Exponentielles d’endomorphisme, intégrales et séries 2009 Classe Prepa MP Ecole Polytechnique

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Examen du Supérieur Ecole Polytechnique. Sujet de Exponentielles d’endomorphisme, intégrales et séries 2009. Retrouvez le corrigé Exponentielles d’endomorphisme, intégrales et séries 2009 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 20 juillet 2009
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• Langue: Français

Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D’ADMISSION 2009

MP FILIÈRE

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. ? ? ?

Exponentielles d’endomorphisme, intégrales et séries

Première partie

∞ ∞ On désigne parC(R)l’espace vectoriel des fonctions réelles, de classeC, d’une variable réelle. On définit comme suit des endomorphismes de cet espace :

∞ 00 •pour toutef∈C(R),(Xf)(x) =xf(x),(Df)(x) =f(x),(Af)(x) =xf(x),

∞t •pour tout nombre réeltet pour toutef∈C(R),(Φ t f)(x) =f(e x).

1.Vérifier que la valeur ent= 0de la dérivée de la fonctiont7→(Φ t f)(x)est égale à(Af)(x). On va maintenant étudier les puissances deAet chercher le sens à donner à la formule exp(tA) = Φ t . n X t n 2.Vérifier que, sifest un polynôme, la série(A f)(x)est convergente et de somme n! n>0 (Φ t f)(x).

n nn−1 3.Montrer que, pour tout entiern >0, on aD X=XD+nD.

4.Montrer que, pour tout entiern >0, il existe des nombres réels positifsµ n,k , k= 1, n, . . ., n X n kk tels queA=µ n,k X D, et exprimerµ n,k en fonction desµ n−1,p , p= 1, . . ., n−1. k=1 Préciser les valeurs deµ n,1 etµ n,n .

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5.On désigne parfun polynôme d’une variable réelle. Démontrer la relation Ñ é n X X t t k(k) ∀t, x∈Rf(e x) =f(x) +µ n,k x f(x). n! k>1n>k

6.Étant donné une suite de nombres réelsa k , k∈N, comparer les rayons de convergence X X k k des séries entièresa k xetka k x. k>0k>0 X k 7.On se donne maintenant une fonction développable en série entièref(x) =a k xde k>0 rayon de convergenceR >0. On admettra la propriété suivante : k X h (k) (P) si|x|< R, la série entière enh:f(x)a un rayon de convergence au moins égal à k! k>0 k X h (k) R− |x|, et, si|h|< R− |x|, on af(x) =f(x+h). k! k>0 7.a)Vérifier que, si|x|< R, il existe un réelγ x >0tel que t |t|< γ x ⇒ |(e−1)x|< R− |x|. ∗ 7.b)Démontrer l’existence de nombres réelsλ n,k , n,k∈N, indépendants defet tels que l’on ait Ñ é n X X t t k(k) ∀x∈]−R, R[,∀t∈]−γ x , γ x [, f(e x) =f(x) +λ n,k x f(x). n! k>1 n>1 7.c)Vérifier que ( µ n,k sik6n λ n,k = 0sik > n .

[On pourra utiliser le résultat de la question5.] n! n 7.d)Montrer que, pour16k6n, on aλ n,k 62. (k−1)! n t k(k) 7.e)On poseZ n,k =λ n,k x f(x). Indiquer deux réelsα >0etη >0tels que n! Ñ é X X |x|< α ,|t|< η⇒ |Z n,k |<+∞. k>1 n>1 n X t n 7.f )Montrer que, si|x|< αet|t|< η, la série(A f)(x)est convergente et de somme n! n>0 (Φ t f)(x).

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Deuxième partie

Dans cette partie, on désigne parFl’espace vectoriel des fonctionsfréelles, d’une variable k réelle, continues et telles que, pour tout entierk>0, la fonctionx7→x f(x)soit bornée.

k 8.Soitfune fonction deF. Montrer que, pour tout entierk>0, la fonctionx7→x f(x) est intégrable surR. Z k On poseram k (f) =x f(x)dx. R 9.Soientfetgdeux fonctions deF. 9.a)Montrer que, pour tout réelx, la fonctiony7→f(x−y)g(y)est intégrable surR. Z On noteraf∗gla fonctionx7→f(x−y)g(y)dy. R 9.b)Montrer quef∗gappartient àFet écrire une formule de la forme k X m k (f∗g) =γ k,p m p (f)m k−p (g), p=0 où lesγ k,p sont des coefficients à déterminer.

On admettra la commutativité et l’associativité de l’opération(f, g)7→f∗g.

Dans la suite du problème, on désigne parF 0 l’ensemble des fonctionsfdeFqui sont positives et telles quem 0 (f) = 1etm 1 (f) = 0.

10.Étant donné des fonctionsf 1 , . . ., f n deF 0 , calculerm 0 (f 1 ∗. . .∗f n )etm 1 (f 1 ∗. . .∗f n ) puis exprimerm 2 (f 1 ∗. . .∗f n )en fonction desm 2 (f i ), i= 1, n, . . ..

Pour tout réela >0, on désigne parT a l’endomorphisme deFdéfini par(T a f)(x) =af(ax).

11.Calculerm k (T a f).

Dans la suite du problème on désigne parf i , i= 1,2, . . ., des fonctions deF 0 , et, pour tout n, on poseF n =f 1 ∗. . .∗f n . On suppose que tous lesm 2 (f i )sont majorés par une même constanteC. Z +∞ 12.a)Montrer que, pour tout réelα >0, les deux intégrales(T n F n )(x)dxet α Z −α (T n F n )(x)dxtendent vers 0 lorsquen→+∞. −∞

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12.b)Étant donné une fonctionhcontinue bornée surR, étudier le comportement de Z h(x)(T n F n )(x)dxlorsquen→+∞. R

[On pourra considérer d’abord le cas oùh(0) = 0.]

2 13.a)Établir une inégalité entrem 4 (f)etm 2 (f)lorsquef∈ F 0 .

13.b)Démontrer la formule, pourn>2, X X m 4 (F n ) =m 4 (f i ) + 6m 2 (f i )m 2 (f j ). 16i6n16i<j6n 13.c)Trouver une condition portant sur lesm 4 (f i )sous laquelle on ait, pour toutα >0, Z +∞ X (T n F n )(x)dx <+∞. α n>1 ∗ ∗ ∗

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