HEC 2005 mathematiques iii classe prepa hec (eco)

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIIAnnØe 2005La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.EXERCICE.nDans cet exercice,n est un entier supØrieur ou Øgal à 2. On noteE el space vectoriel R et Id apl plication identitØde E.L objet de l exercice est l Øtude des endomorphismes f de E vØri ant l’Øquation () :f f = 4IdA. Étude du cas n=2. p 1 12Soit f l endomorphisme de R dont la matrice dans la base canonique est : A = 21 1p 2 22 pSoit u le vecteur deR dØ…ni par u = .21. Montrer que f vØri e l’Øquation (), puis prØciser le noyau et l’image de f.2. On note F = ker(f 2Id) et G = Im(f 2Id):(a) Montrer que G est engendrØ par le vecteur u. En dØduire la dimension de F et donner une base de F.(b) VØri…er que G est le sous-espace propre de f associØ à la valeur propre 2.3. Montrer que f est diagonalisable; ...

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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2005

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

EXERCICE. n Dans cet exercice,nOn noteest un entier supérieur ou égal à 2.Elespace vectorielRetIdlapplication identité deE. Lobjet de lexercice est létude des endomorphismesfdeEvériant léquation() :ffId= 4

A. Étude du casn= 2.   p 1 1 2 Soitflendomorphisme deRdont la matrice dans la base canonique est :A= 2 11  p  22 2 p Soitule vecteur deRdéni paru=. 2

1. Montrerquefvérie léquation(), puis préciser le noyau et limage def.

2. OnnoteF= ker(f2 Id)etG(= Imf2Id):

(a) MontrerqueGest engendré par le vecteuru. Endéduire la dimension deFet donner une base deF. (b) VérierqueGest le sous-espace propre defassocié à la valeur propre2.

3. Montrerquefest diagonalisable; préciser les valeurs propres defet donner la matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres.

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