ESSEC 2004 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

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ESSEC 2004, math 1, option scientifiqueNotations Dans ce probl`eme, on d´esigne par n un nombre entier naturel non nul et on convientnd’identifier tout vecteur X deR a` la matrice-colonne de ses composantes x ,x ,...,x dans la1 2 nnbase canonique deR , c’est a` dire : x1x 2 X = . ..xntLa transpos´ee d’une telle matriceX est la matrice-ligne X = (x ,x ,...,x ). Le produit scalaire1 2 nncanonique d’un vecteur X et d’un vecteur Y deR est alors ´egal a` :nXthX,Yi = XY = x yi ii=1pLa norme euclidienne de X est d´efinie par ||X|| = hX,Xi et on dira qu’une suite de vecteursn n(X ) deR converge vers un vecteur X deR si la suite ||X −X|| converge vers 0.p pPour finir, on d´esigne par- I la matrice-identit´e d’ordre n- A une matrice sym´etrique r´eelle d’ordre n.Partie I : Etude d’une suite de vecteursn1) Dans cette question, on note C un vecteur non nul de composantes c ,c ...,c deR .1 2 nt ta) Expliciter le produit matriciel C C. La matrice C C est-elle diagonalisable?t 2 tb)Exprimer (C C) en fonction de C C et de la norme de C.t 2c) En d´eduire que toute valeur propre de C C est ´egale a` 0 ou a` ||C|| .d)Pr´eciser le sous-espace propre associ´e a` 0.t 2Calculer C CC en fonction de C et pr´eciser le sous-espace propre associ´e a` ||C|| .te) En d´eduire la nature de l’endomorphisme canoniquement associ´e `a la matrice C C. Montrerqu’il s’agit d’une projection orthogonale lorsque le vecteur C est unitaire.n2) Dans cette question, on d´esigne par ...

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ESSEC 2004, math 1, option scientifique

NotationsDansceproble`me,onde´signeparnun nombre entier naturel non nul et on convient n d’identifier tout vecteurXdeR`lamaolonnedeatrice-ctnassecsesopmox 1 , x 2 , . . . , x n dans la n base canonique deRe:adirest`,c’   x 1 x 2   X=   . x n t Latranspose´ed’unetellematriceXest la matrice-ligneX= (x 1 , x 2 , . . . , x n ). Le produit scalaire n canonique d’un vecteurXet d’un vecteurYdeRe´agolsresta`l:a n X t hX, Yi=XY=x i y i i=1 p La norme euclidienne deXe´nfieiaprsedt||X||=hX, Xiet on dira qu’une suite de vecteurs n n (X p ) deRconverge vers un vecteurXdeRsi la suite||X p −X||converge vers 0. Pourfinir,ond´esignepar -Intit´ed’ordretamaledi-ecirn -Aquri´eerleelord’erdnumetairecys´mten.

Partie I :Etude d’une suite de vecteurs

n 1)Dans cette question, on noteCun vecteur non nul de composantesc 1 , c 2 . . . , c n deR. t t a)Expliciter le produit matricielC C. La matriceC C?est-elle diagonalisable t 2t b)Exprimer (C C) enfonction deC Cet de la norme deC. t 2 c)edoutevaleurproprenEde´deriuteuqC Cetse´agela`a`uo0||C||. d)0.´e`aosicersarppoapecess-ouesrlseci´erP t 2 CalculerC CCen fonction deCoci´e`aorrpaesse-pscapeleerussor´tpisece||C||. t e)icerelanatuEnd´eduiodomprihered’lneueiqntmeecsmonanala`rtamossae´icC C. Montrer qu’il s’agit d’une projection orthogonale lorsque le vecteurCest unitaire. n 2)Danscettequest,noi´dnogiseapenrXetYdeux vecteurs deR. ´ t tt t2 tt tt a)Etablir queXY=Y X,XAY=hX, AYi=hAX, Yi, (XY) =X(Y Y)X=Y(X X)Y. n b)Justifier l’existence d’une base orthonormale de vecteursU 1 , U 2 , . . . , U n deRpour lesquels existentdesre´elsλ 1 , λ 2 , . . . , λ n tels queAU 1 =λ 1 U 1 , AU 2 =λ 2 U 2 , . . . , AU n =λ n U n . c)Exprimer les vecteursXetAXdans la base (U 1 , U 2 , . . . , U n urleueiqs`meorsndielaa’snia) des produits scalaireshU i , XiethU i , AXiu1o`6i6nntvauiest´liga´e:ere’lorvuiupsp, n X 2 hX, AXi=λ i hU i , Xi i=1 d)esllivsutrmaieicetna:sEnd´eduagil´tserilesee´ n n X X t t I=U i U i etA=λ i U i U i i=1i=1 t Reconnaˆıtrelesendomorphismescanoniquementassocie´sauxmatricesU i U i . e)eler´nislagee´tiuissntva:esEnd´edui 2 2 min (λ i )||X||6hX, AXi6max (λ i )||X|| 16i6n16i6n