ESSEC 2005 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

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ESSEC 2005, math I, option scientifiqueNotationsDans tout ce probl`eme, on consid`ere n un entier naturel non nul.tPour toute matrice M , on note M sa transpos´ee.nOn identifie l’espace vectorielR , muni de sa base canonique, a` l’ensemble des matrices colonnesna`n lignes; ainsi pour tout vecteurx deR et pour touti∈ [[1,n]], on notex sai-i`eme coordonn´eei x1x 2 et x = .. ..xnn tOn munit R de son produit scalaire canonique : hx,yi = xy et la norme euclidienne de x estpd´efinie par : ||x|| = hx,xinOn d´esigne par U une partie non vide deR .nA f fonction continue de U dans R, et y vecteur de R , on associe la fonction F d´efinie sur Uynpar : x 7→ hx,yi−f(x) et on note U(f) l’ensemble, ´eventuellement vide, des vecteurs y de Rpour lesquels F admet un maximum.y?Lorsque U(f) est non vide, on appelle fonction conjugu´ee de f la fonction not´ee f d´efinie sur?U(f) par : f (y) = max{F (x)/x∈U}.yPartie IDans cette partie, n = 1 et U est un intervalle deR; ainsi le produit scalaire se confond avec leproduit naturel surR et la fonction F est d´efinie sur l’intervalle U par F (x) =xy−f(x).y y?1) Lorsque U est un segment deR, montrer que f est d´efinie surR.2) Quelques exemples.?Apr`es avoir ´etudi´e les variations de F , pr´eciser U(f) et f dans les cas suivants :y2xa) U =R, f(x) =a ou` a est un r´eel fix´e strictement positif.2α∗ xb)U =R , f(x) = ou` α est un r´eel fix´e strictement sup´erieur `a 1.+ α1 1(on pourra introduire le r´eel β v´erifiant : ...

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ESSEC 2005, math I, option scientifique Notations Danstoutceproble`me,onconsid`erenun entier naturel non nul. t Pour toute matriceM, on noteM.enratpasssoe´ n On identifie l’espace vectorielRmstaeledesbm’lnesonnescolriceinumased,quni`ae,sebanoca n `anlignes ; ainsi pour tout vecteurxdeRet pour touti∈[1, n]], on notex i sai-i`emecoordonn´ee   x 1 x 2   etx= .   . x n nt On munitRde son produit scalaire canonique :hx, yi=xyet la norme euclidienne dexest p de´finiepar:||x||=hx, xi n Onde´signeparUune partie non vide deR. n Affonction continue deUdansR, etyvecteur deR, on associe la fonctionF y usrfinied´eU n par :x7→ hx, yi −f(x) et on noteU(fmesne’l)eve´,elbntuellementvide,edvsceetrusydeR pour lesquelsF y admet un maximum. ? LorsqueU(fedee´ugujnocnoitnoivsent)foncellenappde,ofe´eotnnioctonaflfeiusrde´nfi ? U(f) par :f(y) = max{F y (x)/x∈U}. Partie I Dans cette partie,n= 1 etUest un intervalle deR; ainsi le produit scalaire se confond avec le produit naturel surRet la fonctionF y etvrlaelestd´efiniesurl’inUparF y (x) =xy−f(x). ? 1)LorsqueUest un segment deR, montrer quefriesu´efinestdR. 2)Quelques exemples. ? Apre`savoire´tudi´elesvariationsdeF y r´eciser,pU(f) etfdans les cas suivants : 2 x a)U=R, f(x) =ao`uaif.ositentpctemese´xfiirtsrnutlee´ 2 α ∗ x b)U=R + , f(xo=)`uαreeirua`.1x´lfieer´unste´pustnemetcirtse α 1 1 (onpourraintroduirelere´elβe´vafiir:tn+.=1 α β x c)U=R, f(x) = e. ? ? 3)Pahucuocrcaspndes´eder´ecte´d,stn(renimref.noileuQ´eeditfinemnsedblnsai)nesoueiq constat pouvez-vous faire? 2 4):equsepoupns,ontmenee´arellPsu´gU=Retfest une application de classeCsurR telle que l’image deRtincd´oniveree´etsrapofalR´erifiantpourtouttuoettneiervtxlee´r 00 f(x)>0. ´ 0 a)Etablir quefonder´esnuaeilceitbejiRsurR. 0 On notegonr´catipplil’adeeoruqcepif. b)ssrerdoiavesr`Apavseduaelbatele´del’applriationscitaoinF y assco´i`aeefety, montrer   ? queU(f) =Ret que :∀x∈R, f(x) =xg(x)−f g(x) . ? ?0 Justifierlade´rivabilite´defet exprimer (f) enfonction deg. ? c)idutope´ruApr`esavoir´eyrlee´svleiaarontielsd:onticalipp’ax7→xy−f(xude´dne,)ire ? ? que : (f) =f. Partie II Onrevientauxnotationsdupre´ambule. n 1)On suppose dans cette question que :U=Retf(x) =||x||. n a)Pourtstel´erenemctritifiptsotey∈R, calculerF y (ty)etpce´rresimilF y (ty). t→+∞