formule
son
(
sur
de
1
j
2
k
points.
)
On
G
note
pour
E
1
l'ensemble
des
Soit
fonctions
primitive
polynômes
n
de
intégral,
)
G
dans
à
n
1
.
+
On
)
munit
fonctions
E
n
de
k
la
de
norme
on
k
s'annule
k
0
1
x
dénie
T
par
2.
:
en
8
à
f
avec
2
)
E
segment
,
F
k
1
f
!
k
Calculer
1
On
=
n
sup
dans
t
1
2
f
[
k
0
;
un
1
et
]
par
j
G
f
F
(
0.
t
G
)
en
j
G
:
à
On
formule
considère
avec
l'application
à
'
)
dénie
1
par
n
x
E
de
!
T
E
intégral,
f
2.
7
déduire
!
x
F
0
telle
:
que
x
:
F
)
0
2
=
f
f
et
(
Z
Deuxième
1
la
0
n
F
0
(
de
t
par
)
0
d
n
t
P
=
)
0
1
:
P
(
1
F
b)
0
f
désigne
élément
l'application
E
dérivée
F
de
image
F
';
.)
appelle
Première
la
partie.
de
1)
qui
a)
en
Vérier
que
Exprimer
'
(
est
)
une
fonctio
application
de
de
(
E
)
dans
l'aide
E
la
.
de
b)
aylor
Montrer
reste
que
appliquée
'
l'ordre
est
une
Exprimer
application
(
linéaire.
)
2)
fonctio
a)
de
Montrer
(
que
)
l'ensemble
l'aide
des
la
réels
de
de
aylor
la
reste
forme
appliquée
k
l'ordre
'
(
En
f
que,
)
tout
k
du
1
[
k
;
f
]
k
j
1
(
,
)
pour
(
f
(
2
x
E
2
n
x
f
2
0
k
g
k
,
:
est
)
non
N
vide
'
majoré.
.
On
partie.
notera
dénit
N
suite
(
P
'
)
)
'
=
de
sup
polynômes
f
=
2
+1
E
:
n
P
f
=
0
8
g
2
k
,
'
f
(
Problème
R R
6
R R
>
N
- page 11
0
1
Déterminer
n
P
g
1
I
;
g
P
entier
2
t
et
partie
P
pour
3
)
.
En
2)
)
Montrer
U
que,
I
pour
k
tout
)
entier
suite
naturel
de
n
nul.
supérieur
à
ou
(
égal
1
à
à
2,
g
P
la
n
0
(
le
0
h
)
h
=
I
P
1
n
)
(
où
1
k
)
k
.
dénie
3)
T
Montrer
k
par
entier
récurrence,
la
que
m
:
:
8
X
n
P
2
k
t:
k
;
c)
8
fonction
x
de
2
d
d
dé
,
polynômes
n
h
+1
classe
X
non
k
par
=
X
1
Z
P
k
n
le
+1
par
k
=
(
k
x
g
)
(
k
k
!
d
=
(
x
la
n
d
n
(
!
désigne
fonctions
4)
la
En
1)
utilisant
une
la
entre
première
I
partie,
t
montrer
k
que,
Déduire
pour
précédente
tout
entier
entier
ou
naturel
on
n
m
,
+
k
=
P
)
n
(
k
g
1
)
)
g
1
)
2
n
I
.
de
5)
.
Dans
une
cette
1
question,
t
x
faisant
désigne
que
un
ivées
nombre
de
réel
P
xé
2)
appartenant
application
à
n
l'intervalle
1
[
entier
0
on
;
U
1
suivante
]
=
.
=
a)
`
Montrer
tout
que,
naturel
la
,
série
dénit
entière
réel
X
k
P
:
n
k
(
(
x
)
)
Z
t
0
n
(
a
)
un
t
ray
P
on
(
de
)
convergence
t
R
g
(
k
x
désigne
)
dérivée
non
ième
nul,
e
ni
et
ou
P
inni.
)
b)
la
Calculer,
de
pour
polynômes
t
dans
2
deuxième
]
:
R
a)
(
rouver
x
relation
)
récurrence
;
I
R
et
(
k
x
pour
)[
out
,
naturel
le
non
produit
b)
de
+
question
1
que,
X
tout
n
naturel
=
supérieur
0
égal
P
2
n
a
(
I
x
=
)
1
t
m
n
k
!
