HEC 2007 mathematiques 1 classe prepa hec (s)

Description

6HEC 2007, math 1, option SPour tout entier n sup´erieur ou ´egal a` 2, on note M (R) l’espace vectoriel des matrices carr´eesnd’ordre n `a coefficients r´eels, I la matrice identit´e, et M (R) l’espace vectoriel des matrices `an,1nn lignes et 1 colonne. On confondM (R) etR .n,1Pr´eliminairesSoit E un espace vectoriel r´eel. On appelle norme sur E, toute application ν de E dans R+v´erifiant :i.ν(x) = 0 si et seulement si x = 0;ii. pour tout λ r´eel, pour tout x de E : ν(λx) =|λ|ν(x);2iii. pour tout couple (x,y) de E : ν(x+y)6v(x)+v(y).nMontrer que l’application || || de R `a valeurs dans R d´efinie par : pour tout vecteur∞ + x1. n n .X = deR ,||X|| = max |x|, est une norme surR .∞ i.16i6nxnPartie IA. Une norme sur M (R)n1) Montrer que l’application qui, `a toute matrice A = (a ) de M (R), associe le r´eeli,j nn Xmax |a | , d´efinit une norme surM (R). La norme de A sera not´ee||A||.i,j n16i6nj=1n´2)a)Etablir pour tout X deR , l’in´egalit´e :||AX|| 6||A||×||X|| .∞ ∞nb)Montrer qu’il existe un vecteur X deR , non nul, tel que||AX || =||A||×||X || .0 0 ∞ 0 ∞||AX||∞En d´eduire que||A|| = sup .n ||X||X∈R ,X=0 ∞2´c) Etablir alors que pour tout couple (A,B) de M (R) , on a||AB||6||A||×||B||.nOn dit qu’une suite (A ) de matrices deM (R) converge vers une matriceA deM (R)m m>0 n nsi lim ||A −A|| = 0. On pose A = a (m) et A = (a ) .m m i,j i,j 16i,j6n16i,j6nm→+∞23)a)Montrer que (A ) converge vers A si et seulement si pour tout (i,j) de [1,n]] :m ...

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HEC 2007, math 1, option S Pour tout entiernupsri´eroeuge´ua`lano,2etonM n (R)l’eevecspacleedotirirecmstaeer´arscs d’ordrenle,scffieoca`e´rstneiItairecdilmaetentit´e,M n,1 (Rceveirote’l)capscerias`deelatsm n nlignes et 1 colonne. On confondM n,1 (R) etR. Pre´liminaires SoitEpanOlleproneusemecevritor´ell.eeracspneuE, toute applicationνdeEdansR + ve´rifiant: i.ν(x) = 0 si et seulement six= 0 ; ii.pour toutλopruee,lr´ottuxdeE:ν(λx) =|λ|ν(x) ; 2 iii.pour tout couple (x, y) deE:ν(x+y)6v(x) +v(y). n Montrer que l’application|| || ∞ deRva`asdsnaelruR + rutveucrtteuor:poiepae´nfid   x 1 n n   X= deR,||X|| ∞ = max|x i |, est une norme surR. . 16i6n x n Partie I

A. Unenorme surM n (R) 1)’aellippticaquona`,ituottameecirMnortreuqA= (a i,j ) deM n (Rel,)er´ecielasso n   X max|a i,j |mrserunonetuniefid´,M n (R). La norme deAranot´eese||A||. 16i6n j=1 n ´ 2)a)Etablir pour toutXdeRga´ein,l’e:t´li||AX|| ∞ 6||A|| × ||X|| ∞ . n b)Montrer qu’il existe un vecteurX 0 deR, non nul, tel que||AX 0 || ∞ =||A|| × ||X 0 || ∞ . ||AX|| ∞ End´eduireque||A||= sup. X∈R,X6=0 ||X|| ∞ n   2 ´ c)Etablir alors que pour tout couple (A, B) deM n (R) ,on a||AB||6||A|| × ||B||. On dit qu’une suite(A m ) m>0 de matrices deM n (R)converge vers une matriceAdeM n (R)   silim||A m −A||= 0. On poseA m =a i,j (m)etA= (a i,j ) 16i,j6n . 16i,j6n m→+∞ 2 3)a)Montrer que (A m ) m>0 converge versAsi et seulement si pour tout (i, j) de[1, n]] : lima i,j (m) =a i,j . m→+∞ b)Montrer que si (A m ) m>0 converge versAet (B m ) m>0 converge versB, alors (A m B m ) m>0 converge versAB. 4)SoitAde´nuel´ementM n (R) tel que||A||<1 m a)imr´lDnemieretA. m→+∞ b)Montrer que siλellde´reepoerurprvaletuneesA, alors|λ|<reuielqumaesictrsenE.1de´d I−AetI+Asont inversibles.   m X k c)Montrer que la suiteAconverge, et exprimer sa limite en fonction de la matrice m k=0 A. Soit(A m ) m>0 une suite de matrices deM n (R)On.edeire´saleuqtidn´eraltermeg´eA m (qu’on p   X X noteraA m ) converge, si la suiteA m converge. p m>0 m=0 +∞ X Danscecas,salimiteestnote´eA m . m=0