Escp eap 1999 mathematiques i classe prepa hec (ecs) mathematiques i 1999 classe prepa hec (ecs)

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLEDES HAUTESETUDESCOMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLESUPERIEURE DECOMMERCE DELYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION SCIENTIFIQUEMATHEMATIQUESILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document: l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Dans tout le probl`eme l’esp´erance d’une variable al´eatoire Y sera not´ee E(Y). Tous les polynˆomes de ce probl`emesont `a coefficients r´eels.Pour tout entier naturelk, on noteE l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e au plusk. A tout entier naturelnknon nul et `a toute suite (s ,s ,...,s ) de 2n+1 r´eels, on associe les applications Φ et S d´efinies de la mani`ere0 1 2n n nsuivante:n nP Pi jpour tout ´el´ement (A,B) de E ×E avec A = a X et B = b X , on posen n i ji=0 j=0n nXX XΦ (A,B) = a b s = a b sn i j i+j i j i+ji=0 j=0 0≤i,j≤n2n 2nP Piet, pour tout polynˆome C ´el´ement de E , avec C = c X , on pose S (C) = c s .2n i n i ii=0 i=01.(a) V´erifier que, pour tout entier naturel n, Φ est une forme bilin´eaire ...

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION SCIENTIFIQUE MATHEMATIQUES I

Lapre´sentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapre´cisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument:l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’uner`eglegradu´eeestautoris´ee.

Danstoutleproble`mel’espe´ranced’unevariableale´atoireYsreanot´eeE(Yemoˆcedspselnylomeroep`ebl).Tous sont`acoefficientsre´els. Pour tout entier naturelk, on noteE k apec’lseroeievtcrgeduae´sulpesldlypoomnˆdeesk. A tout entier natureln nonnulet`atoutesuite(s 0 ,s 1 , . . . ,s 2n ) de 2nsΦtionlicaasppeielsscoo,anlseer´+1 n etS n deermale`inanfie´dsei suivante : n n P P i j pourtoute´le´ment(A,B) deE n ×E n avecA=a i XetB=b j X, on pose i=0j=0 n n X XX Φ n (A,B) =a i b j s i+j =a i b j s i+j i=0j=0 0 ≤i,j≤n 2n2n P P i et,pourtoutpolynoˆmeCe´´letdenemE 2n , avecC=c i X, on poseS n (C) =c i s i . i=0i=0 1. (a)V´erifierque,pourtoutentiernatureln, Φ n roemnufe´naeibilym´eiresuesutriqrsteE n ×E n . (b)Ve´rifierque,pourtoutentiernatureln,S n ilemae´nnutsrofeeiresurE 2n mene(tottue´´let,pourA,B) i deE n ×E n Φ:e´tilage´’lrveoupr, n (A,B) =S n (ABre´delreosacu`noisapcrecarmmneonco)(A=Xet j B=Xavec 0≤i,j≤n.) 2. Deuxcas particuliers (a) Danscette sous-question on suppose quen= 1 ets 0 = 1,s 1 ets 2 ´teqmueete´tealnqruteousl.cPoonu´tn 2 (a,b) deR´eitaleg’´rlfiee´irv 2 22 Φ (aX+b, aX+b) = (b+as) +a( ) 1 1 s 2 −s 1 Ende´duireuneconditionn´ecessaireetsuffisante,portantsurlesr´eelss 1 ets 2 , pour que l’application Φ 1 soit un produit scalaire surE 1 ×E 1 .

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