2
(
1
e
k
t
k
1
0
)
:
(
c)
1
En
(
déduire
)
la
(
somme
1
de
(
la
)
série
:
entière
Exprimer
+
1
1
l'aide
X
la
n
g
=
d)
0
déduire
P
expression
n
Z
(
0
x
(
)
)
t
t
n
intervenir
pour
ainsi
t
ses
2
r
]
et
R
suite
(
fonctions
x
(
)
k
;
.
R
Soit
(
une
x
de
)[
dans
.
de
T
C
roisième
et
partie.
un
Soit
naturel
g
nul,
une
dénit
application
réel
de
n
t
l'égalité
dans
:
(
n
de
n
classe
`
C
1
1
(
.
)
P
on
our
1)
N R
6
R R
R R
- page 2k
la
`
Vérier
dérivées
que
))
:
déduire,
U
faisant
n
polynômes
=
)
n
Z
X
d
`
la
=
expression
1
h
Z
suit
`
`
`
(
1
(
(
t
h
0
(
u
`
c)
)
l'aide
h
1
(
partie,
t
U
))
la
d
que
t
l
.
de
b)
P
Montrer
1
que
h
pour
`
tout
h
entier
t
naturel
d
`
=
compris
1
entre
g
1
(
et
)
n
u:
,
En
il
à
existe
de
une
question
applica
de
tion
troisième
g
une
`
de
de
n
:
intervenir
dans
fonction
)
ainsi
de
ses
classe
et
C
a
1
e
vériant
fonctions
:
(
Z
(
`
a)
R R
- page 3G
Déterminer
par
sur
0.
8
diagonalisable,
points.
M
Dans
=
tout
)
l'exercice
'
n
non
désigne
7
u
6
n
et
entier
que
nat
(
urel
la
supérieur
par
ou
7
égal
propres.
à
et
2.
M
a)
n
t
(
tr
':
Déterminer
)
Montrer
est
et
l'ensemble
=
des
diagonalisable
matrices
su
carrées
M
d'ordre
nulle
n
appelle
à
n
coe
(
Montrer
cients
spectre
c
une
o
n
mplexes,
L
n
(
(
M
A
n
une
(
)
de
)
(
;
I
l'application
)
en
est
M
l'ensemble
des
alors
formes
=
linéaires
\
de
alors
M
déduire
n
si
(
n
=
;
)
On
dans
nécessaire
linéaire
.
par
À
2)
toute
l'application
forme
(
linéaire
condition
non
M
nulle
)
u
t
de
'
M
précisera
n
ses
(
On
linéaire
)
sur
dans
Déterminer
'
désigne
,
tion
on
(
asso
4)
cie
M
l'application
)
linéaire
u
F
I
u
qu'il
de
M
M
(
n
que,
(
matrice
:
n
)
:
dans
)
luimême
AM
dénie
:
par
rang
:
.
(
M
de
n
tr
(
.
que
si
)
Im
F
0
u
est
!
M
M
e)
n
Ker
(
pour
0
)
M
A
)
7
!
et
t
M
A
M
+
(
u
)
(
et
A
.
)
notera
I
l'unique
n
de
où
forme
t
non
A
u
désigne
l'application
la
.
matrice
On
transposée
'
de
dénie
A
:
et
M
I
(
n
)
la
!
matrice
n
identité
une
de
A
M
!
n
A
(
que
M
est
)
on
.
son
1)
et
On
sousespaces
dénit
3)
l'application
considère
G
forme
par
u
:
nulle
(
M
M
(
n
)
(
on
matrice
par
)
l'applica
G
dénie
!
:
L
M
(
(
M
)
n
!
(
n
la
0.
)
A
;
!
sur
(
)
)
M
n
7
Montrer
!
existe
G
matrice
(
de
M
n
)
=
avec
telle
G
pour
(
oute
M
A
)
M
(
(
X
)
)
=
A
tr
=
(
(
M
)
X
n
)
b)
pour
le
toute
de
matrice
X
c)
de
M
n
fonction
(
sante
de
)
(
:
)
(tr
d)
(
que
M
Ker
X
\
)
désigne
f
la
g
trace
de
diagonalisable
la
tr
matrice
6
M
0.
