GEIPI mathematiques 2002

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TerminaleS mai2002 Concours Geipi 2002 1. Exercice 1 (9 points) SoitABCuntriangleetA’,B’etC’lesmilieuxrespectifsdescôtés[BC],[AC]et[AB].OnconsidèreOlecentre du cercle circonscrit Γ au triangle ABC, G son centre de gravité et H le point défini paruuuur uuur uuur uuurOH =OA+OB+OC .uuuur uuuur1.ComparerlesvecteursAH etOA' .2.MontrerqueHestl’orthocentredutriangleABC.3.MontrerqueO,HetGsontalignés.4.SoitA lesymétriquedeAparrapportàOetIlemilieude[HA ].1 1uur uuuura.Déterminerleréelα telqueOI=αAH .b.Montrerquelesymétriquedel’orthocentreHparrapportàA’estsurlecercleΓ .2. Exercice 2 (11 points) Dans un système de trois équations à trois inconnues, on notera L , L et L les trois équations du1 2 3système.Danscetexercice,onappelleopérationélémentaire,l’opérationquiconsisteàremplacerl’équationL2parl’équationL −L obtenueensoustrayantmemebreàmembrel’équationL del‘équationL .Cette2 1 1 2opérationélémentaireseranotéeL ←L −L .2 2 12 2 2 21.Factorisera −b etdévelopper a−b a +ab+b .( )( )2.Ondonnetroisréelt ,t ett vérifiantt ≤ t ≤ t .1 2 3 1 2 32 2 t +t x+y= t +t t +t( ) 1 2 1 1 2 2a.Résoudrelesystème(S1) .  2 2(t +t )x+y= t +t t +t 1 3 1 1 3 32 3t x+t y+ z= t1 1 1 2 3b.Soit le système (S2): t x+t y+ z= t . Donner les ...

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  Terminale S           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mai 2002

 

     Soit ABC un triangle et A’, B’ et C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB]. On considère O le centre du cercle circonscritΓ triangle ABC, G son centre de gravité et H le point défini par au     O H=O A+O B+O C.  1. Comparer les vecteursAHetO A'. 2. Montrer que H est l’orthocentre du triangle ABC. 3. Montrer que O, H et G sont alignés. 4. Soit A 1 à O et I le milieu de [HAle symétrique de A par rapport 1 ].  a. Déterminer le réel α tel queO I= α AH. b. Montrer que le symétrique de l’orthocentre H par rapport à A’ est sur le cercleΓ.     

Dans un système de trois équations à trois inconnues, on notera L 1 , L 2  L et 3  trois équations du les système. Dans cet exercice, on appelle opération élémentaire, l’opération qui consiste à remplacer l’équation L 2   par l’équation L 2 − L 1  en soustrayant memebre à membre l’équation L obtenue 1  de l‘équation L 2 . Cette  opération élémentaire sera notéeL 2 ←L 2 −L 1 . 1. Factorisera 2 −b 2 et développer ( a−b ) a 2 +ab+b 2 . 2. On donne trois réel 1 , 2 et 3 vérifiantt 1 ≤t 2 ≤t 3 . a. Résoudre le système (S1)      ( ( t t 1 1 + + t t 3 2 ) ) x x + + y y = = t t 1 2 1 2 + +t t 1 1 t t 2 3 + +t t 2 2 3 2 .   t 2 x+t y+z=t 3  t 1 x t 1 y+z t 1 .ui b. So   les opérations él Donner 2 ) it le système (S2) :    t 2 2 2 3 x + +t 2 3 y+z = =t 3 2 3 3  qémentaires à réaliser sur (S permettent d’utiliser l’étude du système (S 1 ) pour résoudre le système (S 2 ). c. Résoudre le système (S 2 ). 3. Soit α , , trois réels etla fonction polynôme définie parP(t)=t 3 − α t 2 +t−. a. Montrer que si() admet pour racines les réels 1 , 2  et 3  alors α  solutions d’un, et sont système linéaire de trois équations à trois inconnues. b. En déduire alors les valeurs de α , et en fonction de 1 , 2 et 3 .

     Partie A éa ln 1 +b ln 1 ≤ln 2oùetsont deux ré On étudie l’inégalit a b els > 0 tels que+= 1. Pour cela nous étudierons diverses fonctions.     1. Etude d’une fonction : on considère la fonctiondéfinie sur ]0 ; 1[ parg(x)=ln (1−x)−lnx. a. Résoudre l’équation() = 0. b. Etudier le signe de() en fonction de

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