b) Montrer que 0 est valeur propre de B et déterminer E (0) . Montrer que E (0) Ì E (-3) . B B A(c) Montrer que 3 est valeur propre de B et déterminer E (3) . Montrer que E (3) Ì E (-3) . B B A(d) Montrer que (V ,V ) est une base orthogonale de E (-3) formée de vecteurs propres de B. 1 2 AVEn déduire une matrice colonne d'ordre 3 notée et de première coordonnée égale à 1 3telle que (V V V ) soit une base orthogonale de IR formée de vecteurs propres de A . , , ( )1 2 3 3,1(e) Exprimer BV en fonction de V et V . 3 2 30 0 0Ø øŒ œEn déduire que la matrice B est semblable à la matrice 0 3 3 . Œ œŒ œ0 0 3º ß2. (a) Montrer que f est un endomorphisme de (IR) . 3(b) Soit H une matrice carrée d'ordre 3 élément de Ker ( f ). Montrer que (B + 3I )HV = O , (B + 3I )HV = O et (B - ...

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• Langue: Français

Extrait

EXERCICE 1

On munit

)

(

1

,

3

R

I

du produit scalaire canonique. On donne les matrices suivantes :





















-

-

-

-

-

=

1

4

2

4

1

2

2

2

2

A





















-

-

-

=

4

2

0

0

1

1

2

0

1

B





















=

1

2

2

1

V





















-

=

2

1

2

2

V

O

désigne la matrice colonne nulle d'ordre 3.

I

désigne la matrice identité ( matrice unité ) d'ordre 3.

Lorsque

λ

est une valeur propre d'une matrice carrée

C

, on notera

)

(

λ

C

E

le sous-espace propre associé.

Soit l'application

φ

de

)

(

3

R

I

définie pour toute matrice

M

de

)

(

3

R

I

par

MA

BM

M

-

=

φ

)

(

.

1.

(a)

Montrer que les valeurs propres de

A

sont

-3

et

6. Déterminer

)

3

(

-

A

E

et

)

6

(

A

E

.

(b)

Montrer que

0

est valeur propre de

B

et déterminer

)

0

(

B

E

. Montrer que

)

3

(

)

0

(

-

⊂

A

B

E

E

.

(c)

Montrer que

3

est valeur propre de

B

et déterminer

)

3

(

B

E

. Montrer que

)

3

(

)

3

(

-

⊂

A

B

E

E

.

(d)

Montrer que

(

)

2

1

,

V

V

est une base orthogonale de

)

3

(

-

A

E

formée de vecteurs propres de

B

.

En déduire une matrice colonne d'ordre

3

notée

3

V

et de première coordonnée égale à

1

telle que

(

)

3

2

1

,

,

V

V

V

soit une base orthogonale de

)

(

1

,

3

R

I

formée de vecteurs propres de

A

.

(e)

Exprimer

3

BV

en fonction de

2

V

et

3

V

.

En déduire que la matrice

B

est semblable à la matrice





















3

0

0

3

3

0

0

0

0

.

2.

(a)

Montrer que

φ

est un endomorphisme de

)

(

3

R

I

.

(b)

Soit

H

une matrice carrée d'ordre 3

élément de

Ker (

φ

).

Montrer que

O

HV

I

B

=

+

1

)

3

(

,

O

HV

I

B

=

+

2

)

3

(

et

O

HV

I

B

=

-

3

)

6

(

.

En déduire

O

HV

=

1

,

O

HV

=

2

et

O

HV

=

3

et que

φ

est un isomorphisme de

)

(

3

R

I

.

3. Soient

a

et

b

deux valeurs propres respectives de

A

et de

B

.

Soit

X

un vecteur propre de

A

associé à

a

et

Y

un vecteur propre de

B

associé à

b

.

Montrer que

X

Y

t

est non nulle et calculer

)

(

X

Y

t

φ

. En déduire que

b

-

a

est valeur propre de

φ

.

4. Soit

λ

une valeur propre de

φ

. Soit

M

une matrice carrée vecteur propre de

φ

associée à la valeur propre

λ

.

(a)

Montrer que :

O

MV

I

B

=

-

λ

-

1

)

)

3

(

(

,

O

MV

I

B

=

-

λ

-

2

)

)

3

(

(

et

O

MV

I

B

=

+

λ

-

3

)

)

6

(

(

.

(b)

Montrer que :

si

O

MV

≠

1

alors

3

-

λ

est valeur propre de

B

.

si

O

MV

≠

2

alors

3

-

λ

est valeur propre de

B

.

si

O

MV

≠

3

alors

6

+

λ

est valeur propre de

B

.

(c)

En remarquant que

O

M

≠

, montrer que

3

2

1

,

,

MV

MV

MV

ne peuvent pas être tous nuls.

En déduire que

λ

est la différence d'une valeur propre de

B

et d'une v

aleur propre de

A

.

Donner finalement l'ensemble des valeurs propres de

φ

.