X
Montrer
.)
si
Montrer
q
Im
ue
6
l'application
f
G
g
est
tr
un
=
isomorphisme
f
de
En
M
que
n
est
(
si
seulement
)
tr
dans
antécédent
L
Exercice
C
C C
C C
C C
C
C C
C
C C C
C
C C C
C C
C
C C
C
C
- page 4F
.
On
suppose
0
dans
A
cette
.
question
n
où
tr
0
M
1
6
=
=
0
0
à
t
.
M
0
=
la
M
)
:
1
On
.
appelle
.
S
1
n
1
(
@
A
.
)
.
l'ensemble
matrice
des
0
ma
)
trices
qu'
carrées
de
d'ordre
la
n
base
,
0
symétriques,
n
à
)
coe
B
cients
.
complexes.
0
On
.
appelle
.
A
n
C
(
M
C
)
B
l'en
semble
.
des
.
matrices
.
carrées
.
d'ordre
0
n
0
,
n
antisymétriques,
telle
à
X
coe
I
En
cients
existe
complexes.
base
a)
n
Montrer
telle
que
rice
:
dans
dim
soit
(
S
V
n
2
(
n
C
(
)
U
\
B
Ker
B
)
=
1
n
.
(
.
n
.
+
.
1
.
)
.
2
.
1
0
:
0
b)
C
Montrer
C
que
V
:
(
S
2
n
avec
(
B
C
B
)
0
=
V
0
ect
.
(
.
I
.
n
.
)
.
.
(
.
S
.
n
(
X
C
appartenant
)
S
\
1
Ker
)
que
)
(
:
0
c)
=
Déterminer
n
A
c)
n
déduire
(
il
C
u
)
e
\
B
Ker
M
(
.
)
d)
que
En
mat
déduire
de
q
u
ue
la
l'endomorphisme
B
F
de
u
forme
est
U
d
0
i
agonalisable,
U
on
M
précisera
(
ses
+1
valeurs
2
propres
et
avec
ses
=
sousespaces
B
propres.
B
6)
B
On
@
suppose
0
dans
cette
question
8
1
<
.
:
.
M
.
6
.
=
.
0
0
tr
.
M
.
=
.
0
.
t
.
M
.
=
.
M
.
:
.
a)
0
Montrer
que
Ker
0
1
est
C
stable
C
par
C
l'endomorphisme
et
'
2
,
n
en
n
déduire
)
que
(
:
)
Ker
V
0
=
B
(
B
S
B
n
1
(
C
)
\
0
Ker
1
.
)
.
.
(
.
A
.
n
.
(
.
1
.
)
.
\
.
Ker
.
.
)
.
:
.
b)
.
Montrer
1
qu'il
0
existe
(
une
5)
C
C
C
C C
C
C C
C
C
C
C
- page 5CORRIGÉ DE L’ÉPREUVE de MATHÉMATIQUES.
Problème.
Première partie.
∞1) a) f estdeclasseC surR,f admetdesprimitivesF quisontdesfonctionspolynômes,soit
Z Z1 1
G l’unedecesprimitives,onaF =G+k,deplus F t dt= 0entraînek+ G t dt=( ) ( )
0 0
0, d’où l’unicité deF, ce qui prouve que ϕ est une application deE dansE.
b) ϕ est linéaire grâce à la linéarité de l’intégrale.
2) a) 1∈E\{0},doncl’ensembleE\{0}estnonvide.F estcontinuesur[0,1],d’intégralenulle,
siF garde un signe constant alorsF = 0, d’où par contraposée, siF est non nulle alors il
existe un réelx de [0,1] tel queF (x )= 0.0 0
Zx
2On a F x = f t dt, F x 6 x−x f 6 f car x,x ∈ 0,1 . On en( ) ( ) | ( )| | |k k k k ( ) ([ ])0 0∞ ∞
x0
déduit queN( ϕ) existe et queN( ϕ)6 1.
