INSEEC 2002 concours maths ECS

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INSEEC 2002 concours maths ECS

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• Publié par: aramis
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Extrait

INSEEC MATHEMATIQUES 1`ere´epreuve(optionscientifique)

Lescandidatsnedoiventpasfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel e´lectroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’uner`eglegradue´eestautorise´e.

1 Exercice1 Soitn∈Nnetsteecpselrpor’´edudetrliexi’emosei´et´esdespolynˆosopprseOn.P n (X) tels que :   1 1 n ∀t∈C− {0}, P n t+ =t1)+ (relation n t t 1. (a) Montrerque siP n existe alorsP n est unique. 1 2 (b) JustifierqueP 0 (X) = 2, queP 1 (X) =Xloppant(,end´evetet, calculer+ )P 2 (Xtanifierv´) t la relation (relation 1). 2.Montrerparr´ecurrenceque:∀n∈N,P n existe et P n+2 (X) =X P n+1 (X)−P n (X).(relation 2) 3.D´eterminerledegre´deP n epedshlutdaur´egsteerapae´ti.s,noetmr 4. 1 (a) Soitθ∈Rtere.´Dlunnoexenomplruncminet,t∈C− {0}, tel quet(2 cos+ =θ) puis t calculerP n (2 cos(θ)) en fonction denetθ. (b)End´eduirelesracinesdeP n en fonction denet une factorisation deP n dansR[X]. 1 n (c)Re´soudredansC’´luaeqontit´rcee´edtn.insiler´esultatp0=erteuortarev+ n t 5. (a) CalculerP 5 (X). (b)End´eduireunefactorisationdeP 5 (X) dansR[X].   π (c) Encomparant cette factorisation et celle obtenue en 4.b) donner les valeurs exactes de cos   10 3π et cos. 10 2 Exercice2   0−2 1   Soit la matriceM= −2 3−2 . 1−2 0 3 Leproduitscalaireutilise´danscetexerciceestleproduitscalairecanoniquesurR. 1. JustifierqueMest diagonalisable. 1