HEC 2003 mathematiques i classe prepa hec (s)

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HEC 2003. Math1 option scientifique.NUAGES DE POINTS ET APPROXIMATION D’UN NUAGEDans tout le probl`eme n et p d´esignent des entiers naturels sup´erieurs ou ´egaux `a 2 et on poseE =M (R).p p;1L’espace E est muni de sa structure euclidienne canonique; la norme euclidienne d’un vecteurpx de E est not´ee jjxjj; le produit scalaire de deux vecteurs x et y de E est not´e hx;yi.p pSi u est un vecteur non nul appartenant `a E , D d´esigne la droite vectorielle engendr´ee par up uet si x est un vecteur de E , P (x) est le projet´e orthogonal de x sur la droite D .p D uu?Si F est un sous-espace vectoriel de E , le suppl´ementaire orthogonal de F dans E est not´e F .p pPour toute matrice A appartenant `aM (R) on note Φ l’application lin´eaire deM (R) dansm;‘ A ‘;1M (R) d´efinie par : 8X 2M (R); Φ (X)=AX.m;1 ‘;1 A⁄Pour tout r appartenant `aN et toute famille (u ) de vecteurs de E , Vect(u ;:::;u ) esti 16i6r p 1 rle sous-espace vectoriel de E engendr´e par les vecteurs u ;:::;u .p 1 rSi g est une fonction d´efinie sur un sous-espace vectoriel F de E et `a valeurs dansR, on d´esigneppar max g(x) ou maxfg(x);x2F et jjxjj=1g le maximum, lorsqu’il existe, de la fonction gx2Fjjxjj=1sur l’ensemble des vecteurs x de F dont la norme est ´egale `a 1.´Partie I: Etude d’un exempleDans cette partie et uniquement dans celle-ci, on suppose que p = 2. On note (u ;u ) la base1 2canonique de E .21) On consid`ere les vecteurs v ;v et v appartenant `a E et dont les coordonn´ees ...

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HEC 2003. Math1 option scientique. NUAGES DE POINTS ET APPROXIMATION D’UN NUAGE Danstoutleproblemenetpagxuauesruoedetdengnsiertieneslerutansirepuss2et on pose E p =M p,1 (R). L’espaceE p est muni de sa structure euclidienne canonique; la norme euclidienne d’un vecteur xdeE p eetnoste||x||; le produit scalaire de deux vecteursxetydeE p onteesthx, yi. SiunetrappaatnateecnvtuulnnnourseE p ,D u rardnepeetcroeteveegneillesigddroinelau et sixest un vecteur deE p ,P D u (x)ogonaldeeteorthtselrpjoexsur la droiteD u . ⊥ SiFest un sous-espace vectoriel deE p thaoigoreemoerntepplnlaelsdu,FdansE p senttoeF. Pour toute matriceAnetrappaatnaM m,` (R)on note A derel’aplpcitaoilnnieiaM `,1 (R)dans M m,1 (R)diner:ape∀X∈ M `,1 (R), A (X) =AX. ∗ Pour toutrapatnanetrapNet toute famille(u i ) 16i6r de vecteurs deE p ,Vect(u 1 , . . . , u r )est le sous-espace vectoriel deE p sruetcedreenngveesrlpau 1 , . . . , u r . Signeidnesnuousurstunectioefonless-cepactveieorFdeE p teavaruelsdansRe,ondesign parmaxg(x)oumax{g(x);x∈Fet||x||= 1}le maximum, lorsqu’il existe, de la fonctiong x∈F ||x||=1 sur l’ensemble des vecteursxdeFgaleamreetseodtnalon1.  Partie I: Etude d’un exemple Dans cette partie et uniquement dans celle-ci, on suppose quep= 2. On note(u 1 , u 2 )la base canonique deE 2 . 1)rcuoOsnetcevseleredisnv 1 , v 2 etv 3 rtenantapaapE 2 etdonseltroocnnodseensdabalase (u 1 , u 2 ) sont respectivement (1,2),(−3,−1),(2,−1). 0 Onconsidereunreelmet on note, pour toutiataptrapnane{1,2,3},vlarohtgonoprojetele i dev i apeerdnegneelleritoecevitroadrlusru 1 +mu 2 . 020202 a)Calculer en fonction demauqlatitn:e||v||+||v||+||v||. 1 2 3 b)nerlavaleurDtereimm 0 demitntuaeqinteateuqalruopttecelleamixstnoecum;m maximumestnoteλ 1 . µ ¶ 1 –32 2)SoitX.la matrice 2 –1 –1 a)Vequerierλ 1 est une valeur propre de  X X ;u 1 +m 0 u 2 etansoasecirurppoerutvnceet t aλ 1 . b)ueprveDladeeorrp’lrertuaetenimr X X atlacererompaλ 1 . t Partie II: Les axes principaux d’inertie d’un nuage Lesnotationsintroduitesdanscettepartieserontutiliseesdanstoutelasuiteduprobleme. OndenitlamatriceX= (x ij )tearntnaappaM p,n (R)ppaeleseescolonnenuage;s 16i6p 16j6n c 1 , . . . , c n snoate;agnuseeleppudstniopXest donc un nuage denpoints dans un espace de dimensionp. t OndenitlamatriceV=X X. On appelleFle sous-espace vectoriel deE p seevtcuesrocolnnengendreparlesc 1 , . . . , c n et on suppose quedimF=retp > r>1. n X 2 Pour tout vecteurvnon nul deE p , on poseI(v) =||P D v (c j )||pcp;elleittsea’teetuqna j=1 l’inertie du nuageXsur la droiteD v . n X 2 j i. Pour tout couple de vecteurs(v, w)taenanpartapE p , on pose:J(v, w) =hv, c j ihw, c j=1 1)a)Montrer que la matriceVdentsoesspelesrsfitisoeidtsagonalisableetquseseavelrupsorrp ou nuls.