Z x 0G (x)=F (x)
b) α) On définit,∀x∈R,G x = F t dt,on obtient( ) ( ) 00G x =f x( ) ( )0
La formule de Taylor donne,
Z 0
0 001 G 0 =G x −xG x + −t G t dt.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
β) De même,
Z 1
0 002 G 1 =G x − 1−x G x + 1−t G t dt.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
0γ) On sait que G 0 = 0 et G 1 = 0, en effectuant 2 − 1 on obtient: G x =( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Z Z1 0
00 00(1−t)G (t)dt− (−t)G (t)dt.
x x
00OrG t =f t etf est majoréesur 0,1 par f grâceàlacontinuitédef,cequi( ) ( ) [ ] k k∞
nous donne:
Z Z1 1
∀x∈ [0,1], |F (x)|6kfk (1−t)dt+kfk (−t)dt∞ ∞
x x
1Par intégration, on en déduit:
" #
2 21−x x( )
∀x∈ [0,1], |F (x)|6kfk +∞ 2 2
2 2 221−x x 1 1 1 1 1( ) 2δ) On a + =x −x+ = x− + , orx∈ [0,1] donc x− 6
2 2 2 2 4 2 4
2 2(1−x) x 1
et + 6 .
2 2 2
( Z 1f (x)=−11
OnendéduitqueN ϕ 6 .Deplus,sionchoisit ona F x dx=( ) 1 ( )
2 F x =−x+( ) 0
2
1
00 etF =f,kfk = 1 etkFk = , donc∞ ∞ 2
1
N ϕ = .( )
2
Deuxième partie.
21 X X 1
1) P = 1,P =X− ,P = − + .0 1 2
2 2 2 12
2) H : P 0 =P 1 ,H est vraie.( ) ( )n n n 2
Z Z1 1
0SupposonsH , ϕ(P )=P ,d’où0= P (x)dx= P (x)=P (1)−P (0),doncn n n+1 n+1 n+2 n+2n+2
0 0
H est vraie.n+1
n+1 nXP (x) xn+1−k3) P :∀x∈R, = .n
k! n!
k=1
n+2 n+1X X 0P (x) P (x) P = 0n+2−k n+1−k0 0P estvraie,supposonsP .SoitQ x = ,Q x = car( ) ( )0 n n+1 n+1 0P =Pk! k! n+1−kn+2−kk=1 k=1
n n+1x x0D’aprèsP on en déduit,Q x = , doncQ x = +Q 0 .( ) ( ) ( )n n+1 n+1n+1 n! (n+1)!
Z Z Zn+21 1 1X1 1
Q x dx= +Q 0 et Q x dx= P x dx( ) ( ) ( ) ( )n+1 n+1 n+1 n+2−k
(n+2)! k!0 0 0k=1
Z 1
ˆOr P (x)dx= 0 pourn+2−k> 1 car ϕ(P )=P , on obtient alors (il resten+2−k n+1−k n+2−k
0
un seul terme dans la somme):
Z 1 1
Q (x)dx=n+1
n+2 !( )0
DoncQ 0 = 0 etP est vraie.( )n+1 n+1
21 1
4) P = 1 , kP k = 1 et N( ϕ) = , on a alors: ∀n > 0, kP k 6 kP k , par une0 0 n+1 n∞ ∞ ∞2 2
récurrence évidente on en déduit que:
n
1
∀n∈N, P 6k kn
2
n nXt t| | | |n5) a) Soit x ∈ [0,1] fixé, ∀t ∈ R, ∀n ∈ N,|P (x)t | 6 , la série entièren
2 2
X
na un rayon de convergence égal à 2 , donc la série entière P (x)t a un rayon den
convergence supérieur ou égal à 2, le rayon de convergence de cette série est donc non
nul pour toutx réel.
X
n tb) Soitxfixédans[0,1],t∈ ]−R(x),+R(x)[,lasérieentière P (x)t convergeete −1=n
+∞ kXt
car le rayon de convergence de cette série entière est plus l’infini, on peut donc
k!
k=1
appliquer le produit de Cauchy de ces deux séries entières sur ]−R(x),+R(x)[.
! !
+∞ +∞ n +∞X X X XP (x)n−kn t n nOn a , P x t e −1 = t − P x t( ) ( ) ( )n n
k!
n=0 n=0 k=0 n=0
! !
n nX XP (t) P (x)n−k n−knt , or d’après la question II)3)on sait que: ∀n> 1, =
k! k!
k=0 k=0
n−1x
P x +( )n
(n−1)!
!
+∞ +∞ n−1X X tx( ) txn tD’où: P (x)t (e −1)=t =te .n
n−1 !( )
n=0 n=1
c) Donc,
!
+∞X txten∀t∈ ]−R(x),R(x)[ \{0}, P (x)t =n te −1
n=0
!
+∞X
nPourt= 0 alors P (x)t = 1.n
n=0
Troisième partie.
01) a) On sait queP =P pourk> 1.En intég